第1讲集合的概念和运算

•MATHEMATICSI

用—扁

集合与常用逻辑用语

第1讲集合的概念和运算

【2014年高考会这样考】

1.考查集合的交、并、补的基本运算，常与一次不等式、一元二次不等式、简单的分式

不等式、指数不等式、对数不等式的求解或函数定义域相结合.

2.利用集合运算的结果确定某个集合，主要是有限数集的基本运算，可用韦恩图解决，

多以选择题的形式进行考查.

抓住驻考点必考必记夯基固本

对应本生

用书P1

考点梳理

1.集合的基本概念

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号且或殳表示.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法.

(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N+)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.

(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集.

2.集合间的基本关系

(1)子集：对任意的xea都有xCB,则/与8(或8。/).

(2)真子集：若AJB,且/片8,则/_8(或8A).

(3)空集：空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集.即。QZ,0

(4)集合相等：若/U8,且8=4则

3.集合的基本运算及其性质

⑴并集：或

(2)交集：/A8={x归64,且xGB}.

(3)补集：口凶=行利6。，且=U为全集，[以表示N相对于全集U的补集.

(4)集合的运算性质

@AC]A=A,JA0=0；

®AUA=A,AU0=A；

④ZC[必=0,AU[tjA—IJ,

【助学彳散博】

常用一条性质

若集合力中含有〃个元素，则/的子集有2"个，/的真子集有2”-1个.

关注两个“易错点”

（1）注意空集在解题中的应用，防止遗漏空集而导致失误，如4U8,408=44UB=B

中N=。的情况需特别注意；

（2）对于含参数的两集合具有包含关系时，端点的取舍是易错点，对端点要单独考虑.

考点自测

1.（2012・湖南）设集合何={-1,0,1},JV={x\x2=x},则MAN=（）.

A.{-1,0,1}B.{0,1}

C.{1}D.{0}

解析N={0,l},.•./WCN={0,l}.

答案B

2.（2012・湖北）已知集合/=—3X+2=0,XGR},8={X|0<X<5,XGN},则满足条

件ZGCUB的集合C的个数为（）.

A.1B.2

C.3D.4

解析由题意知：/={1,2},8={1,2,3,4}.又则集合C可能为{1,2},{1,2,3},

{1,2,4},{1,2,3,4}.

答案D

3.（2012•皖南八校三模）设全集。={1,2,345,6},集合/={1,2,4},5={3,4,5},则图中

的阴影部分表示的集合为（）.

A.{5}B.{4}

C.{1,2}D.{3,5}

解析由题图可知阴影部分为集合([/)ng,•••(〃={3,5,6},={3,5}.

答案D

4.(2012•济宁一模)设全集U={x|rWN*,x<6},集合/={1,3},5={3,5},则CM4U5)

等于().

A.{1,4}B.{1,5}

C.{2,5}D.{2,4}

解析由题意/U8={1,3}U{3,5}={1,3,5}.又U={1,2,3,4,5},所以腹。U8)={2,4}。选D

5.(2012•天津)已知集合4={xeR|k+2|v3},集合{x£R|(x—⑼(x-2)<0},且4nB

=(—1,勿),则m=,n=.

解析A={x\-5<x<l},因为ZG3={x|-l〈xv"},B={x\(x-m)(x-2)<0}>所以〃?=一

1,n=\.答案一11

。2;突破3个考向研析案幽考向突破

对应学生

用书P2

考向一集合的基本概念

【例1】>已知aGR,6GR,若{“，*1}={J,a+h,O},则/。14+/。14=.

［审题视点］结合元素的互异性与集合相等入手.

解析由已知得5=0及〃#0,所以6=0,于是。2=1,即〃=1或“=-1,又根据集合

中元素的互异性可知。=1应舍去，因此“=-1,故/。14+方234=1.答案1

方造翅襄岂（1）利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但仍然要检验，看所得结果是

否符合集合中元素的互异性的特征.

（2）此类问题还可以根据两集合中元素的和相等，元素的积相等，列出方程组求解，但仍

然要检验.

【训练1】（2012•东北四校一模）集合［xGN*|¥eZ］中含有的元素个数为（）.

A.4B.6C.8D.12

解析令x=1,2,3,4,5,6,7,8,9』0,11』2代入验证得x=1,2,3,4,6,12时，y€Z,故集合中

有6个元素.答案B

考向二集合间的基本关系

【例2】》

已知集合Z={x|-2WxW7},5={X|W+1<X<2/M-1},若BE4,求实数机的取值范围.

