新北师大版八年级数学下册全册教案

新北师大版八年级数学下册全册教案第一章三角形的证明【单元分析】本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础。【单元目标】1.知识与技能(1)等腰三角形的性质和判定定理；(2)直角三角形的性质定理和判定定理；2.过程与方法(1)会运用等腰三角形的性质和判定定理解决相关问题；(2)直角三角形的性质定理和判定定理解决简单的实际问题；3.情感态度与价值观(1)经历由情景引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，(2)感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱【单元重点】在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和【单元难点】明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达【教学思路】1.对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相2.对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的3.证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比4.作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表【单元课时安排】课题课时等腰三角形4课时直角三角形2课时线段的垂直平分线2课时角平分线2课时回顾与思考2课时【教学目标】1.知识与技能理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形2.过程与方法经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力。3.情感态度与价值观启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系。【教学重点】经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程。【教学难点】用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论。【教学方法】【课时安排】4课时【教学目标】1.知识与技能能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定2.过程与方法经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力。3.情感态度与价值观启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系。【教学重点】探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法。【教学难点】明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达【教学过程】教学过程教学随笔第一环节：回顾旧知导出公理提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的51.两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS);在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.(推论)两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS),并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回已知：如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知),又∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和等于180°),∴∠C=∠F(等量代换)。又BC=EF(已知),第二环节：折纸活动探索新知性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。AAAAAACCC第三环节：明晰结论和证明过程在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明，其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合第四环节：随堂练习巩固新知学生自主完成P4第2题：如图(图略),在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD,AC=BC=CD,(1)求证：△ABD是等腰三角形；第五环节：课堂小结让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法第六环节：布置作业课本第4页习题第2、3题【板书设计】等腰三角形(一)又∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和等于180°),∴∠C=∠F(等量代换)。【教学反思】第二课时【教学目标】1.知识与技能进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性。2.过程与方法让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎3.情感态度与价值观体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性。【教学重点】用面积法验证勾股定理。【教学难点】用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论。【教学过程】教学过程教学随笔第一环节：提出问题，引入新课在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一第二环节：自主探究在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等),观察其中有哪些相等的线段，并尝你可能得到哪些相等的线段你如何验证你的猜测你能证明你的猜测吗试作图，写出已知、求证和证明过程；还可以有哪些证明方法通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出等腰三角形两个底角的平分线相等等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等.如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”,学生得到平分线.求证：BD=CE,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).EAD:B42C∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)又∵∠3=∠4.∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).第三环节：经典例题变式练习提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”:在课本图1—4的等腰三角形ABC中，(1)如果,∠ACB∠ACB呢由此，你能得到一个什么结论(2)如果AC,AB,那么BD=CE吗如果AC,AB呢由此你得到什么结论第四环节：拓展延伸，探索等边三角形性质提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.已知：在△ABC中，AB=BC=AC.求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).同理：∠C=∠A,∴∠A=∠B=∠C(等量代换).又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理),学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°”的第五环节：随堂练习及时巩固在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习。1.如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形.B求证：AE=CDC活动意图：在巩固等边三角形的性质的同时，进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式。第六环节：探讨收获课时小结本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论，第七环节：布置作业课本第7页习题第2、3题【板书设计】等腰三角形(二)证明：在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).同理：∠C=∠A,∴∠A=∠B=∠C(等量代换).又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理),∴∠A=∠B=∠C=60°.【教学反思】【教学目标】理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明。3.情感态度与价值观【教学重点】【教学难点】【教学过程】教学过程教学随笔第一环节：复习引入通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么这个命题的题设和结论分别是什么问题2.我们是如何证明上述定理的问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等第二环节：逆向思考，定理证明教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径.