河北省石家庄二中高三上学期第三次联考数学文科试题

河北省石家庄二中2020届高三年级上学期第三次联考数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，得到，即可求解实数的取值范围，得到答案。【详解】由题意，集合，，因为，则，即实数取值范围是。故选：A。【点睛】本题主要考查了利用集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟练集合的包含关系，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。2.己知命题p：，则为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先改存在量词为全称量词,再否定结论.【详解】:.故选C.【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定,属于基础题.解题方法:先改量词,再否定结论.3.己知复数z满足（其中i为虚数单位），则（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根据i的幂运算性质可得，再由复数的除法运算可求得z，从而求出.【详解】，则，所以，.所以本题答案为B.【点睛】本题考查复数的乘除法和复数的模，解决复数问题，要通过复数的四则运算将复数表示为一般形式，结合复数相关知识求解，考查计算能力，属于基础题.4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（）A.24里 B.48里 C.96里 D.192里【答案】D【解析】【分析】每天行走的步数组成公比为的等比数列,根据前6项和为378列式可解得.【详解】设第天行走了步,则数列是等比数列,且公比,因为,所以,所以,所以第一天走了192里.故选D【点睛】本题考查了等比数列的前项和公式中的基本量的计算,属于基础题.5.已知函数为偶函数，且对于任意的，都有,设，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先判断函数在的单调性，然后根据偶函数化简，然后比较2，，的大小，比较的大小关系.【详解】若，则函数在是单调递增函数，并且函数是偶函数满足，即，，在单调递增，，即.故选C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小，意在考查函数性质的应用，意在考查转化和变形能力，属于基础题型.6.若函数的图像向左平移（）个单位，所得的图像关于轴对称，则当最小时，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平移变换得到解析式后,利用所得的图像关于轴对称列式,再求最小值.【详解】将函数的图像向左平移（）个单位后,得到函数,因为其图像关于轴对称,所以,,即,,因为,所以时,取得最小值,此时.故选B.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换,以及对称轴,属于中档题.7.已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求得，得到函数在点处的切线的斜率为，得出函数，利用函数的奇偶性和特殊的函数的值，即可求解。【详解】由题意，函数，则，则在点处的切线的斜率为，即，可得，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B、D项，又由当时，，排除C项，只有选项A项符合题意。故选：A。【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数图象的识别，以及函数的性质的应用，其中解答利用导数的几何意义求得函数的解析式，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。8.已知两点，以及圆：，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知：以AB为直径的圆与圆有公共点，从而得出两圆圆心距与半径的关系，列出不等式得出的范围．【详解】，点在以，两点为直径的圆上，该圆方程为：，又点在圆上，两圆有公共点．两圆的圆心距解得：故选D【点睛】本题考查了圆与圆位置关系，还考查了向量垂直的数量积表示，属于中档题．9.在直角梯形ABCD中，，，，，E是BC的中点，则A.32 B.48 C.80 D.【答案】C【解析】【分析】由向量的基本运算展开，再分别求数量积即可．【详解】，由数量积的几何意义可得：的值为与在方向投影的乘积，又在方向的投影为，，同理，．故选C.【点睛】本题考查向量的数量积，正确理解向量的数量积是解本题的关键，属于基础题．10.已知直线与椭圆交于两点，且线段中点为，若直线（为坐标原点）的倾斜角为，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用点差法求解可得直线和斜率间的关系，进而得到，再根据椭圆离心率的定义可得所求．【详解】设，∵点在椭圆上，∴，两式相减整理得，∴，即，∴，∴，∴椭圆的离心率为．故选D．【点睛】求椭圆离心率或其范围的方法：①根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．②由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．11.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，设球O得半径为R，AB=x，AC=y，由球O的表面积为29π，可得x2+y2=25，写出侧面积，再由基本不等式求最值．【详解】设球O得半径为R，AB=x，AC=y，由4πR2=29π，得4R2=29．又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25．三棱锥ABCD的侧面积：S=S△ABD+S△ACD+S△ABC=由x2+y2≥2xy，得xy≤当且仅当x=y=时取等号，由（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得x+y≤5,当且仅当x=y=时取等号，∴S≤5+=当且仅当x=y=时取等号.∴三棱锥ABCD的侧面积的最大值为.故选A.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．12.已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，求出，由题可得是在上的奇函数且在上为单调递增函数，将转化成，利用在上为单调递增函数可得：恒成立，利用导数求得，解不等式可得，问题得解．【详解】因为，所以，令，则，又因为是在上的偶函数，所以是在上的奇函数，所以是在上的单调递增函数，又因为，可化为，即，又因为是在上的单调递增函数，所以恒成立，令，则，因为，所以在单调递减，在上单调递增，所以，则，所以.