［审题视点］若8=4则8=0或8#。，要分两种情况讨论.

解当8=0时，有加+122加一1,则wW2.

当时，若B=A,如图.6''1'^7i

m-\-12—2,

贝,2加一1W7,解得2<mW4.

、"？+l<2m—1,

综上，根的取值范围是（-8,4］.

方法锦堂》已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空

集进行分类讨论，做到不漏解.若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方

程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转

化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到.

【训练2】已知集合N={x|log2xW2},2=(—8,a),若/=&则实数。的取值范围

是(c,+°°),其中c=.

解析/={x|log2xW2}={x|0〈xW4},即4=(0,4],由S=(-<=°,a),且。的取值

范围是(c,+8),可以结合数轴分析得c=4.答案4

考向三集合的基本运算

【例3】》(1)(2012安徽)设集合/=3一3<2%—73},集合8为函数y=lg(x-l)的定义

域，则NC8=().

A.(1,2)B.[1,2]

C.[1,2)D.(1,2]

(2)(2012・山东)已知全集U={0,1,2,3,4},集合N={1,2,3},8={2,4},则(鼠⑷U8为().

A.{1,2,4}B.{2,3,4}

C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}

[审题视点](1)先化简集合4B,再用数轴求/(18.⑵先求

解析⑴/={x|-3W2xTW3}=[-1,2],8=(1,+05=(1,2].

(2)]〃={0,4}，••.((〃)U8={0,2,4}.答案(1)D(2)C

方法锦囊》解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分.当集合是用列举法表示

的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴

求解.

【训练3】集合/={0,2,a},8={1,a2},若4UB={0,l,2,4,16},则。的值为().

A.0B.1C.2D.4

解析根据并集的概念，可知仞，a2}={4,16},故只能是a=4.答案D

03»揭秘3年高考权威解读真题展示

对应学生

用书P3

热点突破I——集合问题的求解策略

【命题研究】集合是数学中最基本的概念，高考对集合的考查内容主要有：集合的基本

概念、集合间的基本关系和集合的基本运算，并且以集合的运算为主，与不等式的解集、函

数的定义域、方程的解集、平面上的点集等内容相互交汇，涉及的知识面较广，难度不大.高

考对集合的考查有两种形式：一种是直接考查集合间的包含关系或交、并、补的基本运算；

另一种是以集合为工具考查集合语言和集合思想在方程、不等式、解析儿何等中的运用.

一、集合与不等式交汇问题的解题策略

【真题探究1】»(2012•北京)已知集合4={xGR|3x+2>0},8={XGR|(X+1)(L3)>0},

则NC8=().

A.(-8,-1)B.j-h-|J

C.(一§3)D.(3,+00)

［教你解题］第1步解出力={x|x>—I}：

第2步解出8={小>3或xv-1}；

第3步结合数轴取交集,得ZC8=(3,+8).［结论］D

［反思］应牢固掌握一元二次不等式、简单的分式不等式、指数不等式、对数不等式的解法.

【试一试1】已知全集U=b尸log2X,x>l},集合x>31•，则CuP=().

A.［g,+8)B.(0,C.(0,+°°)D.(-8,o)UI，+8)

解析因为函数y=log2X在(0,+8)上为增函数，所以当x>l时，歹>k)g21=0,故U=

(0,+8)；因为函数y在(0,+8)上为减函数，故当X>3时，0勺<|,故尸=(o，；).显然

PJU,故(uP=+8),所以选A.答案A

二、集合中新定义问题的求解策略

【真题探究2】►(2012•新课标全国)已知集合/={1,2,3,4,5},y)\x^A,yGA,x

一ye/},则8中所含元素的个数为().A.3B.6C.8D.10

［教你审题］解决本题的关键是准确理解集合8.集合8中的元素是符合yEA,x-

的有序数对(x,y).

［方法］可用列表法

X12345

10-1-2-3-4

210-1-2-3

3210-1-2

43210-1

543210

也可用直接法(学生自己试一试).

［答案］D

［反思］解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论

证，把其转化为我们熟知的基本运算.如本例中的集合8就是一个由集合力中的元素通过附

加条件y€A,x-y€Z”演变而来的，所以要判断集合8中元素的个数，需要根据x

-y是否是集合”中的元素来进行判断.

