2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第2讲二项式定理提能训练

第2讲二项式定理A组基础巩固一、单选题1．(2024·山西师大附中月考)二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,\r(x))))6展开式的常数项为(B)A．－160 B．60C．120 D．240[解析]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,\r(x))))6展开式的通项为：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(2x)6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))k＝Ceq\o\al(k,6)·26－k·(－1)k·，令6－eq\f(3,2)k＝0得k＝4，所以展开式的常数项为Ceq\o\al(4,6)×22×(－1)4＝60，故选B.2．(2024·江苏镇江一中学情检测)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,\r(x))))8的展开式中含x5项的系数是(B)A．－112 B．112C．－28 D．28[解析]由题意可得，其通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,\r(x))))r＝，0≤r≤8，r∈N，令8－eq\f(3,2)r＝5，可得r＝2，所以含x5项的系数是(－2)2Ceq\o\al(2,8)＝112.故选B.3．(2023·河南新乡联考)若二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,\r(x))))n(n∈N*)的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x2项的系数为(D)A．－1120 B．－1792C．1792 D．1120[解析]因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以n＝8.通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(2x)8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))r＝，令8－eq\f(3,2)r＝2，得r＝4，所以展开式中x2项的系数为Ceq\o\al(4,8)24(－1)4＝1120.故选D.4．(2024·山东新高考质检联盟联考)设(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)7＋(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8，则a2＝(A)A．84 B．56C．36 D．28[解析]依题意，a2＝Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋…＋Ceq\o\al(2,8)＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋…＋Ceq\o\al(2,8)＝Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,8)＝…＝Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,8)＝Ceq\o\al(3,9)＝84，故选A.5．(2024·湖北武汉九所重点中学联考)多项式(ax＋1)6的x2项系数比x3项系数多35，则其各项系数之和为(D)A．1 B．243C．64 D．0[解析]∵x2项系数比x3项系数多35，∴Ceq\o\al(4,6)a2－Ceq\o\al(3,6)a3＝35，即3a2－4a3＝7，解得：a＝－1.∴(－x＋1)6＝Ceq\o\al(0,6)x6－Ceq\o\al(1,6)x5＋Ceq\o\al(2,6)x4－Ceq\o\al(3,6)x3＋Ceq\o\al(4,6)x2－Ceq\o\al(5,6)x1＋Ceq\o\al(6,6)，令x＝1可得各项系数之和为Ceq\o\al(0,6)－Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)－Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(6,6)＝0.故选D.6．(2023·河北示范性高中调研)关于二项式(1＋ax＋x2)(1－x)8，若展开式中含x2的项的系数为21，则a＝(C)A．3 B．2C．1 D．－1[解析](1－x)8的展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,8)xr，x2的系数为1×Ceq\o\al(2,8)×(－1)2＋a×Ceq\o\al(1,8)×(－1)＋1×Ceq\o\al(0,8)＝21，解得a＝1，故选项C正确．7．(2022·北京高考)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(B)A．40 B．41C．－40 D．－41[解析]令x＝1，则a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，令x＝－1，则a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－3)4＝81，故a4＋a2＋a0＝eq\f(1＋81,2)＝41，故选B.8．(2024·安徽屯溪一中模拟)已知f(x)＝(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则下列描述正确的是(B)A．a1＋a2＋…＋a8＝1B．f(－1)除以5所得的余数是1C．|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38D．2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8[解析]令x＝1得：a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1；令x＝0，得a0＝28，a1＋a2＋…＋a8＝1－28，因此A错误；f(－1)＝38＝94＝(10－1)4＝104－Ceq\o\al(1,4)103＋Ceq\o\al(2,4)102－Ceq\o\al(3,4)10＋1＝10×(103－Ceq\o\al(1,4)102＋Ceq\o\al(2,4)101－Ceq\o\al(3,4))＋1，因此B正确；因为(2－x)8二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)28－r(－x)r＝(－1)rCeq\o\al(r,8)28－rxr，由通项公式知，(2－x)8二项展开式中偶数项的系数为负数，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝－a1＋a2－a3＋…＋a8，由(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝0，得到a0＝28，令x＝－1，得到a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38－28，因此C错误；对原表达式的两边同时对x求导，得到－8×(2－x)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7，令x＝1，得到a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8，令x＝0，得a1＝－8×27，所以，2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8＋8×27＝8(27－1)，所以选项D错误．故选B.9．(2023·广东广州阶段测试)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是(C)A．45 B．84C．120 D．210[解析]解法一：(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，含x2项的系数为Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,9)＝Ceq\o\al(3,10)＝120，故选C.解法二：(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9＝eq\f(1＋x2[1－1＋x8],1－1＋x)＝eq\f(1＋x10－1＋x2,x).∴x2的系数为Ceq\o\al(3,10)＝120.故选C.二、多选题10．(2024·山东青岛调研)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))n的展开式的各二项式系数的和为256，则(ABD)A．