第一节微分方程的基本概念

第十二章微分方程

第一节微分方程的基本概念

教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程

的通解、特解及微分方程的初始条件等.

教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件.

教学难点：微分方程的通解概念的理解.

教学内容：

一、微分方程的基本概念

先看下面几个引例.

引例1一条曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,

求这条曲线的方程.

解设曲线方程为y=y(x).由导数的几何意义可知，函数y=y(x)满足

生=2x,(1)

dx

同时还满足以下条件：

x=1时，y—2.(2)

把(1)式两端积分，得

y-^2xdx,即y-x2+C,(3)

其中C是任意常数.

把条件(2)代入(3)式，得

C=1,

由此解出C并代入(3)式，得到所求曲线方程：

y=r+1.(4)

引例2列车在平直线路上以20mis的速度行驶;当制动时列车获得加速度-0.4根Is2.

间开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解设列车开始制动后r秒时行驶了s米.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数

S=s(f)满足:

此外，还满足条件:

f=0时，5=0,v=—=20,(6)

dt

(5)式两端积分一次得：

v=一=-0.4/+C.,（7）

dt'

再积分一次得

s=—0.2广+G，+，（8）

其中G，g都是任意常数.

把条件“f=0时v=20”和“f=0时s=0”分别代入（7）式和（8）式，得

G=20,C2=0.

把G，02的值代入（7）及（8）式得

v=-0.4?+20,

s——0.2厂+20，.（10）

在（9）式中令v=0,得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：

f=­=50（5）.

0.4

再把f=5代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程

s=-0.2x5（）2+20x50=500（/”）.

上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程.

定义一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微

分方程.未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏

微分方程.（本章只讨论常微分方程）微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，

叫做微分方程的阶.例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程.又

如，方程

y(4)_4yM+10y"—12)J+5y=sin2x

是四阶微分方程.

一般地，〃阶微分方程的形式是

F（x,y,y',--,yw）=Q,（H）

其中尸是〃+2个变量的函数.这里必须指出，在方程（11）中，y⑺是必须出现的，而

x,y,y',…,y"I）等变量则可以不出现.例如〃阶微分方程

严+1=0

中，除y⑺外，其他变量都没有出现.

如果能从方程（11）中解出最高阶导数，得微分方程

（12）

以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且

（12）式右端的函数/在所讨论的范围内连续.

由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足

微分方程的函数，就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等

式，这个函数就叫做该微分方程的解.确切地说，设函数y=*（x）在区间/上有〃阶连续

导数，如果在区间/匕

F[x,<p（x）,<p'（x）,"-,<p（n\x）]=0,

那么函数y=0（x）就叫做微分方程（11）在区间/上的解.

例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）

的解.

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的

解叫做微分方程的通解.例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程

（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解.又如，函数（8）是方程的解，它含有

两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解.

由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须

确定这些常数的值.为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件.例如，例1

中的条件（2）,例2中的条件（6）,便是这样的条件.

设微分方程中的未知函数为y=y（x）,如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常

数的条件是

x=x<）时，）=%，

或写成江气一。

其中而，比都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：

x=x（）时，y=y（）'y'-y'o>

或写成y[^0=y0>y'\^o=y'O'

其中与，y°和y'o都是给定的值.上述条件叫做初始条件.

确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解.例如（4）式是方程（1）满

足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解.

求微分方程y'=/（x,y）满足初始条件y忆,。=孔的特解这样一个问题，叫做一阶微分

方程的初值问题，记作

\y'=f（x,y）,

（13）

[yL%=加

微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线.初值问题（13）的几何意

义是：求微分方程的通过点（鼻,打）的那条积分曲线.二阶微分方程的初值问题

1y"=/（x,y，V）,

[”『"，儿与"

的儿何意义是：求微分方程的通过点（%,为）且在该点处的切线斜率为乂的那条积分曲线.

例1验证：函数

x-Cxcoskt+C2sinkt（14）

是微分方程

d?x

——+k'x=Q（15）

dt2

的解.