【试一试2】定义集合运算：AB={z\z=xy,x&A,y^B},设/={一2014,0,2014},

8={Ina,e"},则集合43的所有元素之和为().

A.2014B.0

C.-2014D.ln2O14+e2014

解析因为4B={z\z=xy,

所以当x=0时，无论y取何值，都有z=0;

当》=-2014,y=lna时，z=(-2014)XIna=-20141na;

当x=2014,y=lna时，z=2014XIna=2014ln(7；

当芯=-2014,y=e“时，z=(-2014)Xe"=-2014eu;

当x=2014,y=e"时，z=2014Xe"=2014e"；

故/8={0,20141na,-20141na2014ea,-2014eu).

所以48的所有元素之和为0.答案B

W二限时规范训练电梯训厚鳗力

对应学生

用书P195

A级基础演练（时间：30分钟满分：55分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.（2012•新课标全国）已知集合”={加2—》一2<0},5={x|-l<x<l},则（）.

A.ABB.B4

C.A=BD./C8=0

解析A={x|x2-x-2<0}={x|-1<JC<2},则8A.答案B

2.（2012•浙江）设全集U={1,2,3,4,5,6},集合尸={1,2,3,4},0={3,4,5},则PA（1（；。）=

（）.

A.{12,3,4,6}B.{1,2,3,4,5}

C.{1,2,5}D.{1,2}

解析C6-2={1,2,6},--.pn（［（,0={l,2}.答案D

3.(2012•郑州三模)设集合。={小<5,xCN*},M=

{X|X2-5X+6=0},则).

A.{1,4}B.{155}

C.{2,3}D.{3,4}

解析t/={1,2,3,4},M={x|x2-5x+6=0}={2,3},「.{1,4}.答案A

4.(2012•长春名校联考)若集合4={耶|>1,xGR},8=帅=2?,—R},则“)08

=().

A.{x|—IWxWl}B.{x\x^0]

C.{x|0WxWl}D.0

解析：RZ={x|-IWxWl},B={y\y^0],二([6)(~13={x|0WxWl}.答案C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.(2013•湘潭模拟)设集合/={—1,1,3},2={a+2,d+4},/CB={3},则实数。=

解析---3CB,又/+4）4,."+2=3,."=1.答案1

6.（2012•天津）集合N={xCR||x-2|W5}中的最小整数为.

解析由lx-2|W5,得-5Wx-2W5,即-3WxW7,所以集合力中的最小整数为-3.

答案一3

三、解答题(共25分)

7.(12分)若集合力={-1,3},集合8={小2+以+6=0},且4=8,求实数a,b.

解•.1=&.•.8={4?+如+6=0}={—1,3}.

-<2=-1+3=2,

•・'••a~~—2,b—-3.

力=(-1)X3=-3,

8.(13分)已知集合/={一4,2。一1,a2},8={a—5,l—a9},分别求适合下列条件的。

的值.(1)96(/C8)；(2){9}=4nB.

解(1)79€(/41~15),且9GB.

二2。-1=9或/=9,；.q=5或a=—3或4=3.

经检验。=5或a=-3符合题意..,.〃=5或。=-3.

(2)；{9}=ZC8,且9E8,

由(1)知67=5或a——3.

当°=-3时，/={-4,-7,9},8={-8,4,9},

此时/。8={9}；

当a=5时，A={-4,9,25},B={0,-4,9},

此时/C8={-4,9},不合题意.

综上知a——3.

B级能力突破（时间：30分钟满分：45分）

一、选择题（每小题5分，共10分）

1

1.（2012・南昌一模）已知全集U=R,函数y=的定义域为M,N={x|log2(x-l)vl},

■\/x2-4

则如图所示阴影部分所表示的集合是（）.

A.[-2,1)B.[—2,2]

C.(-8,-2)U[3,+8)D.(一8,2)

解析图中阴影表示的集合是duMCM，又用=(-8,-2)U(2,+8),N=(1,3),[亦

=(-8,1]U[3,+8),故(九世仆河=(-8,-2)U[3,+8).答案C

2.(2012・潍坊二模)设集合件+苧=1I,8=曲=》2},则408=().

