辽宁省名校联盟2024年高考模拟数学试题（信息卷）数学试题（四）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省名校联盟2024年高考模拟卷（信息卷）（四）数学一、选择题1.已知的实部为，且为纯虚数，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为复数的实部为，所以可设，，所以，因为为纯虚数，所以，所以，所以，故选：D.2.已知集合，若，则（）A.3 B.2 C.1 D.1或3〖答案〗C〖解析〗由题意知：对于集合B，当时，；当时，；当时，；又，故，则，若，则，此时，不满足；若，此时，满足，故，故选：C.3.已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知可得，，由导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率.对于A、B项，由可得，，解得.当时，切点为，此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故B项正确.当时，切点为，此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故A项正确；对于C、D项，由可得，，解得，切点为，此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故C项正确，D项错误.故选：D.4.造纸术是我国古代四大发明之一，目前我国纸张采用国际标准，复印纸A系列纸张尺寸的长宽比都是，.纸张的面积为1平方米，长宽比为，将纸张的长边对折切开得到两张纸张，将的长边对折切开得到两张纸张，依次类推得到纸张，，…，.则纸张的长等于（）（参考数据：，）A.210毫米 B.297毫米 C.149毫米 D.105毫米〖答案〗C〖解析〗由已知的面积分别为平方米，的面积为平方米.设的长宽分别为，，则，故。故选：C.5.为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（）A.48种 B.36种 C.24种 D.12种．〖答案〗A〖解析〗满足条件的摆放方案可分为两类，第一类区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件的方案可分四步完成，第一步，先摆区域有种方法，第二步，摆放区域有3种方法，第三步，摆放区域有2种方法，第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件方案可分四步完成，第一步，先摆区域有种方法，第二步，摆放区域有3种方法，第三步，摆放区域有2种方法，第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有种，故选：A.6.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知可得，，显然，两边同时乘以可得，，整理可得，所以，，两边同时平方可得，即，解得或.当时，，此时，不满足题意，舍去.所以，.故选：A.7.已知点在椭圆上，的左、右焦点分别为，则满足的点的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由椭圆可得半焦距，故.设，则,所以即，而，故，故满足条件的的个数为2，故选：B8.将一块棱长为1的正方体木料，打磨成两个球体艺术品，则两个球体的体积之和的最大值为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗要使两个球的体积之和最大，则应满足两个球互相外切，并且分别与正方体的面相切，即应有两个球球心连线位于正方体的体对角线上.如图，设两球的圆心分别为，半径为，由已知可得，，，，所以，，则，，.又，所以，，.因为，所以.又两球的体积之和，.当时，有，即函数在上单调递减；当时，有，即函数在上单调递增.当时，，所以，.又，所以，函数的最大值为.故选：B.二、选择题9.已知第一组样本数据的极差为，中位数为，平均数为，标准差为；第二组样本数据的极差为，中位数为，平均数为，标准差为．若满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因为，对于A，设在数据中最大，最小，则，则在数据中最大，最小，则，故A错误；对于B，因为样本数据的中位数为，当为偶数时，，又因为，所以样本数据的中位数为，当为奇数时，，又因为，所以样本数据的中位数为，所以样本数据的中位数为，故B正确；对于C，因为样本数据的平均数为，即，所以样本数据的平均数为，故C正确；对于D，因为样本数据的标准差为，样本数据的标准差为，则，，，所以，故D错误.故选：BC.10.已知正三棱柱的底面边长为，高为，记异面直线与所成角为，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗在正三棱柱中，设的中点为，连接,则平面，,以O为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，对于A，当时，，则，则，由于异面直线与所成角为，范围为大于小于等于，故，A正确；对于B，，则，由于，则，解得或，B错误；对于C，当时，，则，则，故，则，C正确；对于D，若，则，则，则，则，解得或（舍），D正确；故选：ACD11.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗令，则，当时，有，所以在上单调递增；当时，有，所以在上单调递减.