河北省张家口市2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省张家口市2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知角终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为角终边过点，所以，，，所以.故选：D.2.已知向量，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗向量，由，得，所以.故选：B.3.若为实数，则实数（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，又为实数，所以，解得.故选：D.4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A.5.已知函数在上单调递增，则实数a的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗当时，，而正弦函数在上单调递增，因此，解得，所以实数a的最大值为.故选：B.6.已知向量满足向量在向量上投影向量为，且，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗因为向量在向量上的投影向量为，所以，因为，所以，.故选：C.7.已知函数部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，所以，解得，又，且在递增区间上，所以，解得，又，所以，所以，又，所以，解得，所以，所以.故选：D.8.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，解得，.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则另一个顶点的坐标可以是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗记点分别为，第4个顶点为，当线段为平行四边形对角线时，，则点，B是；当线段为平行四边形对角线时，，则点，D是；当线段为平行四边形对角线时，，则点，C是.故选：BCD.10.已知z为复数，则下列说法正确的是（）A.若z是纯虚数，则B.C.若复数，则在复平面内对应的点在第一象限D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，令，则，A正确；对于B，取，则，B错误；对于C，，则在复平面内对应的点在第一象限，C正确；对于D，表示复平面内复数对应点在以原点为圆心，1为半径的圆上，表示该圆上的点到点的距离，而点到原点的距离为1，因此，D正确.故选：ACD.11.在，下列说法正确的是（）A.若，则为等腰三角形B.若，则必有两解C.若是锐角三角形，则D.若，则为锐角三角形〖答案〗BC〖解析〗对于A，由正弦定理可得，，或即，为等腰或直角三角形，故A错误；对于B，，即，必有两解，故B正确；对于C，是锐角三角形，，即，由正弦函数性质结合诱导公式得，故C正确；对于D，利用二倍角的余弦公式知，即，即，，即C为锐角，不能说明为锐角三角形，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则_________．〖答案〗〖解析〗依题意，，所以.故〖答案〗为：.13.已知单位向量满足，则__________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，则，故，所以，所以.故〖答案〗为：.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积，则的最大值为__________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，即，，因为，所以，，，因为，当且仅当时取到等号，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知四边形ABCD为平行四边形，．（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）设点P满足，点Q为线段AP上一点，若，求实数的值．解：（1）因为，所以，因为，所以，的面积为，所以平行四边形ABCD的面积为2.（2）设，因为，所以，又，所以，解得.16.已知在复数范围内，关于x的一元二次方程有两个虚数根和，若，且的虚部为正数．（1）求实数k的值；（2）求的值．解：（1）设，则，由题意，所以，因为，所以，解得或（舍），，所以.（2）因为，，所以.17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．（1）求角A；（2）已知角A的内角平分线交BC于点M，若，求的周长．解：（1）因为，所以，，，，化简得，由，所以，所以，，由，解得.（2）因为为角平分线，且，所以，整理得，由余弦定理可得，即，解得或（舍），的周长为.18.如图，某市城建部门计划在一块半径为，圆心角为的扇形空地AOB内设计一个五边形花境，具体方案设计如下：在圆弧AB上取点P（P与A，B不重合），点M，N分别在半径OA，OB上，且，，连接PA，PB，MN，在由，，组成的五边形MNBPA内种植三种花境植物，设．（1）求的取值范围；（2）已知内花境植物种植费用为400元/，，内花境植物种植费用为500元/，试预测此五边形花境最低造价为多少万元？解：（1）依题意，令扇形所在圆半径为，即，，，，而，则，，因此，而，所以的取值范围.（2）由（1）知，，，，因此五边形花境造价，令，则，因此，显然函数在上单调递减，当，即时，，于是当时，（万元），所以预测此五边形花境最低造价为万元.19.设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”．（1）已知函数为向量的“相伴函数”，若函数在上有两个零点，求实数t的取值范围；（2）在中，，向量的“相伴函数”为，且的最大值为，若点T为的外心，求的最大值．解：（1