A.[-2,2]B.[0,2]

C.[0,+8）D.{（-1,1）,（1,1）}

解析Z={x|-2Wx<2},8=b[y20},{x|0WxW2}=[0,2].答案B

二、填空题（每小题5分，共10分）

3.给定集合4若对于任意〃，bGA,有a+bd/1,且。一代4则称集合/为闭集合,

给出如下三个结论：

①集合Z={-4,-2,0,2,4}为闭集合；

②集合”={川〃=3%,左eZ}为闭集合；

③若集合小，儿为闭集合，则Z1UZ2为闭集合.

其中正确结论的序号是.

解析①中-4+（-2）=-6阵4所以不正确.②中设〃n2^A,m=3左i，=3k?,n\

+〃]一九2”,所以②正确.③令小={〃|〃=3攵，kWZ},A2={n\n=2k,左6Z},36

4,2”2,但是，3+2降小1）42,则小U4不是闭集合，所以③不正确.答案②

4.已知集合xxGR},B={x|x2-2x-/M<0},若/CB={x|-l<x<4},

则实数m的值为.

6x-5

解析由qi21,得"―[W0,T〈xW5,={百一l〈xW5}.

x+Ix+1

,•A={x\-1<%^5},AHB={x|-l<x<4},

•••有42-2X4-m=0,解得"?=8.

此时8=3-24<4},符合题意，故实数加的值为8.答案8

三、解答题(共25分)

5.(12分)设。=11,集合力="产+3》+2=0},5={x|x2+(w+l>+m=0}.若")C5

=0,则求实数加的值.

思维启迪：本题中的集合48均是一元二次方程的解集，其中集合2中的一元二次方

程含有不确定的参数必需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据([»)08=。对集合/,

B的关系进行转化.

解A={-2,-1),由((〃)门8=0,得8=/,

:方程X2+(/„+1)X+M?=0的判别式/=(«?+1)2—4m~(m—1)2^0,...gW。.

.•.8={-1}或8={-2}或8={-1,-2}.

①若8={-1},则，〃=1：

②若8={-2},则应有一(机+1)=(—2)+(—2)=—4,且加=(一2)・(-2)=4,这两式不

能同时成立，，2六{一2}；

③若8={-1,~2},则应有一(用+1)=(—1)+(—2)=—3,且用=(T>(—2)=2,由

这两式得机=2.

经检验知m—\和m—2符合条件.

：.m=1或2.

探究提高本题的主要难点有两个：•是集合Z,8之间关系的确定；二是对集合8中

方程的分类求解.集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联

系通过Venn图进行直观的分析不难找出来，如([〃)门8=。08之/等，

在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的•一种极为有效的方法.

6.(13分)(2013彳青水模拟)设全集/=R,已知集合〃={X|(X+3)2W0},N={x*+x—6

=0}―

(1)求([MCM

(2)记集合Z=([MnN,已知集合8={Ma—lWxW5-a,a^R},若8U4=Z,求实数

。的取值范围.

解(1)：M={X[(X+3)2W0}={-3},N={X|J2+X-6=0}={-3,2},

{x,GR且x#—3},；.(1nN={2}.

(2)/=(CMCN={2},

"：BUA=A,：.BQA,

.•.8=0或8={2}.

当8=0时，a-\>5~a,.,.a>3；

a—1=2,

当8={2}时，Lc解得4=3.

5~a—2,

综上所述，所求”的取值范围是{a|o23}.

第2讲命题及其关系.充分条件与必要条件

【2014年高考会这样考】

1.考查四种命题之间的关系，明确四种命题的构成形式，能运用所学知识判断命题或其

等价命题的真假，多以填空题或选择题的形式考查.

2.判断指定的条件与结论之间的关系或探求其结论成立时的条件等，一般以选择题、填

空题的形式考查，有时融入到解答题中综合考查.

01抓住2个考虎必考必记夯基圉本

对应学生

用书P4

考点梳理

1.四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假判断

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.

②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系.

2.充分条件、必要条件与充要条件

(1)“若小则g”形式的命题为真时，记作pOq,称p是4的钮条件，q是p的必要

条件.

(2)如果既有p=>q,又有疔加记作尸㈡夕，则。是。的充要条件,夕也是p的充要条件.

【助学・微博】

一个等价关系

互为逆否命题的两个命题的真假性相同，对于一些难于判断的命题可转化为其等价命题

来判断.

两种方法

充分条件、必要条件的判断方法：

(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.

