广东省佛山市2024届高三下学期教学质量检测（二）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省佛山市2024届高三下学期教学质量检测（二）数学试题一、选择题1.已知双曲线，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由于双曲线为，所以其渐近线方程为.故选：C2.已知集合，，且，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得或，即或，由，，则.故选：D.3.某圆锥高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由圆锥高为，母线与底面所成的角为，得圆锥底面圆半径，母线，所以圆锥的表面积.故选：A4.劳动可以树德、可以增智、可以健体、可以育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动实践比赛，已知冠军是甲、乙当中的一人，丁和戊都不是最差的，则这5名同学的名次排列（无并列名次）共有（）A.12种 B.24种 C.36种 D.48种〖答案〗B〖解析〗依题意，排第1名，有种方法，排丁和戊，有种方法，排余下2人，有种方法，所以这5名同学的名次排列（无并列名次）共有（种）.故选：B5.已知P是过，，三点的圆上的动点，则的最大值为（）A. B. C.5 D.20〖答案〗B〖解析〗依题意，，则，因此线段是圆的直径，且，而点是该圆上的点，所以的最大值为.故选：B6.已知角满足，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，则，则或，由，故，则.故选：C.7.已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，，显然函数在上单调递增，而函数在上单调递减，因此，而，则或，解得或，所以实数a的取值范围为.故选：D8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在C上，且满足，，则C的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，由，得，取的中点M，则四边形为平行四边形，，于是，则，解得，，由椭圆定义知，又，，由，得，即，在和中，余弦定理得：，即，整理得，所以C的离心率为.故选：B二、选择题9.已知复数，满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗方程，化为，解得或，由复数，满足，不妨令，，对于A，显然复数，互为共轭复数，即，A正确；对于B，，而，则，B正确；对于C，，C错误；对于D，由，得，D正确.故选：ABD10.已知平面平面，A，且A，，C，且C，，E，，且，，下列说法正确的有（）A若，则B.若，则几何体柱体C.若，，则几何体是台体D.若，且，则直线，与所成角的大小相等〖答案〗AD〖解析〗对于A，由平面平面，得，而，则，又，且，且，于是，因此平面ACE，而平面ACE，所以，A正确；对于B，平面平面，且，，则不一定成立，而棱柱的每个侧面都是平行四边形，因此几何体不一定是柱体，B错误；对于C，由，，而，AB与l不一定相交，，CD与l也不一定相交，即使AB、CD与l都相交，但交点也不一定重合，因此几何体不一定是台体，C错误；对于D，平面平面，且，，则，而，，因此，又，连接CE、DE，则分别是直线AC、AD与所成角，而，，因此，而，于是≌，所以，即直线AC，AD与所成角的大小相等，D正确.故选：AD.11.在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（）A. B.C. D.若，则B与C互斥〖答案〗BCD〖解析〗对于A，A与B相互独立，则,，A错误；对于B，因为A与C互斥，所以,所以,,所以,B正确；对于C，,因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，所以,所以，C正确；对于D，显然，即，由，得，解得，所以B与C互斥，D正确.故选：BCD.三、填空题12.已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的实数x的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗由为偶函数且在上单调递减，故在上单调递增，又，故当，可得，又，故等价于，故x的取值范围为.故〖答案〗为：.13.统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：g），某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出，的最大值是______.〖答案〗5〖解析〗依题意，，由原则，得，解得，所以的最大值是5.故〖答案〗为：514.近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则______秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数〖解析〗式为______.〖答案〗〖解析〗以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速，设点，圆上两点A、B始终保持，则，要使A、B两点的竖直距高为0，则，第一次为0时，，解得，.故〖答案〗为：；四、解答题15.已知数列和等差数列的前n项和分别为，，且，，.（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.解：（1）由，得，即，解得，则，设等差数列的公差为，由，得，解得，所以数列的通项公式为；由，得当时，，两式相减得，即，因此数列是首项为1，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为.（2）由（1）及，得，令数列的前n项和为，则，于是，两式相减得，所以16.如图，三棱锥中，正三角形所在平面与平面垂直，为的中点，是的重心，，G到平面的距离为1，.（1）证明：平面；（2）证明：是直角三角形；（3）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：在三棱锥中，连接PG并延长交BC于D，连接OD、OG，由G为的重心，得D为BC的中点，又O是AC中点，则，又平面POG，平面POG，所以平面.（2）证明：由是正三角形，O是AB的中点，得，又平面平面ABC，平面平面，平面PAC，则平面ABC，又平面ABC，于是，又，又平面POD，，因此平面POD，又平面POD，则，又由（1）知，于是，所以是直角三角形.（3）解：在平面内过B作于F，平面平面ABC，平面平面，则平面PAC，由G为的重心，且G到平面PAC的距离为1，得B到平面PAC的距离为3，即，在中，，则，在中，，以O为原点，直线OC，OP分别为y，z轴，过点O且垂直于平面PAC的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则，设平面PAB的法向量为，，则，令，得，设平面PBC的法向量为，，则，令，得，因此，所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为.17.如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点位于位置.（1）求；（2）求；（3）指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由.解：（1）设质点次移动中向右移动的次数为，显然每移动一次的概率为，则，，所以.（2）由（1）知，，，又，所以.（3）由（1）知，，，当为偶数时，中间的一项取得最大值，即时概率最大，此时，所以质点最有可能位于位置0；当为奇数时，中间的两项取得最大值，即或时概率最大，此时或，所以质点最有可能位于位置或1.18.已知.（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个极值点，，证明：.（1）解：当时，，，则当，即时，，当，即时，，故的单调递减区间为、，单调递增区间为；（2）证明：，令，即，令，，则、是方程的两个正根，则，即，有，，即，则，要证，即证，令，则，令，则，则在上单调递减，又，，故存在，使，即，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，则，又，则，故，即，即.19.两条动直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A，B两点，当的垂心恰是C的焦点时，.（1）求p；（2）若，弦中点为P，点关于直线的对称点N在抛物线C上，求的面积.解：（1）由的垂心恰是C的焦点，由抛物线对称性得，，而，不妨设，而焦点，则，解得，所以.（2）由（1