浙江省9+1联盟2024届高三下学期3月高考模拟数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省9+1联盟2024届高三下学期3月高考模拟数学试卷一、选择题1.已知全集，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，画出图，并将条件中的集合标在图中，如图，集合．故选：C2.若复数的实部大于0，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，代入，得，解得：，所以.故选：D.3.已知向量是平面上两个不共线的单位向量，且，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线〖答案〗C〖解析〗对于A，因为，若三点共线，设，则，无解，所以三点不共线，故A错误；对于B，若三点共线，设，则，无解，所以三点不共线，故B错误；对于C，因为，因为有公共点，所以三点共线，故C正确.对于D，因为，，设，则，无解，所以三点不共线，故D错误；故选：C.4.已知数列满足：，且数列为等差数列，则（）A.10 B.40 C.100 D.103〖答案〗D〖解析〗设数列的公差为，则，故，所以．故选：D.5.如图，已知长方体的体积为是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗取的中点，连接，易知，所以平面与交点为.设长方体的长、宽、高分别为，则.平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为.故选：A.6.已知椭圆，直线与交于两点，且．则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，记，设中点为，所以，由题意可知，中点是直线与直线的交点，联立，解得，另一方面，联立，得．易知，由韦达定理得，解得，所以，故离心率．故选：B.7.某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（）A.2025种 B.4050种 C.8100种 D.16200种〖答案〗B〖解析〗先考虑两对混双的组合有种不同的方法，余下名男选手和名女选手各有种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，故共有．故选：B8.设函数．若实数使得对任意恒成立，则（）A. B.0 C.1 D.〖答案〗C〖解析〗函数，依题意，对任意的恒成立，即对恒成立，因此对恒成立，于是，显然，否则且，矛盾，则，显然，否则且，矛盾，从而，解得，所以.故选：C.二、多项选择题9.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度〖答案〗AD〖解析〗把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数的图象，A正确；把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可得函数的图象，B错误；把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数的图象，C错误；把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可得函数的图象，D正确；故选：AD.10.高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分．则A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗为小明随机选择1个选项的得分，所以，，，则的分布列为：02由此可得，为小明随机选择2个选项的得分，所以，,,,则的分布列026由此可得．所以,，，.故选：BC．11.对于，满足，且对于，恒有．则（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗令代入及，得，所以，，A选项正确；令代入，得；令代入由，得，，，，，对于．恒有，，，B选项正确；，C选项错误；，则有，即，D选项正确.故选：ABD.三、填空题12.已知．若，则________．〖答案〗〖解析〗令，则有，即，即有，则.故〖答案〗为：.13.应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，且，的面积为10，，则抛物线方程为________．〖答案〗〖解析〗以的中点为原点，为轴，建立平面直角坐标系，不妨设．由，则有，解得，又，解得，，则有，故抛物线方程为．故〖答案〗为：14.函数的最小值是________．〖答案〗3〖解析〗解法一：，令，则，当时，，所以在上单调递增,，设，因为在上单调递增，因为，，存在，使，且，故当时，，即，所以在区间单调递减，当时，，即，所以在区间单调增，所以．解法二（最优解）：设，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，即，当且仅当时，等号成立；所以，当且仅当时等号成立，设，可得单调递增，又，所以有解，所以.故〖答案〗为：.四、解答题15.如图，已知正三棱柱分别为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．（1）证明：取中点，由正三棱柱性质得，互相垂直，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，则，则．证明：，由，得，由，得，因为平面，所以平面．（2）解：由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的法向量，则,故，令，得面的一个法向量为，设二面角的值为，则，所以，二面角的正弦值为．16.今年的《春节联欢晚会》上，魔术师刘谦表演的魔术《守岁共此时》精彩纷呈．节目的第二部分是互动环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮．节目主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜．如果我们将4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．（1）将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张，求翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率；（2）将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望．解：（1）设翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的事件设为，由已知将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张的方法数为，翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的方法数为，则．所以翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率为．（2）由已知随机变量可能取值有，，，，，所以的分布列0124所以．17.如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．（1）设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程；（2）过的直线与相交于点三点，求证：．（1）解：由题设可得,，故椭圆方程为：，双曲线方程为．由图可知，切点在双曲线上．设，则，则切线的方程为：，因为直线过点，所以，，将代入，得，所以，，直线的方程为：．（2）证明：由题意可得的斜率存在且不为零，故设方程为：，联立整理得：，,即且,解得：或，即．联立整理得：，解得：或，即．所以，所以，所以．18.已知函数．（1）如果1和是的两个极值点，且的极大值为3，求的极小值；（2）当时，讨论的单调性；（3）当时，且函数在区间上最大值为2，最小值为．求的值．解：（1）因为，所以，因为和是的两个极值点，所以和是方程的两根，故，解得，即，所以，因为时，，当时，，所以在区间上单调增，在区间上单调减，所以，解得，所以．（2）当时定义域为，又，令，解得或，若，则当时，；当时，．故在区间单调递增，在上单调递减；若，则恒成立，所以在区间单调递增；若，则当时，；当时，．故在区间单调递增，在上单调递减．综上可得：当时在区间单调递增，在上单调递减；当时在区间单调递增；当时在区间单调递增，在上单调递减．（3）当时，，由题意得：，即，①，即，②由①、②可知，，．③因为，，，，所以有两个实数根，且，当时，，当时，，故是的极大值点，是的极小值点．由题意得，，即，两式同向相加得：，④注意到，，，代入④得，由③可知，，则，，所以，，所以，所以，当且仅当，即，又，所以时成立，所以，从而．19.已知实数，定义数列如下：