(2)集合法：记/={x«£p},8={xkeg}.若则p是q的充分条件或q是p的必

要条件；若则p是4的充要条件.

考点自测

Jr

1.（2012・湖南）命题“若。=彳，则tana=l”的逆否命题是（）.

JTIT

A.若则tanaWlB.若仪=不则tanaWl

TTTT

C.若tanaWl,则0#彳D.若tanaWl,则仪=^

解析按逆否命题的定义知原命题的逆否命题是：若tanarl,则a#：.故选C.答案C

2.（2012•天津）设xGR,则“X4”是“2/+xT>0”的（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析解不等式2x?+xT>0,得x<-1或■.可知：当时，2%2+厂1>0成立，但

2f+x-l>0时，不一定有理.所以“X%”是“2?+x-l>0”的充分而不必要条件.答案A

3.（课本习题改编）命题“如果/）2—4改>0,则方程办2+&v+c=0（aW0）有两个不相等的

实根”的否命题、逆命题和逆否命题中是真命题的个数为（）.

A.0B.1

C.2D.3

解析原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程以2+公+。=03彳0）有两

个不相等的实根，则”-4ac>0”，为真命题，则它的否命题也为真.答案D

4.已知a,b,c6R,命题“若。+6+c=3,则/+62+02,3”的否命题是（）.

A.若a+b+c¥3,贝!J/+/）2+。2<3

B.若a+b+c=3,则a2+/+c2<3

C.若a+6+c#3,则a2-\-b2+c2^3

D.若cPh~c~^31则a+b+c=3

解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题.答案A

5.下列命题中所有真命题的序号是.

①“a>b”是“/>62”的充分条件：

②u\a\>\b\n是的必要条件;

③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件.

解析①由2>-3=/2）>（-3尸知，该命题为假命题；

②J/0间2〉臼2合同>网，该命题为真命题；

③。>b=^a+c>6+c,又a+c>6+c=^a>b\

.•・为〉/'是"a+c>b+c”的充要条件为真命题.答案②③

022突破3个考向研析案例考向突破

对应学生

考向一四种命题及其关系

用书P5

【例1】>（2012・济南模拟）下列有关命题的说法正确的是（）.

A.命题“若9=0,贝iJx=O”的否命题为“若中=0,则xrO”

B.“若x+y=O,则x,y互为相反数”的逆命题为真命题

C.命题“mxGR,使得27—1<0”的否定是“\ZxeR,均有

D.命题“若cosx=cosy,则》=/'的逆否命题为真命题

［审题视点］⑴根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式.

（2）当判断一个命题的真假时，若命题简单可直接判断；否则，利用其逆否命题进行真假判断.

解析命题“若中=0,则x=0”的否命题为“若xyWO,则xWO"，所以A错；命题

“mx£R,使得的否定是“TxER,均有2/-120"，所以C错；命题“若cos

x=cosy,则》=/'为假命题，故其逆否命题也假，故D错；“若x+y=0,则x,y互为相

反数”的逆命题为“若x,y互为相反数，则x+y=0”显然正确.所以应选B.答案B

方法锦囊》⑴熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；（2）根据“原

命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易

进行时，可转化为判断其等价命题的真假；（3）认真仔细读题，必要时举特例.

【训练1】以下关于命题的说法正确的有（填写所有正确命题的序号）.

①“若log2<2>0,则函数_/（x）=Iog/（a>0,在其定义域内是减函数”是真命题；

②命题“若。=0,则"=0”的否命题是“若aWO,则"W0”；

③命题“若无，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆命题为真命题；

④命题“若aWM,则闻IT与命题“若则等价.

解析对于①，若log2<s>0=log21,则a>\,所以函数/（x）=log„x在其定义域内是增函数，

因此①是假命题，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；

对于③，原命题的逆命题是“若x+y是偶数，则x,y都是偶数”，是假命题，如1+3=4

是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若。£知，则加AT

与命题“若则〃是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确.综上可知正确

的说法有②④.答案②④

考向二充分条件与必要条件的判断

【例2】>（2013,山东省实验中学诊断）已知a,b&R,那么“d+Al”是“而+l>a+6”成

立的（）.

A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

［审题视点］根据充分条件、必要条件的定义判断.