所以，在处取得唯一极大值，也是最大值，所以，，即，所以；令，则，当时，有，所以在上单调递减；当时，有，所以在上单调递增.所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，所以，，即，所以；令，则恒成立，所以在上单调递减.又，所以，当时，恒成立，所以，即在上恒成立，所以；令，则在上恒成立，所以，在上单调递增.又，所以在上恒成立，即，即，所以，.所以，；令，则.令，则.因为在上恒成立，所以在上恒成立，所以，在上单调递增.又，所以在上恒成立，即在上恒成立，在上单调递增.又，所以在上单调递增，所以，，即；令，则在上恒成立，所以，在上单调递减.又，所以，即，所以，.因为，所以，即.综上所述，.故选：ACD.三、填空题12.已知向量不共线，，若，则________.〖答案〗〖解析〗由，不共线，故存在实数，使，即有，即有，解得.故〖答案〗为：.13.某厂家为了保证防寒服的质量，从生产的保暖絮片中随机抽取多组，得到每组纤维长度（单位：）的均值，并制成如下所示的频率分布直方图，由此估计其纤维长度均值的分位数是___________.〖答案〗36〖解析〗由频率分布直方图可得从左到右前6个矩形面积之和为：，前7个矩形面积之和为，故纤维长度均值的分位数位于第7组内，设纤维长度均值的分位数为x，则，解得，即估计其纤维长度均值的分位数是36，故〖答案〗为：36.14.已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与一条渐近线交于点（异于点），直线与另一条渐近线交于点,且，则的离心率为___________.〖答案〗〖解析〗如图所示：设，即，则右焦点到直线OP的距离为，又，则，又，在中，在中，又因为，所以，解得，所以离心率为，故〖答案〗为：四、解答题15.已知的内角的对边分别为．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．解：（1）由题意知中，，即，即，故，而；（2）由（1）知，而，故由正弦定理得，则，由为锐角三角形，则，则，故的周长，而，故，故的周长的取值范围为.16.土壤食物网对有机质的分解有两条途径，即真菌途径和细菌途径．在不同的土壤生态系统中，由于提供能源的有机物其分解的难易程度不同，这两条途径所起的作用也不同．以细菌分解途径为主导的土壤，有机质降解快，氮矿化率高，有利于养分供应，以真菌途径为主的土壤，氮和能量转化比较缓慢，有利于有机质存财和氮的固持．某生物实验小组从一种土壤数据中随机抽查并统计了8组数据，如下表所示：编号12345678细菌百万个708090100110120130140真菌百万个8.010.012.515.017.521027.039.0其散点图如下，散点大致分布在指数型函数的图象附近．（1）求关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；（2）在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环．以样本的频率估计总体分布的概率，若该实验小组随机抽查8组数据，再从中任选4组，记真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比位于区间内的组数为，求的分布列与数学期望.附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，解：（1）由于，故，令，则，，则，，故，则关于的经验回归方程为；（2）由已知图表可知从第1组到第8组的真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比依次为：，，故样本中比值位于内的组数有4组，则X的可能取值为：，则,，故X的分布列为：X01234P则.17.如图，在几何体中，四边形为菱形，四边形为梯形，，且．（1）求证：平面平面；（2）当时，平面与平面能否垂直？若能，求出菱形的边长；若不能，请说明理由．（1）证明：设，交点为，连接，因为四边形为菱形，所以，，又因为，所以，因为，平面，且，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）解：由，，，在中，可得，所以，故，又由（1）知平面平面，平面平面，且平面，所以平面，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，，，，可得，，，设平面的法向量为，则，取，可得，，故，设平面法向量为，则，取，可得，，故，因为平面与平面垂直，故，解得，此时，故存在边长为的菱形，使平面与平面垂直.18.已知定点，动点在直线上，过点作的垂线，该垂线与的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）已知点，动点在上，满足，且与轴不垂直．请从①在上；②三点共线；③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．注：如果选择不同组合分别解答，按第一个解答计分.解：（1）由题意：动点到点的距离与到直线：的距离相等，所以的轨迹是以为焦点，以直线：为准线的抛物线，所以的方程为：（2）若选择①③②，如图：因为，，都在上，所以，所以，可设，.且.由所以此时，，所以，即，所以A，B，Q三点共线.若选择①②③如图：此时点可在线段上任意选择一点，则和未必满足③，故该选择无法证明.若选择②③①，因为，且，，所以，设，.因为（*）又因为三点共线，所以因为，所以，代入（*）整理得：因为，故，所以在曲线：上.19.已知函数．（1）当时，判断在区间内的单调性；（2）若有三个零点，且．（i）求的取值范围；（ii）证明：.（1）解