例如“等边对等角”,反过来成立吗也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗[生]如图，在△ABC中，∠B=∠C,要想证明AB=AC,只要构造两个全等的三角形，使AE与AC成为对应边就可以了.[师]你是如何想到的A[生]由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，或作A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形.[师]很好.同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论.[生]我们组发现，如果作BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等.因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的.后两种方法是可行的.[师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来.(教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评)(证明略)[师]我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理可以简单叙述为：等角对等边.我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美.第三环节：巩固练习将书中的随堂练习提前到此，是为了及时巩固判定定理。引导学生进行分析。已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD//BC且∠1=∠求证：AB=AC.A证明：∵AD//BC,∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等),∠2=∠C(两直线平行，内错角相等).又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C,∴AB=AC(等角对等边).DC第四环节：适时提问导出反证法也获得了一个数学结论.如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗我们一起来“想一想”:小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗如果成立，你能证明它吗几个三角形，观察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等.但要像证明“等角对等边”那样却很难证明，因为它的条件和结论都是否定A的.”的确如此.像这种从正面人手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢B*C我们来看一位同学的想法：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C,此时AB与Ac要么相等，要么不相等.假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠∠C”相矛盾，因此AB≠AC你能理解他的推理过程吗再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°,∠B=90°,可得∠A+∠B=180°,但C=180°,“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+.盾，因此△ABC中不可能有两个直角.引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢引都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等边”,最后结合实例了解了反证法的含义.第五环节：拓展延伸活动过程与效果：在一节课结束之际，为培养学生思维角平分线判定三角形的形状，再通过线段的转换求图形的周长。另一个是一个开放性的问题，考察学生多角度多维度思考问题的能力。学生在独立思考的基础上再小组交流。1.如图，BD平分∠CBA,CD平分∠ACB,且MN//BC,设AB=12,AC=18,求△AMN的周长，2.现有等腰三角形纸片，如果能从一个角的顶点出发，将的顶角的度数第六环节：课堂小结(1)本节课学习了哪些内容(2)等腰三角形的判定方法有哪几种(3)结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系.(4)举例谈谈用反证法说理的基本思路第七环节：布置作业【板书设计】等腰三角形(三)∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等),∠2=∠C(两直线平行，内错角相等).又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C.【教学反思】【教学目标】1.知识与技能理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30o角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。2.过程与方法经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符3.情感态度与价值观在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。【教学重点】等边三角形判定定理的发现与证明。【教学难点】了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。【教学过程】教学过程教学随笔第一环节：提问问题，引入新课教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢又如何判别一个三角形是等腰三角形呢从而引入新课。开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫。(教师应给学生自主探索、思考的时间)第二环节：自主探索学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下性质判定的条件等腰三角形(含等边三角等边对等角等角对等边“三线合一”即等腰三角形顶角平分线底边上的中线、高互相重合有一角是60°等边三角形三且每个角都是三个角都相等的三角形是等边三角形经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力。第三环节：实际操作提出问题活动内容：教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做：用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形能拼出一个等边三角形吗在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论说说你的理由.让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=30°.分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D,使CD=BC,连接AD.证明：在△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°∠B=60°.延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如图所示).ADC(SAS).∴AB=AD(全等三角形的对应边相BCD等).∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)第四环节：变式训练巩固新知直接提请学生思考刚才命CBCB题的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°吗如果是，请你证明它.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,求证：∠BAC=30°接证明：延长BC至D,使CD=BC,连接AA又∵AC=AC.□DAB,∴AB=BD.即△ABD是等边三角形.∴∠B=60°.在Rt△ABC中，∠BAC=30°.呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题。等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高CD的长.分析：观察图形可以发现在Rt△ADC中，AC=2a而∠DAC是△ABC的一个外ABC角，而∠DAC=×15°=30°,根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD.解：∵∠ABC=∠ACB=15°等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).第五环节：畅谈收获课时小结让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。第六环节：布置作业【板书设计】等腰三角形(四)已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,B.求证：∠BAC=30°即△ABD是等边三角形.∴∠B=60°.在Rt△ABC中，∠BAC=30°.【教学反思】直角三角形【教学目标】1.知识与技能(1)掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。(2)结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。2.过程与方法(1)进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维.