n＝8B．展开式中x－2的系数为－448C．展开式中常数项为16D．展开式中所有项的系数和为1[解析]由二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8，A选项正确；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))8展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(2x)8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,8)(－1)r·28－r·x8－2r,8－2r＝－2时，r＝5，展开式中x－2的系数为Ceq\o\al(5,8)(－1)5·28－5＝－448，B选项正确；8－2r＝0时，r＝4，展开式中常数项为Ceq\o\al(4,8)(－1)4·28－4＝1120，C选项错误；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))8中，令x＝1，得展开式中所有项的系数和为(2－1)8＝1，D选项正确．故选ABD.11．(2024·河北师大附中期中)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,\r(x))))9的展开式中，下列结论正确的是(BC)A．第6项和第7项的二项式系数相等B．奇数项的二项式系数和为256C．常数项为84D．有理项有2项[解析]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,\r(x))))9的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A错误；由已知可得二项式系数之和为29，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，所以奇数项的二项式系数和为28＝256，故B正确；展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)x9－r.，0≤r≤9，r∈N，令9－eq\f(3,2)r＝0，解得r＝6.故常数项为Ceq\o\al(6,9)＝Ceq\o\al(3,9)＝84，故C正确；有理项中x的指数为整数，故r＝0,2,4,6,8，故有理项有5项，故D错误．故选BC.三、填空题12．(2024·安徽江淮十校联考)若(2x－1)6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a6(x－1)6，则a0＋a2＋a4＋a6＝365.(用数字作答)[解析]令x＝0，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝1，令x＝2则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝36＝729，两式相加得：2(a0＋a2＋a4＋a6)＝730，∴a0＋a2＋a4＋a6＝365.13．(2024·南京师大苏州实验学校调研改编)若二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2·\r(4,x))))n展开式的前三项的系数成等差数列，则展开式的中间项为eq\f(35,8)x.[解析]二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2·\r(4,x))))n通项为：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(eq\r(x))n－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2·\r(4,x))))r＝，所以第一项的系数为：Ceq\o\al(0,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＝1，第二项的系数为：Ceq\o\al(1,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＝eq\f(n,2)，第三项的系数为：Ceq\o\al(2,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(n2－n,8)，由于前三项的系数成等差数列，所以2×eq\f(n,2)＝1＋eq\f(n2－n,8)，解得n＝8，或n＝1，因为至少有前三项，所以n＝1(舍)，故n＝8，所以展开式有9项，中间一项为T5＝Ceq\o\al(4,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4x1＝eq\f(35,8)x.14．(2024·广西“贵百河”调研)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(2,x)))n的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为729.[解析]由题意知2n＝64，∴n＝6，设eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(2,x)))6的各项的系数为a0，a1，a2，…，a6，则各项的系数的绝对值之和为|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|，即为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(2,x)))6中各项的系数的和，令x＝1，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(1＋2)6＝36，即各项的系数的绝对值之和为36＝729.15．(2023·河南驻马店期末)若x7＋(x－2)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9＋a10(x－1)10，则a5＝－231.[解析]x7＋(x－2)10＝[(x－1)＋1]7＋[(x－1)－1]10，因为[(x－1)＋1]7展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)(x－1)7－r，令7－r＝5，得r＝2，则T3＝Ceq\o\al(2,7)(x－1)5＝21(x－1)2.因为[(x－1)－1]10展开式的通项T′r′＋1＝Ceq\o\al(r′,10)(x－1)10－r′·(－1)r′，令10－r′＝5，得r′＝5，则T′6＝Ceq\o\al(5,10)(x－1)5·(－1)5＝－252(x－1)5，故a5＝21－252＝－231.B组能力提升1．(2024·辽宁朝阳联考)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2x,y)))(x－y)6的展开式中x4y2的系数为(A)A．55 B．60C．65 D．70[解析](x－y)6的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－r(－y)r＝Ceq\o\al(r,6)(－1)rx6－ryr，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2x,y)))(x－y)6＝(x－y)6－eq\f(2x,y)(x－y)6，(x－y)6的展开式中x4y2的系数为Ceq\o\al(2,6)(－1)2＝15，eq\f(2x,y)(x－y)6的展开式中x4y2的系数为2Ceq\o\al(3,6)(－1)3＝－40，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2x,y)))(x－y)6展开式中x4y2的系数为Ceq\o\al(2,6)(－1)2－2Ceq\o\al(3,6)(－1)3＝55.故选A.2．(2024·河北沧州联考)在(x＋y＋2)5的展开式中，xy3的系数是(D)A．24 B．32C．36 D．40[解析]解法一：相当于在5个因式中有1个因式选x，有Ceq\o\al(1,5)种选法，余下的4个因式中有3个因式选y，有Ceq\o\al(3,4)种选法，最后余下1个因式中选2，所以xy3的项为Ceq\o\al(1,5)xCeq\o\al(3,4)y3Ceq\o\al(1,1)×2＝40xy3，故选D.解法二：(x＋y＋2)5＝[x＋(y＋2)]5，故所求系数为x·Ceq\o\al(4,5)(y＋2)4中xy3的系数即Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(1,4)·2＝40.故选D.3．(2024·湖湘名校教育联合体联考)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－2x))n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－2x))n的展开式中系数最大的项的系数为1792.[解析]由Ceq\o\al(2,n)＝Ceq\o\al(