所以正整数的最大值为2.故选B【点睛】本题主要考查了函数与导数的应用，函数的奇偶性、单调性、不等式恒成立等基础知识，考查分析和转化能力，推理论证能力，运算求解能力，构造能力，属于难题．.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知双曲线的右焦点为，则到其中一条渐近线的距离为__________．【答案】【解析】【分析】先求得双曲线焦点到渐近线的距离为，由此求得到渐近线的距离.【详解】对于任意双曲线，其中一个焦点到渐近线（即）的距离为.又，焦点到其中一条渐近线的距离为.故填：2.【点睛】本小题主要考查双曲线焦点到渐近线的距离，考查点到直线距离公式，属于基础题.14.已知锐角满足，则等于__________．【答案】【解析】【分析】已知，计算，继而计算，利用和差公式得到得到答案.【详解】∵锐角满足，∴，∴，∴，故，故答案为．【点睛】本题考查了三角恒等变换，整体代换：是解题的关键.15.已知数列的前项和.若是中的最大值，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】先由求出，再由是中的最大值，即可求出结果.【详解】因为，所以当时，；当时，也满足上式；当时，，当时，，综上，；因为是中的最大值，所以有且，解得.故答案为【点睛】本题主要考查数列的概念以及简单表示法，熟记递推公式即可，属于基础题型.16.设为椭圆:的两个焦点．为上点，的内心I的纵坐标为，则的余弦值为_____.【答案】0【解析】【分析】因为的内心I的纵坐标为，所以可知道的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，可得到三角形的面积，接着根据焦点三角形的面积确定，进而求出答案.【详解】如图，由题意知的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，即，又由焦点三角形的面积，所以，所以，所以【点睛】本题主要考查通过焦点三角形的面积公式，确定的余弦值，熟悉公式的运用是解决本题的关键.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.分别为的内角的对边.已知.（1）若，求；（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理，将，化角为边，即可求出，再利用正弦定理即可求出；（2）根据，选择，所以当的面积取得最大值时，最大，结合（1）中条件，即可求出最大时，对应的的值，再根据余弦定理求出边，进而得到的周长．【详解】（1）由，得，即.因为，所以.由，得.（2）因为，所以，当且仅当时，等号成立.因为的面积.所以当时，的面积取得最大值，此时，则，所以的周长为.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力．18.设数列满足：，.⑴求；⑵求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，；当时，得到两式相减求得，进而可得；（2）由（1）知，利用乘公比错位相减法，即可求得.【详解】（1）由题意，数列满足：，，当时，；当时，两式相减得：，解得，当时上式也成立，所以.（2）由（1）知，则所以两式相减得：所以.【点睛】本题主要考查利用数列的递推公式求解数列的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.19.如图所示，在等腰梯形中，，，，将三角形沿折起，使点在平面上的投影落在上．（1）求证：平面平面；（2）若点为的中点，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）要证平面平面，只需证平面，分析条件易得和；（2）由，只需求即可.试题解析：（1）证明：在等腰梯形中，可设，可求出，，在中，，∴，∵点在平面上的投影落在上，∴平面，平面平面，∴，又，，∴平面，而平面∴平面平面.（2）解：因为，所以，又，所以，因为，所以，解得，因为为中点，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以,因为，所以.20.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上，且⊥，△F1MF2的面积为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线l与椭圆C交于A，B两点，，若直线l始终与圆相切，求半径r的值.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆离心率为，点M在椭圆C上，且MF2⊥F1F2，△F1MF2的面积为，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设直线l的方程为y＝kx+m，代入椭圆方程式，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由此利用韦达定理、根的判别式、点到直线的距离公式能求出半径的【详解】(1)设，由题意得∴，故椭圆C的方程为.(2)当直线l的斜率存在时，设其直线方程为，设A(，)，B(，)，联立方程组，整理得，由方程的判别式△＝64k2m2﹣4（4k2+1）（4m2﹣得(1)，，由∠AOB=90°，得即而，则∴整理得把代入(1)得.而，∴，显然满足，直线l始终与圆相切，得圆心(0，0)到直线l的距离d=r，则，由，得∵，∴.当直线l的斜率不存在时，若直线l与圆相切，此时直线l的方程为.∴综上所述：.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查圆的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、根的判别式、点到直线的距离公式的合理运用．21.设函数，.（1）设函数，若对任意的，都有，求实数的取值范围；（2）设，方程在区间上有实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得函数的导数，分类讨论得到函数的单调性，列出不等式，即可求解；(2)由题意，设函数，求导得，分类讨论得到函数的单调性，结合题意，得出不等式组，即可求解。【详解】（1）由题意，函数，所以.①当时，因为，所以，故，不符合题意；②当时，因，所以，故在上单调递增.欲使对任意的都成立，则需，所以，解得.综上所述，实数的取值范围是.(2)设函数，则函数的定义域是，.①当时，的单调增区间是，单调减区间是.方程在区间上有实数解，等价于函数在上有零点，其必要条件是，即，所以.而，所以，②若，在上是减函数，，在上没有零点；③若，，在上是增函数，在上是减函数，所以在上有零点等价于，即，解得综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题与有解问题的求解，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（二）选考题