(2)进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力。3.情感态度与价值观体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣。【教学重点】掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)及判定定理的证明方法。【教学难点】应用定理解决与直角三角形有关的问题。【教学方法】讲授法【课时安排】2课时第一课时【教学目标】1.知识与技能掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)及判定定理的证明方法。2.过程与方法进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。3.情感态度与价值观在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。【教学重点】掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)及判定定理的证明方法。【教学难点】结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。【教学过程】教学过程教学随笔通过问题1,让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形[问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC,∠BAC=30°,AB=10cm,CB⊥AB,BC⊥AC,垂足分别是B、C,那么BC的长是多少BC呢..解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°,AB=10cm,BCA∴在Rt△CAB中，∠A=30°解决这个问题，主要利用了上节课已经证明教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到理.如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗请同学们打开课本P18,阅读“读一读”,了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法.第二环节：讲述新课着重讨论第一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读.(1).勾股定理及其逆定理的证明.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.求证：az+bz=cz.A证明：延长CB至D,使BD=b,作∠EBD=∠A,并取BE=c,连接ED、AE(如图),则∴∠BDE=90°,ED=a(全等三角形的对CB应角相等，对应边相等).∴四边形ACDE是直角梯形.∴S梯形·∵S梯形BED’AbCCaBED教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调.具体如下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能证明此结论吗师生共同来完成.A已知：如图：在△ABC中，求证：△ABC是直角三角形.C分析：要从边的关系，推出∠A=90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证.证明：作Rt△A'B'C',使∠A'=90°,A′B'=AB,A′C′、AC(如图),则A′B'2+A′C'2.(勾股定理).A'∴∠A=∠A'=90°(全等三角形的对应角相等).因此，△ABC是直角三角形.总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.(2).互逆命题和互逆定理.观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系在前面的学习中还有类似的命题吗通过观察，学生会发现：上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件.这样的情况，在前面也曾遇到过.例如“两直线平行，内错角相等”,交换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行”.又如“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边就等于斜边的一半”.交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°第三环节：议一议观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题与逆命题的区別与联系。让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区別与联系，要能够清晰地分别出一个命题的題设和结论，能够将一个命题写出“如果……;那么……”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题。活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。活动时可以先让学生观察下面三组命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等.如果两个角相等，那么它们是对顶角.如果小明患了肺炎，那么他一定发烧.如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.三角形中相等的边所对的角相等.三角形中相等的角所对的边相等上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗与同伴交流.不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件.在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题.再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题.请同学们判断每组原命题的真假.逆命题呢在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题.在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题在第三组中，原命题和逆命题都是真命题由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题.第四环节：想一想要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题.请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗它们都是真命题吗从而引导学生思考：原命题是真命题吗逆命题一定是真那么我们称它们为互逆定理.其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理.能举例说出我们已学过的互逆定理内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”.“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等.第五环节：随堂练习说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假；(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，内旁内角互补；[分析]互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难.可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题.解：(1)多边形是四边形.原命题是真命题，而逆命题是假命题.(2)同旁内角互补，两直线平行.原命题与逆命题同为(3)如果a=0,6=0,那么ab=0.原命题是假命题，而逆命题是真命题.第六环节：课时小结这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力.第七环节：课后作业习题1.5第1、2、3、4题【板书设计】直角三角形(一)已知：如图，在△ABC中，∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.证明：延长CB至D,使BD=b,作∠EBD=∠A,并取BE=c,连接ED、AE(如图),则△ABC≌△BED,∴∠BDE=90°,ED=a(全等三角形的对应角相等，对应边相等).∴四边形ACDE是直角梯形.【教学反思】第二课时【教学目标】1.知识与技能能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步3.情感态度与价值观进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。【教学重点】【教学难点】【教学过程】教学过程教学随笔1.判断两个三角形全等的方法有哪几种2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗如果其中一个角是直角呢请证明你的结论。我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”.求证：∠B=∠C.证明：过A作AD⊥BC,垂足为C,又∵AB=AC,AD=AD,∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。质疑点在于“在证明△ABD≌△ACD时，用了“两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等”.而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的.可以画图说明.