全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷41(题后含答案及解析)

全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷41(题后含答案及解析)题型有：1.单项选择题2.填空题3.计算题4.证明题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．设A=，当x与y满足_________时，有AB=BA．()A．2x=7B．2y=xC．y=x+1D．y=x一1正确答案：C解析：由于解得y=x+1．答案为C。2．已知是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为()A．(5，一3，一1)B．C．D．正确答案：A解析：将四个选项代入验证Ax=0是否成立即可．答案为A。3．齐次线性方程组的自由未知量是()A．x1，x2B．x2，x3C．x2，x4D．x1，x4正确答案：C解析：对系数矩阵作初等变换得：即故所以x2，x4为自由未知量．答案为C.4．若只有零解的充要条件是a≠A．－1B．－2C．－3D．?4正确答案：D解析：方程组只有零解的充要条件．因方程组只有零解，故｜A｜≠0，即r(A)＝3，则－a－4≠0，得a≠?4．5．若齐次线性方程组只有零解，则A应为()A．λ=一1B．λ≠一1C．λ=1D．λ≠1正确答案：B解析：齐次线性方程组Ax=0只有零解→｜A｜≠0｜A｜==1一λ+2λ=λ+1故λ≠一1时题中齐次线性方程组只有零解．答案为B。6．设3阶矩阵其中α，β，γ2，γ3均为3维行向量，且已知行列式|A|=18，|B|=2，则行列式|A-B|等于()A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：选B．7．已知A、B为n阶方阵，且满足A2＝B2，则必有A．｜A｜＝｜B｜B．｜A｜2＝｜B｜2C．A＝BD．?A=B正确答案：B解析：由A2＝B2，得｜A2｜＝｜B2｜，即｜A｜2?｜B｜2，故B项正确．8．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，α与β是A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，则α与β()A．对应分量成比例B．线性无关C．可能有零向量D．线性相关正确答案：B解析：因λ1≠λ2，α与β是A的特征向量，则α≠β，则由定理5.2.4得α，β线性无关。9．如果A，B是同阶对称矩阵，则A.B()A．是对称矩阵B．是非对称矩阵C．是反对称矩阵D．不一定是对称矩阵正确答案：D解析：设A与B均为对称矩阵但A.B=不是对称矩阵．答案选D。10．设λ0是n阶矩阵A的特征值，且齐次线性方程组(λ0E-A)x=0的基础解系为η1和η2，则A的属于λ0的全部特征向量是()A．η1和η2B．C1η1+C2η2+C2(C1，C2为任意常数)C．C1η1+C2η2(C1，C2为不全为零的任意常数)D．η1或η2正确答案：C解析：对任意常数C1，C2，都有(λ0E—A)(C1η1+C2η2)=C1(λ0E—A)η1+C2(λ0E—A)η2=0．即有A(C1η1+C2η2)=λ0(C1η1+C2η2)．但又由于零向量不是特征向量．故属于λ0的全部特征向量即为C1η1+C2η2，(C12+C22≠0)，故选C．11．已知向量组α1＝(1，－1，1)T，α2＝(－1，1，1)T，α3＝(1，1，－1)T，此向量组的秩为A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：由A＝(α1，α2，α3)，则r(A)＝3，故此向量组的秩为3．12．没A是n阶方阵，且｜A｜=5，则｜(5AT)-1｜=()A．5n+1B．5n—1C．5-n—1D．5-n正确答案：C解析：13．已知是三元齐次线性方程组Ax＝0的解，则系数矩阵A可为A．B．C．D．正确答案：A解析：由题知是两个线性无关的解向量，则该Ax＝0的基础解系中至少含有2个自由向量，即3－r(A)≥2，得r(A)≤1，显然只有A项的秩为1≤l，故选A项．14．设A是n阶方阵，且｜A｜=5，则｜(5AT)-1｜=()A．5n+1B．5n-1C．5-n-1D．5-n正确答案：C解析：因为｜A｜=5，所以答案为C15．齐次线性方程组的解的个数为()A．有惟一的零解B．有无穷多个解C．无解D．不确定正确答案：B解析：齐次线性方程系数矩阵A的秩为：r(A)=3＜4，故齐次线性方程组有无穷多个解．答案为B。16．当t为______，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+2x1x3是正定的．()A．｜t｜>2B．｜t｜<3C．D．｜t｜>1正确答案：C解析：二次型的矩阵各阶顺序主子式为2＞0，即即因为故当时，答案为C17．设矩阵，则()A．a=3，b=一1，c=1，d=3B．a=一1，b=3，c=1，d=3C．a=3，b=一1，c=0，d=3D．a=一1，b=3，c=0，d=3正确答案：C解析：。答案为C。18．设m×n矩阵A的秩r(A)=n一3(n＞3)，α，β，γ是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为()A．α，β，α+βB．β，γ，γ一βC．α一β，β一γ，γ一αD．α，α+β，α+β+γ正确答案：D解析：基础解系必须是线性无关的向量组，四个选项中只有D中三个向量线性无关．答案为D。19．设A，B为同阶对称矩阵，则AB()A．不一定是对称矩阵B．一定是反对称矩阵C．一定是非对称矩阵D．一定是对称矩阵正确答案：A解析：20．设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，若A2=E，则一定有()A．r(A-E)=0B．r(A+E)=0C．r(A)=nD．r(A)＜n正确答案：C解析：由(A—E)(A+E)=O得A2=E，由于A2=E，故|A2|=|A|2=1，|A|≠0，A可逆，所以r(A)=n．填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。21．行列式=__________．正确答案：4解析：22．行列式.正确答案：0解析：按定义计算，可得结果为0．23．已知A=，二次型f(x)=xTAx的矩阵为__________．正确答案：解析：因为二次型f(x1，x2，x3)=x12+6x1x2+10x1x3+5x22+14x2x3+9x32，故由二次型矩阵的定义知矩阵为．24．的根为______．正确答案：2解析：f(x)=3x+3+12—27+2x+2=5x-10=→x=2.25．已知A～，则r(A－E)＝______．正确答案：2解析：因A～，故A的特征值为1，-1，2．故A－E～，则r(A-E)＝2．26．用初等变换将矩阵A=化为标准型为__________．正确答案：解析：对A进行初等变换，有27．n阶方阵A=(aii)的每一行元素之和同为a．则属于a的特征向量p为________．正确答案：解析：取因此a是矩阵A的一个特征值，则p是A属于特征值a的特征向量．28．设向量α＝为单位向量且a>0，则a＝_______．正确答案：解析：29．设矩阵，则A的全部特征值为________．正确答案：一1，1解析：特征方程｜λE一A｜30．正确答案：3解析：计算题31．用配方法求f(x1，x2)=x12一4x1x2+x22的标准形．正确答案：用配方法把所给的二次型改写成f(x1，x2)=x12一4x1x2+x22=(x1—x2)2一3x22，作可逆线性变换即立刻得到标准形f=y12一3y22．需要注意的是，由于所用的是一般的可逆变换，不一定是正交变换，所以不能说所得到的标准形的系数1，一3就是此二次型对应的对称矩阵的特征值．事实上，它的特征值为1，1．32．计算D＝的值．正确答案：已知线性方程组33．讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．正确答案：将线性方程组的增广矩阵作初等行变换当λ=一2时，r(A)=2，，方程组无解；当λ≠一2且λ≠1时，，方程组有惟一解；当λ=1时，，方程组有无穷多个解．34．在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出