解求出所给函数（14）的导数

dx

--kC\sinkt+kCcoskt,

dt2

2

=-k'Cxcoskt-k2c2sinkt=-k(Ctcoskt+C2sinkt).

2

把Wdx及x的表达式代入方程(15)得

dt2

2cos

-k(Gkt+C?sin⑺+A2(Gcoskt+C2sinkt)=0.

函数(14)及其导数代入方程(15)后成为一个恒等式，因此函数(14)是微分方程(15)

的解.

例2已知函数(14)当kwO时是微分方程(15)的通解，求满足初始条件

xLo=A--0

dt(=o

的特解.

解将条件“，=0时，x=A”代入(14)式得

G=A.

将条件“，=0时，丝dx=0”代入(16)式，得。2=0.把G的值代入(14)式，就

得所求的特解为

x=Acoskt.

小结：讲述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解及微分方程的

初始问题.

第二节可分离变量的微分方程

教学目的：熟练掌握可分离变量的微分方程的解法.

教学重点：可分离变量的微分方程的解法.

教学难点：可分离变量的微分方程的解法.

教学内容：

本节开始,我们讨论•阶微分方程

y'=f(x,y)

的一些解法.

一、可分离变量的微分方程

一阶微分方程有时也写成如下的对称形式:

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

在方程(2)中，变量x与y对称，它既可以看作是以x为自变量、y为未知函数的方程

也可看作是以x为自变量、y为未知函数的方程

在第节的例1中，我们遇到阶微分方程

dy=2xdx.

把上式两端积分就得到这个方程的通解：

y=x2+C.

但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解.例如，对于一阶微分方程

@=2孙

dx

就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解.原因是方程(3)的右端含有未知

函数y积分

^lxy2dx

求不出来.为了解决这个困难，在方程(3)的两端同时乘以乌，使方程(3)变为

厂

dy/

y

这样，变量X与y已分离在等式的两端，然后两端积分得

其中c是任意常数.

可以验证，函数(4)确实满足一阶微分方程(3),且含有一个任意常数，所以它是方

程(3)的通解.

•般地，如果一个一阶微分方程能写成

g(y)dy=f(x)dx(5)

的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy,另一端只含x的函数和dx,

那么原方程就称为可分离变量的微分方程.

假定方程(5)中的函数g(y)和/(x)是连续的,设y=—X)是方程的解,将它代入(5)

中得到恒等式

g[(p(x)](p'(x)dx=f(x)dx.

将上式两端积分，并由y=/(x)引进变量y,得

Jg(y)dy=

设G(y)及F(x)依次为g(y)和/(x)的原函数，于是有

G(y)=F(x)+C.(6)

因此，方程(5)满足关系式(6).反之，如果y=6(x)是由关系式(6)所确定的隐函数，

那么在g(y)wO的条件下，丫=①。)也是方程(5)的解.事实上，由隐函数的求导法可

知，当g(y)wO时,

①工犯

G'(y)g(y)

这就表示函数y=6(x)满足方程(5).所以如果已分离变量的方程(5)中g(y)和/(x)是

连续的，且g(y)#O,那么(5)式两端积分后得到的关系式(6),就用隐式给出了方程(5)

的解，(6)式就叫做微分方程(5)的隐式解.又由于关系式(6)中含有任意常数，因此(6)

式所确定的隐函数是方程(5)的通解，所以(6)式叫做微分方程(5)的隐式通解.

例1求微分方程

包=2xy(7)

dx

的通解.

解方程(7)是可分离变量的，分离变量后得

—=2xdx.

y

两端枳分

得ln|y|=x2+G，

从而y-±ex+c,-±ec'e'.

又因为±eG仍是任意常数，把它记作C便得到方程(7)的通解

y=Cex.

例2放射性元素铀由于一不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断

减少，这种现象叫做衰变.由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量/

成正比.已知f=0时铀的含量为“°，求在衰变过程中含量M(f)随时间变化的规律.