(如图所示在ABD和△ABC中，AB=AB,∠B=∠B,AC=AD,但△ABD与△ABC不全等)”.中，直角所对的边即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.”,从而引入新课。第二环节：引入新课(1).“HL”定理.由师生共析完成已知：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠求证：Rt△ABC≌Rt△AC=AB₂—BC₂(勾股定理)A’C’=A'C'=A'B'2-B'C'2(勾股定理).AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'.教师用多媒体演示：定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.从而肯定了第一位同学通过作C底边的高证明两个三角形全等，从而得到“等边对等角”的证法是正确的.(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，对于(1)、(2)、(3)一般可顺利通过，这里教师将法直接利用已知的定理支持，教师引导学生证明.已知：R△ABC和Rt△A'B’C',∠C=∠C'=90°,BC=B'C',BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线且BD-B'D'(如图).求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.A∴Rt△BDC≌Rt△B’D’C’(HL定理).又*AC=2CD,A'C’=2C’D’,∴AC=A'C’.通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结。第三环节：做一做问题你能用三角尺平分一个已知角吗请同学们用手中的三角尺操作完成，并在小组内交流，用自己的语言清楚表达自己的想法.(设计做一做的目的为了让学生体会数学结论在实际中的应用，教学中就要求学生能用数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将推理证明过程写出来。)第四环节：议一议如图，已知∠ACB=∠BDA=90°,要使△ACB≌BDA,还需要什么条件把它们分别写出来.这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案.(教师一定要提供时间和空间，让同学们认真思考，勇于向困难提出挑战)第五环节：例题学习如图，在△ABC≌CC'△A'B'C'中，CD,并且AC=A'C',CD=C'D'.∠ACB=∠A'C'B'.求证：△ABC≌△A'B'C’.边AC=A'C',一组角∠ACB=∠A'C'B'.如果寻求∠A=∠A',就可用ASA证明全等；也可以寻求么∠B=∠B',这样就有AAS;还可寻求BC=B'C',那么就可根据SAS.……注意到题目中，通有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'.观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证的Rt△ADC≌Rt△A'D'C',因此证明∠A=∠A’就可行.证明：∵CD、C'D'分别是△ABC△A'B'C'的高(已知)AC=A’C'(已知),CD=C’D'(已知),∠A=∠A',(全等三角形的对应角相等).在△ABC和△A’B'C³中，AC=A'C'(已知),∠ACB=∠A'C’B'(已知),第六环节：课时小结本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等.而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力.同学们这一节课的表现，很值得继续发扬广大.第六环节：布置作业习题1.6第3、4、5题【板书设计】直角三角形(二)'分别'分别∴Rt△BDC≌Rt△B’D'C’(HL定理)【教学反思】线段的垂直平分线【教学目标】1.知识与技能证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理.2.过程与方法经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力.丰富对几何图形3.情感态度与价值观通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。【教学重点】运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。【教学难点】垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。【教学方法】【课时安排】2课时第一课时【教学目标】能够证明三角形三边垂直平分线交于一点。2.过程与方法经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形。学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。【教学重点】探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方【教学难点】明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达【教学过程】教学过程教学随笔第一环节：创设情境，引入新课如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置其中“到两个仓库的距离相等”,要强调这几个字在题中有很重要的作用.线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴.我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使吗”第二环节：性质探索与证明通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内已知：如图，直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的点.求证：PA=PB.分析：要想证明PA=PB,可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等.∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).第三环节：逆向思维，探索判定MMPNBA你能写出上面这个定理的逆命题吗它是真命题吗这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果………那么……”的形式，逆命题就容易写出.鼓励学生找出原命题原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”.结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”.两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.”写出逆命题后时，就想到判断它的真假.如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明.引导学生分析证明过程，有如下四种证法；PCB证法一：已知：线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.求证：P点在AB的垂直平分线上，证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB,PC=PC,∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理),即P点在AB的垂直平分线上.证法二：取AB的中点C,过PC作直线.A∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等).又∵∠PCA+∠PCB=180°,∴∠PCA=∠PCB=∠90°,即PC⊥AB∴P点在AB的垂直平分线上.证法三：过P点作∠APB的角平分线.PCB∴AC=BC,∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等).又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°∴P点在线段AB的垂直平分线上.证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC.∴P在AB的垂直平分线上.从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定我们把它称做线段垂直平分线的判定定理.第四环节：巩固应用在做完性质定理和判定定理的证明以后，引导学生进行(2)到一条线段两个端点的距离相等个点在这条线段的垂直平分线上.因此只需做出这样的两个点即可做出线段的已知：如图1-18,在△ABC中，AB=AC,0是△ABC内一点，且0B=0C.∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平A分线上).同理，点0在线段BC的垂直平分线上.∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线).因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证第五环节：随堂练习课本P23;习题：第1、2题第六环节：课堂小结通过这节课的学习你有哪些新的收获还有哪些困惑第七环节：课后作业【板书设计】线段的垂直平分线(证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB,PC=PC,【教学反思】【教学目标】能够证明三角形三边垂直平分线交于一点。2.过程与方法经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识。3.情感态度与价值观体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性。