解析将就+1>。+6变形为(a-1)(6-1)>0,即］"11或'故。2+/;2<］="+

［h>\16<1,

\>a+b,反之不成立.答案C

方法锦囊》充要条件反映了条件和结论之间的关系，在结合具体问题进行判断时，需要

注意以下几点：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，结论推条件；③确

定条件和结论是什么关系.

【训练2】(2012•东北三校联合模拟)“2<1”是“数列4=〃2—2汨〃2N*)为递增数列”

的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析数列为=〃2-2加(〃£N*)为递增数列，等价于“对任意的〃£N*,有

即对任意的〃£N*,(〃+I)2-2Z(M+1)>n2-22”,整理得对任意的〃€N*,2<«+；,所以

minC3所以2<1是片的3充分不必要条件，故选A.

答案A

考向三充要条件的探求

【例3】》(2011・陕西)设〃6N*,一元二次方程》2—4x+〃=0有整数根的充要条件是〃=

［审题视点］直接利用求根公式进行计算，然后用整数等有关概念进行分析、验证.

解析.=4卬1；—也=2±\］4-”,因为x是整数，即2H4-〃为整数,所以W-〃为整

数，且〃W4,又因为“EN*,取〃=1,2,3,4,验证可知〃=3,4符合题意，所以“=3,4时可以

推出一元二次方程X2-4X+〃=0有整数根.

答案3或4

方法锦囊》解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再脸证

得到的必要条件是否满足充分性.

【训练3】(2012•福建)已知向量a=(x-1,2),b=(2,l),则。_16的充要条件是().

A.x=—TB.x=l

C.x=5D.x=0

解析alb^2(x-1)+2=0,即x=0.

答案D

揭秘3年高考杈威解送真题展丞

对应学生

用书P6

方法优化1——充要条件的判断方法

【命题研究】通过对近三年高考试题的统计分析可以看出，有关充分条件和必要条件的

考题，是通过对命题条件和结论的分析，•方面运用集合观点进行求解，另一方面可从逻辑

关系上去寻找联系.考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解，考查角度主要是充分条件、

必要条件和充要条件的判断，它往往是在不同知识点的交会处进行命题，考查面十分广泛，

涵盖函数、立体几何、不等式、向量、三角等内容.判断“p是g的什么条件”的实质是对

命题“若p,则与“若夕，则p”的真假的确定.今后凡是遇到“p是4的什么条件”的

题目，一要养成化简条件、结论为最简形式的好习惯，二要养成'‘解决彻底”的好习惯，既

要解决充分性，又要解决必要性.

【真题探究】》(2012・山东)设。>0且aWl,则“函数在R上是减函数”是“函

数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［教你审题］先根据函数的性质确定这两个命题的充要条件，然后根据定义法将其转化为

两个简单命题进行判断.

［一般解法］第1步确定“函数y(x)="在R上是减函数”的充要条件：ae(0,l)：

第2步由g'(x)=3(2—欧？》。知g(x)在R上是增函数的充要条件：ae(0,l)U(l,2)；

第3步(0,1)(0,l)U(l,2).所以选A.

［优美解法1(举反例法)第1步在(0,1)内任取•个实数，不妨取。=今前者今后者•；

第2步取后者=/前者(前提：想到的图象和性质).

【试一试】若。，6为实数，则是“0<a$"的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

W二限时规范训练电梯训厚鳗力

对应学生

用书P197

A级基础演练（时间：30分钟满分：55分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.（2012・重庆）命题“若p,则夕”的逆命题是（）.

A.若则pB.若则

C.若^夕，pD.若p,则㈱夕

答案A

2.命题“若40是奇函数，则八-x）是奇函数”的否命题是（）.

A.若/（x）是偶函数，则人一幻是偶函数

B.若兀0不是奇函数，则大一x）不是奇函数

C.若人-x）是奇函数，则兀0是奇函数

D.若火一x）不是奇函数，则人口不是奇函数

解析否命题既否定题设又否定结论，故选B.

答案B

3.方程*2+2%+1=0至少有一个负实根的充要条件是（）.

A.OvqWlB.a<\

C.QWID.0<々<1或亦0

解析法一（直接法）当。=0时，X=符合题意.

当aWO时，若方程两根一正一负（没有零根），

J=4-4tz>0,［

（\a<\,

则11O台。<0;

-<01<7<0

口=4-4心0,

二<0,

若方程两根均负，则<a<=>

[a>0

综上所述，所求充要条件是。Wl.