解铀的衰变速度就是M⑺对时间f的导数组.由于铀的衰变速度与其含量成正

dt

比，得到微分方程如下

—=-AM,(8)

dt

其中4(4>0)是常数，叫做衰变系数.4前的负号是指由于当，增加时M单调减少，即

也<0的缘故.

dt

由题易知，初始条件为

叽=%.

方程（8）是可以分离变量的，分离后得

%it.

两端积分

以InC表示任意常数，因为M>0,

InA/=-At+InC,

即M=Ce"

是方程（8）的通解.以初始条件代入上式，解得

Mo=Ce°=C,

故得M=M0e.

由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减.

例3设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔

时速度为零.求降落伞下落速度与时间的函数关系.

解设降落伞下落速度为v（r）.降落伞所受外力为F=mg-kv（k为比例系数）.根据牛顿

第二运动定律F=〃S得函数v⑺应满足的方程为

m--mg-kv,

at

初始条件为

vl,=o=O.

方程分离变量，得

dv_dt

mg-kvm'

两边积分，得

小；=[―>-yln（m^-/:v）=—+C],

Jjmg—kvJmkm

即T+Ce$（C=-毕），

kk

将初始条件讯=o=O代入通解得C=-“恪，于是降落伞下落速度与时间的函数关系为

丫=竿(1-6蔡').

例3有高1cm的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积为1cm2（图

12-1）.开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面的高度〃（水面与孔口

中心间的距离）随时间f变化的规律.

h|

图12-1

解由水力学知道，水从孔口流出的流量（即通过孔口横截面的水的体积V对时间，的

变化率）。可用下列公式计算：

Q=—=0.62Syl2gh

其中0.62为流量系数，S为孔口横截面面积，g为重力加速度，现在孔口横截面面积

5=1cm2,故

—=0.62y/2gh,

dV=0.62y^dt.

另一方面，设在微小时间间隔上/+力］内，水面高度由//降至/z+d〃（d〃<0）,则又可

dV=一兀户dh,

其中r是时刻r的水面半径（图12—3）,右端置负号是由于d%<0,而dV>0的缘故.又因

r=，10()2一a。。—力＞=7200/z-Zi2,

所以(10)式变成dV=-^(,200h-h2)dh.

比较（9）和（1和两式，得

0.62厄Hdt=—万(200%-『)的,(12)

这就是未知函数h=〃(r)应满足得微分方程.

此外,开始时容器内的水是满的，所以未知函数/?=/?(。还应满足下列初始条件:

初=0=100•(13)

方程(13)是可分离变量的.分离变量后得

万12

dt=......-(200/22-h2)dh,

0.62J2g

两端积分,得

\_3

-----f(200庐—庐)

0.62以J

35>

庐-4庐+C.

即(14)

5)

其中C是任意常数.

把初始条件(13)代入(14)式，得

7t400-22、

0=-『I——xlOO2——xlOO2+C.

0.62而(35)

因止匕

714000002000007114

C________x__X105.

0.62岳350.62而15

把所得的C值代入(14)式并化简，就得

35

7C(7X1()5—1()3庐+3庐)

~4.65727

小结:

I.讲述了可分离变量的微分方程的概念及解法.

2.讲述了用微小量分析法建立微分方程解决应用问题.

第三节齐次方程

教学目的：熟练掌握齐次微分方程的解法.

教学重点：齐次方程的解法.

教学难点：齐次方程的解法.

教学内容：

・、齐次方程

1.齐次方程的形式

如果一阶微分方程

y'=y)

中的函数/(x,y)可写成上的函数，即/(x,y)=*(2)，则称这方程为齐次方程.例如

XX

(x+y)dx+(y-x)dy=0

是齐次方程，因为其可化为

,14-2

dy_=x±y_=_

dxx-yiy

x

2.齐次方程/(x,y)=°(2)(1)的解法

X

作代换u=—则y=ux，于是

xf

du

=X---FU.

dx

从

而+〃=(p(u),

(p(u)-u

=--------，

dxx

dudx

分离变量得--------=—，

(p(u)-uX

两端积分得

求出积分后，再用上代替W,便得所给齐次方程的通解.如上例

X

du1+〃

X+U—

dx1-u

(1+u)du_dx

分离变量，得

1+w2X

积分后，将代回即得所求通解.