【教学重点】能够证明与线段垂直平分线相关的结论。【教学难点】【教学过程】教学过程教学随笔一、情景引入当作完此题时你发现了什么(教师可用多媒体演示作图过程)”“三角形三边的垂直平分线交于一点.”、“这一点到三角形三个顶点的距离相等.”等都是学生可以发现的直观性质。下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论与同伴交流.定是真的吗我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义.”这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论.上述活动中，教师要注意多画几种特殊的三角形让学生二、例题解析我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”,但这是我们没有遇到过的.不妨我们再来看一下演示过程，或许你能从中受到启示.点，那么要想证明‘“三线共点’,只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可.”虽然我们已找到证明“三线共点”的突破口，询问学生如何知道这个交点在第三边的垂直平分线上呢师生共析，完成证明(2)讨论结束后，学生书写证明过程。教师点评，注意已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P,连接AP,BP,CP.求证：P点在AC的垂直平分线上.∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等).同理PB=PC.∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上).∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P.EPBBQC离相等.)(3)多媒体演示我们得出的结论；定理三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗如果能，能作几个所作出的三角形都全等吗(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗如果能，能作几个所作出的三角形都全等吗(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗能作几个学生通过小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论。由学生思考可得：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如下已知：三角形的一条边a和这边上的高h求作：△ABC,使BC=a,BC边上的高为h441hAAlCB(AAh从上图我们会发现，先作已知线段BC=a;然后再作BC边上的高h,但垂足不确定，我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D,过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或AD),使AD=AD=h,连接AB,AC(或△AB,AC),所得△ABC(或△ABC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个.观察还可以发现这些三角形不都(2)如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个.根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因为只要作已知等腰三角形底边的取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形.另外有学生补充：“不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上挖去.”(3)如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧.MA(5)例题学习DDN已知底边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：线段a、h求作：△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h作法：1.作BC=a;2.作线段Bc的垂直平分线MN交BC于D点；3.以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；4.连接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示).(6)做一做：课本第25页：教师引导学生分析作出草四、动手操作(1)例题：已知直线1和1上一点P,用尺规作1的垂线，使它经过点P.学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图规作1的垂线，使它经过点P呢说说你的作法，并与同伴交流.六、课时小结本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”.七、课后作业习题1.8第3、4题【板书设计】线段的垂直平分线(二)定理三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因为只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形.【教学反思】角平分线【教学目标】1.知识与技能会证明角平分线的性质定理及其逆定理。2.过程与方法经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力.丰富对几何图形3.情感态度与价值观通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。【教学重点】运用几何符号语言证明角平分线的性质定理及其逆命题。【教学难点】角平分线的性质定理在实际问题中的运用。【教学方法】讲授法【课时安排】第一课时【教学目标】1.知识与技能会证明角平分线的性质定理及其逆定理。2.过程与方法进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言.转化为符3.情感态度与价值观经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。【教学重点】正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。【教学难点】正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。【教学过程】教学过程教学随笔我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步从折纸过程中，我们可以得出CD=CE,即角平分线上的点到角两边的距离相等.你能证明它吗二、探究新知(1)引导学生证明性质定理请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交已知：如图，0C是∠AOB的平分线，点P在0C上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.求证：PD=PE.DA证明：∵∠1=∠2,0P=OP,PCB∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(2)你能写出这个定理的逆命题吗我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题.引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上.它是真命题吗你能证明它吗没有加“在角的内部”时，是假命题.(由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)已知：在么AOB内部有一点P,且PD上OA,PE⊥OB,D、E为垂足且PD=PE,求证：点P在么AOB的角平分线上.证明：PD⊥0A,PE⊥OB,在Rt△ODP和Rt△OEP中0P=0P,PD=PE,∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理).∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等).逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理.我们就把它叫做角平分线的判定定理。(3)用直尺和圆规画已知角的平方线及作图的依据讨论。三、巩固练习质解决问题。进一步发展学生的推论证明能力。在学生独立完成推理过程的基础上，教师要给出书写示范例题：在△ABC中，∠BAC=60°,点D在BC上；AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求DE的长.(4)课本例题学习四、随堂练习课本第29页1、2题。五、课堂小结这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线(或证明是角的平分线)时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得六、布置作业习题1.9第1,2,3,4题.【板书设计】角平分线(一)已知：在么AOB内部有一点P,且PD上OA,PE⊥OB,D、E为垂足且求证：点P在么AOB的角平分线上.OP=0P,PD=PE,∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理).∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等).【教学反思】第二课时【教学目标】证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论。