法二（排除法）当&=0时，原方程有一个负实根，可以排除A,D;当4=1时，原方程

有两个相等的负实根，可以排除B,所以选C.

答案C

4.Z={x£R|x-2>0},B={x&R\x<0},C={x£R|x（x-2）>0},则"xG/UB”是“x《

C"的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析由题意得，/={x£RR>2},/UB={x6R|x〈O或x>2},C={x£R|x〈O或x>2},

="xE/U8”是“x€C”的充分必要条件.

答案C

二、填空题（每小题5分，共10分）

5.（2013・盐城调研）“次吉”是“一元二次方程/+》+m=0有实数解”的条件.

解析f+》+,”=o有实数解等价于1=1-4m20,即/MW；.

答案充分不必要

6.（2013•扬州模拟）下列四个说法：

①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；

②命题“设“，bGR，若〃+b#6,贝lja#3或是一个假命题；

③“x>2”是“上；”的充分不必要条件；

④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真.

其中说法不正确的序号是.

解析①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命

题为“设a,b£R,若。=3且6=3,则a+b=6"，此命题为真命题，所以原命题也是真命

题，②错误；③y;,则:-齐1Z）,解得x〈o或x>2,所以匕>2"是“y;”的充分不必要

条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确.

答案①②

三、解答题（共25分）

7.（12分）分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

⑴若ab=0,贝（Jq=0或6=0；

（2）若12+丁=0,贝I］、，y全为零.

解（1）逆命题：若。=0或6=0,则。6=0,真命题.

否命题：若abWO,则aWO且，W0,真命题.

逆否命题：若。#0且6#0,则ab#O,真命题.

（2）逆命题：若x,y全为零，则f+y』。，真命题.

否命题：若则x,y不全为零，真命题.

逆否命题：若x,y不全为零，则f+Jro,真命题.

8.（13分）已知p：x2—8x—20^0,q：x2-2x+1—<72^0（o>0）.若p是q的充分不必要

条件，求实数。的取值范围.

解p：8x—20W0仁>—2WxW10,

q：X：—2x+l—“Wool—a0Wl+a

■：P0q，q今p,；.{x|—2〈xW10}{x|l—1+a}.

1~~aW—2,

故有，l+a210,且两个等号不同时成立，解得a29.

a>0,

因此，所求实数”的取值范围是[9,+8）.

B级能力突破（时间：30分钟满分：45分）

一、选择题（每小题5分，共10分）

1.（2012・潍坊二模）下列说法中正确的是（）.

A.命题“若助7?<加A则的逆命题是真命题

B.若函数负x）=ln。+不的图象关于原点对称，则。=3

4

C.SxGR,使得sinx+cosx=§成立

D.已知xGR,则“x>l”是“x>2”的充分不必要条件

解析A中命题的逆命题是“若*6,则am^b病”是假命题，因为机=0时，上述定理

就不正确，故A错误；B选项，若y（x）的图象关于原点对称，则y（x）为奇函数，则./（0）=ln（a

+2）=0,解得。=-1,故B错误；C选项，sinx+cosx=q^sinQ+，）£[-也，6],且g6

[-也，^2],因此C是真命题.选项D,匕>1”是“x>2”的必要不充分条件.故选C.

答案C

2.（2013・潍坊一模）命题"VxG[l,2],x2-qW0”为真命题的一个充分不必要条件是

（）.

A.g4B.〃W4

C.D.aW5

解析命题“Wx£[l,2],x2-oW0”为真命题的充要条件是。24,故其充分不必要条件

是集合[4,+8）的真子集，正确选项为C.

答案C

二、填空题（每小题5分，共10分）

3.（2013・长沙模拟）若方程f—加x+2/%=0有两根，其中一根大于3—根小于3的充要

条件是.

解析方程f-妨+2w=0对应的二次函数/（X）=f+2加，二•方程x2-mx+2m=0

有两根，其中一根大于3—根小于3,解得相>9,即：方程f-加工+2〃2=0有两根，

其中一根大于3—根小于3的充要条件是机>9.

答案m>9

4.已知集合/=卜|；<2'<8,x£R8=3-1*机+1,x£R},若成立的一个

充分不必要的条件是xG/,则实数m的取值范围是.

解析A=|^<2A<8,x£R|={x|-1<JC<3},

,."x£8成立的一个充分不必要条件是B,

•,-m