X

例1（W方程），2+12半=%y

axax

解原方程可写成

,岗2

dy=」J)

dxxy-x12_i

X

因此原方程是齐次方程.令』二〃，则

X

y=ux,半=〃+工半,

axdx

于是原方程变为

2

u+,xd—u—=-u----,

ax〃一l

即

x-d-u—=—u■■.

dxu-l

分离变量，得

UX

两边积分，得〃—lnl〃l+C=lnkl,或写成lnk〃l=〃+C以工代上式中的〃，便得所给方程的

x

通解

InlyU+C.

x

例2有旋转曲面形状的网镜，假设由旋转轴上一点。发出的一切光线经此四镜反射后

都与旋转轴平行.求这旋转曲面的方程.

解设此凹镜是由xOy面上曲线Ly=y（x）0>O）绕x轴旋转而成，光源在原点，在L上任

取点作L的切线交x轴于4.点。发出的光线经点M反射后是•条平行于x轴射线.由

光学及几何原理可以证明。4=0例.

因为OA=AP-OP=PMcota-OP=±—x,而0M=&?+丫2.

于是得微分方程

^-x=ylx2+y2,

整理得

这是齐次方程.问题归结为解齐次方程率=工+,(工)2+1.令二=v,即x=yv,得

dyyVyy

即

分离变量，得

两边积分，得ln(v+Jy2+i)=]ny-InC,^>v+^v2+l-*n华*=/+],

♦2yv

C2C~,

以yv=x代入上式，得y2=2C(x+^).这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线，它绕x轴旋

转所得旋转曲面的方程为

y2+z2=2C(x+-1-).

这就是所求的旋转曲面方程.

例3设一条河的两岸为平行直线，水流速度为a,有一鸭子从岸边点A游向正对岸点0,

设鸭子的游速为b(b>a),且鸭子游动方向始终朝着点。，己知0A=h,求鸭子游过的迹线

的方程.

解取0为坐标原点，河岸朝顺水方向为x轴，y轴指向对岸.设在时刻，鸭子位于点

尸(x,y),则鸭子运动速度

5d票如故有生母

另一方面，羽=。+方=(〃，0)+/?(—J=^==^,/r)彳)，V=(d----/r,----1").

P‘+y2了+产'x2+y,2x2+y2

因此半=&=_[/(4)2+1+工

即虫=_旦(A)2+1+A

dyVyb\yydyyy

问题归结为解齐次方程华=-真唇M+上.令土=u,BPx=yu,得

dyb\yyy

y半=_.J〃2+1,

ayb

分离变量，得

两边积分，得

b

arshw=——(Iny+InC),

a

将u=1代入上式并整理，得x=*[(Cy)号—(。)”为.

以小句弋入上式，得故鸭子游过的轨迹方程为

兀=夕审工(令”司,094.

将“=：代入arshw=-£(lny+lnC)后的整理过程：

arsh—=-—(Iny+lnC)

Na

_b_bb

=>-=shln(Cy)-«=>-=i[1(Cy)~-(Cy)«]

yy2

nx=][(Cy)a-(Cy)a}=>x=^[(Cy)/-(Cy)F

小结：

1.讲述了•阶微分方程中可分离变量的微分方程及其解法.

2.讲述了齐次方程，及其解法.

第四节一阶线性微分方程

教学目的：掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换

解微分方程的方法；了解贝努利方程的形式及解法.

教学重点：一阶线性微分方程的形式、及解的形式，利用变量代换解微分方程.

教学难点：一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程.

