湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数，则的虚部为（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗复数的虚部为.故选：C.2.已知，向量，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得，因为，所以，，解得：，所以，所以.故选：B．3.下面关于函数叙述中正确的是（）A.关于直线对称 B.关于点对称C.在区间上单调递减 D.函数的零点是〖答案〗B〖解析〗由，所以A错，B对；由，所以，又不是子集，故C错；由，故D错.故选：B.4.在中，角的对边分别为，若，，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，所以，即，解得，由余弦定理有，而，所以.故选：C.5.函数的部分图象如图，则（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由图可知，解得，又，所以，解得，注意到，从而，所以，所以.故选：B.6.函数的最大值为（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗设，根据辅助角公式，，由，于是，故，当，取得最大值.故选：A.7.在中，若，且，则（）A. B. C.3 D.2〖答案〗D〖解析〗由，得，，，，由题，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故．故选：D．8.设是的外心，点为的中点，满足，若，则面积的最大值为（）A.2 B.4 C. D.8〖答案〗B〖解析〗因，，所以，从而，即，所以，所以，所以的面积为，等号成立当且仅当，综上所述，面积的最大值为4.故选：B.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.在中，，则角的可能取值是（）A B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗由正弦定理有，即，解得，注意到从而，所以角的可能取值是，.故选：BC.10.下面四个命题中的真命题为（）A.若复数满足，则B.若复数满足，则C.已知，若，则D.已知，若，则〖答案〗AB〖解析〗对于A，由于，而是实数的倒数，所以，故A正确；对于B，若，，则有，则，故B正确；对于C，取，显然满足，但不成立，故C错误；对于D，，显然有，但不成立，故D错误.故选：AB.11.如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，则下列结论中，错误的是（）A. B.C. D.在上的投影向量为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，在上的投影向量为，而由C选项分析可知，，由A选项分析可知，且注意到，所以在上投影向量为，故D错误.故选：ACD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知向量满足，则______.〖答案〗1〖解析〗因为，所以，解得.故〖答案〗为：1.13.已知为锐角，，则________.〖答案〗〖解析〗因为为锐角，所以，所以，所以，又因为，所以，所以.故〖答案〗为：.14.已知函数其中．若在区间上单调递增，则取值范围是___________．〖答案〗〖解析〗由题意，所以在单调递增，若在区间上单调递增，则在上单调递增，所以，其中，解得，从而等号不能同时成立，解得，又，所以只能或，即的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知.（1）化简；（2）已知，求的值.解：（1）依题意得，.（2）依题意得，，得到，于是.16.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：在中，内角所对的边分别为，已知，且选择条件______.（1）求角；（2）若为的平分线，且与交于点，求的周长.解：（1）若选①，，则，又因为，所以，即，所以，又因为，所以，所以，解得；若选②，，则，由正弦定理可得，故，又，故；若选择③，；由正弦定理可得，再由余弦定理得，即，，，综上所述，无论选①②③任何一个，都有.（2），，，因为，所以，又平分，所以，所以，则，即，由余弦定理得，即，所以，解得或（负值舍去），故的周长为.17.如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点．（1）以为基底表示；（2）若，求的值；（3）若，求的值．解：（1）．（2）连接，则，因为，，所以，，因为三点共线，三点共线，所以，解得．（3）设，，则，，所以，解得，所以，，又因为，所以，即，所以．18.某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌.如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度.某人在扶梯上点处（异于点）观察广告牌的视角，当人在点时，观测到视角的正切值为.（1）设的长为米，用表示；（2）求扶梯的长；（3）当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长.解：（1）因为在直角三角形中，，，，所以，因为，点是的中点，从而，所以.（2）由（1）有，其中，而在直角三角形中，，又因为，，所以，即，解得或，注意到，所以，（否则时，有，矛盾），所以扶梯的长度为10米.（3）作于点，如图所示，设，则，，由（2）可知，，，当取最大值时，即取最大值，，等号成立当且仅当，所以此时.19.我们把（其中）称为一元次多项式方程.代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程（即为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为个一元一次多项式的积.即，其中，为方程的根.进一步可以推出：在实系数范围内（即为实数），方程有实数根，则多项式必可分解因式.例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，.（1）在复数集内解方程：；（2）设，其中，且.（i）分解因式：；（ii）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证：当时，.解：（1）观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，