教学内容：

一、一阶线性微分方程

1.一阶线性微分方程的定义

定义方程包+P(x)y=Q(x)(1)

dx

称为一阶线性微分方程.

特点关于未知函数y及其导数V是一次的.若。(x)三0,称(1)为齐次的；

若。(x)/0,称(1)为非齐次的.

如(1)y'+2xy=2xe~x(2)y'———=(x+l)^

x+1

2.一阶线性微分方程的解法

当。(x)三0时-，方程Q)为可分离变量的微分方程.

当。(工)#0时・，为求其解首先把。(x)换为0,即

生+P(x)y=0(2)

dx

称为对应于(1)的齐次微分方程，求得其解

-(P(x)dx

y=Ce2

为(1)的解，利用常数变易法，用〃(X)代替C,即y=M(x)eT""".

于是，

dy,-\p{x)dx-ip(x)dX

—=ueJ」[-P(x)]，

dx

代入(1),得

dx+C.

故y=+(3)

例1求方程

y--^-=(x+i)2(4)

x+1

的通解.

解这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次方程的通解.

生二=0,

dxx+1

dy_2dx

yx+l'

\ny=2ln(x+1)+InC，

y=C(x+l)2(5)

用常数变易法，把C换成“（X）,即令

2

y=u(x+l)f

则有—=/(x+1)2+2u(x+1),

dx

代入（1）式中得

I

U=(x+1)2,

2&

两端积分，得U=—(x+l)2+C.

再代入（4）式即得所求方程通解

2-

y=(x+i)2[-U+i)2+C].

另解我们可以直接应用（3）式

y=e-"\jQ(xWdx+C),

得到方程的通解，其中，

2-

尸(x)=,>Q(x)=(x+1)2,

x+1

代入积分同样可得方程通解

2-

y=U+i)2[-U+i)2+c].

此法较为简便，因此，以后的解方程中，可以直接应用(3)式求解.

例2有一个电路如图所示，其中电源电动势为E=E,»sinMEw、。都是常数)，电阻R和

电感心都是常量.求电流i⑺.

解由电学知道，当电流变化时，心上有感应电动势"卓.由回路电压定律得出

at

E-LMTR=。,

dt

+

即fr=f-

把E=E,”sinr代入上式，得

dtLL

初始条件为il*O.方程3f为非齐次线性方程，其中

dtLL

nF

P(t)=午,Q(f)=?sin①r.

LL-J

由通解公式，得

⑹=e小叫J0(N(”f+C]=「囱(信sincote^1'dt+C)

E-A(.A；

罟L(Jsin&Hdt+C)

E/

~!\-^(Rsina>t-a>Lcoscot)+CeL.

R2+a)zl3

其中C为任意常数.

将初始条件/I,=o=O代入通解,得C=限

R2+CO2I}

因此，所求函数i(。为

mIF--tF

i(D=F---六L~fn^-^(Rsina)t-a)Lcosd?t).

R2+CD2I}R2+CO2I}

二、贝努利方程

1.贝努利方程的定义

定义电+P(x)y=0(x)y"(〃声0,1)称为贝努力方程.

dx

特别低，当〃=0,1时，为一阶线性微分方程.

2.贝努利方程的解法

两边同除y”,得

厂"半+P(x)y5=Q(x).

ax

令2=/"，则有丝=(1-〃)厂"生，

dxdx

1!一皆+P(X)Z=。0),

\-ndx

d?

而—+(l-n)P(x)z=(l-n)2(x)

dx

为一阶线性微分方程，故

z=e4—(J(l-〃)Q(x)eWWx+C).

贝努利方程的解题步骤

(1)两端同除以(1一〃)y";

(2)代换z=yj;

(3)解关于z的线性微分方程；

(4)还原.

例3求方程生+2=a(lnX)：/的通解.

dxx

解以V除方程的两端，得

.2dyI」.

y—+—y=amx,

dxx

即---+—y'1=tzInx.

dxx

令［=y-，则上述方程成为

dxx

这是一个线性方程，它的通解为

_「a

z=xC—

2

以代x,得所求方程得通解为

yxC-^(inx)2=1.

三、利用变量代换解微分方程

例4解方程盯'+y=y(lnx+lny).

解令孙=〃，则也=y+x虫，于是

dxdx

du.u

——=yinu=—finu

dxx

解得〃=产，即孙=广.

例5解方程生=—.

dxx+y

解令x+y=M,则)，=u-羽虫=包-1,代入原方程，得

dxdx

du1duu+1

dxudxu

分离变量得

——du=dx,

u+1

两端积分得M-lnli/+11=x+C.

以"=x+y代入上式，即得

y-Inlx+y+11=C,

或1+x+y=Ce-v,(G=d°)

小结：

1.讲述了一阶线性微分方程的概念、常数变易法及标准型-阶线性微分方程的通解公式.

2.讲述了一阶非齐次线性方程的通解和变量代换法解伯努利方程.

第五节全微分方程

教学目的：掌握全微分方程成立的充要条件，掌握全微分方程的解法，会用观察

法找积分因子.

教学重点：全微分方程的解法，观察法找积分因子.

教学难点：全微分方程的解法，观察法找积分因子.

教学内容：

一、全微分方程

1.定义

若P(x,y)dx+Q(x,y)力=0(1)恰为某一个函数的全微分方程，即存在某个〃(x,y),

使有du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则称(1)为全微分方程.

可以证明〃(x,y)=C是(1)式的隐式通解.

2.解法

若尸(x,y),Q(x,y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数，条件

dPdQ

dydx

是(1)式为全微分方程的充要要条件.通解为u(x,y)=fP(x,y)dx+fQ(x,y)dy=C.

例1求解(5》4+3孙2-，3)公+(3》2),一3盯2+,2)0=0

解令P=5f+3孙2-y3,Q^3x2y-3xy2+y2

则2=6xy-3y2=丝.

dydx

此方程为全微分方程.于是

u(x,y)=£(5x4+3xy2-y3)dx+fy2dy

5322313

=x+-xyR+-y

22

通解为/+1Xy一盯3=c

3.积分因子

若竺7丝，则（］）式不是全微分方程，但若有一个适当函数〃=〃（x,y）,使（1）

dySx

式乘以y）后为全微分方程，称函数y）为积分因子.

一般积分因子不好求，我们只要求通过观察找到积分因子.

例2方程ydx-xdy=O不是全微分方程，但

ydx-xdy

yy2

于是将方程乘以—I,贝用"A："=0,即d（二）=0,从而二=C为其通解.此时上

yyyyy

为其积分因子.

注意积分因子一般不唯一.

如上述方程，若同乘有虫一虫=0,于是d（lnx—lny）=0,即±=C为其通

xyxyy

解.也是其积分因子.

xy

小结：

1.本节讲述了一阶线性微分方程，及贝努利方程的解法，利用常数变易法，和变量代换法

来解微分方程.

2.本节讲述了全微分方程的解法，用观察法找积分因子，使之满足全微分方程的充要条件.

第六节可降阶的高阶微分方程

教学目的：掌握三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法.

教学重点：三种可降阶的高阶微分方程的求法.

教学难点：三种可降阶的高阶微分方程的求法.

教学内容：

一、=/(x)型可降阶的微分方程的解法

令尸二z,则原方程可化为空=/(X)，于是

dx

z==J7(x)dx+G•

()

同理y"-2=+Ct]dx+C.

〃次积分后可求其通解.

其特点：只含有y⑺和x,不含y及y的1~(〃-1)阶导数.

例1求微分方程y-=e2v-cosx的通解.

解对所给方程接连积分三次，得

y〃=#_sinx+G，

2x

y=^e+COSX+C]X4-C2,

y=J/x+sin+C2X+C3，

82

这就是所给方程的通解.

或y"=52x-sinx+2G，

/+cosx+2Gx+。2，

2x