2.过程与方法经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识。3.情感态度与价值观在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。【教学重点】【教学难点】角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。【教学过程】教学过程教学随笔第一环节：设置情境问题，搭建探究平台问题1习题1.8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么能证明自己发现的结论一定正确吗于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”第二环节：展示思维过程，构建探A究平台D14YFNF已知：如图，设△ABC的角平P分线.BM、CN相交于点P,BEC证明：P点在∠BAC的角平分线上.证明：过P点作PD⊥AB,PF⊥AC,PE⊥BC,其中D、E、F是垂足.∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).同理：PE=PF∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上).∴△ABC的三条角平分线相交于点P.在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢(PD=PE=PF,即这个交点到三角形三边的距离相等.)于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理(板书)问题2如图：直线1、1、1表示三条相互交义的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处你如何发现的B[生]有一处.在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处.因为三角形三条角平分线交于一且这一点到三边的距离相等.而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等.这一点刚好符合.[生]我找到四处.(同学们很吃惊)除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点.作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示),我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P在∠CAB的角平分线上，且到1、1、1的距离相等.同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P;因此满足条件共4'A₁ACBP3第三环节：例题讲解[例1]如图，在△ABC中.AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E.(1)已知CD=4cm,求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD.分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一AAEB起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题.第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB,CD=4cIn,而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm,再根据勾股定理便可求出DB的长.第(2)问中，求证AB=AC+CD.这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE,所以需证(1)解：*AD是△ABC的角平分线，∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等).∵∠AC=∠BC∴∠B=∠BAC(等边对等角).∴BE=DE(等角对等边).在等腰直角三角形BDE中BD=2DE₂.=42cm(勾股定理),Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)[例2]已知：如图，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C、D.求证：(1)0C=0D;(2)0P是CD的垂直平分线AAGPED0证明：(1)P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA,PD⊥∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等).在Rt△OPC和Rt△OPD中，∴Rt△OPC≥Rt△OPD(HL定理).∴OC=OD(全等三角形对应边相等).(2)又OP是∠AOB的角平分线；∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理).思考：图中还有哪些相等的线段和角呢第四环节：课时小结本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等.并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题.第五环节：课后作业习题1.10第1、2题【板书设计】角平分线(二)三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等【教学反思】回顾与思考【教学目标】1.知识与技能在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。2.过程与方法进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。3.情感态度与价值观通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯。【教学重点】通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固是重点。【教学难点】本章知识的综合性应用。【教学方法】讲授法【课时安排】2课时第一课时【教学目标】1.知识与技能回顾与思考中建立本章的知识框架图。2.过程与方法进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义。3.情感态度与价值观经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。【教学重点】建立本章的知识框架图。【教学难点】【教学过程】教学过程教学随笔第一环节：创设问题情境，搭建“回顾与思考”的平台问题1:你能说说作为证明基础的几条公理吗1.两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；(ASA)6.全等三角形的对应边相等，对应角相等.问题2:向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方①综合法：从已知出发利用学过的公理和已证明的定理进行合情推理和演绎推理；②反证法.(教师可关注基础较差的学生，给于关注和指导)问题3:你能说出一对互逆命题吗它们的真假性如何问题4:任意画一个角，利用尺规将其二等已知：如图，∠AOB求作：(1)射线OC,使∠AOC=∠BOC;(2)射线OD、OE,使∠AOD=∠DOC=∠COE=∠EOB分别截取0M、ON,使0M=ON以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线0C∴OC就是∠AOB的平分线.(2)同上，分别在A0C和BOC内部作射线OD、第二环节：建立本章的知识框架图本章所证明的命题大多与等腰三角形和直角三角形有关，主要包括哪些呢等腰三角形(含等边三角形)、直角三角形的性质定理及判定定理；线段垂直平分线的性质定理及判定定理；角平(1)与等腰三角形、等边三角形有关的结性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等.等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°;等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等.判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.勾股定理的逆定理；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL)在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等(用反证法证明).在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理.其中一个定理称为另一个定理的逆定理.例如勾股定理及其逆定理.3.尺规作图线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线.第三环节：例题讲解例1、已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E、F,且DE=DF.求证：△ABC是等腰三角形.分析：要证△ABC是等腰三角形，可证∠B=∠C例2、如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点E,已知△BCE的周长为8,AC—BC=2.求AB与BC的长分析：由已知AC-BC=2,即AB—BC=2,要求AB和BC的长，利用方程的思想，需找另一个AB与BC的关系.第四环节：课时小结通过本节课，你有那些新的收获呢第五环节：布置作业课外：A组题中的9题，B组题第1、2、3题【板书设计】通过探索、猜测、计【教学反思】第二课时【教学目标】1.知识与技能利用测试题巩固本章知识点。2.过程与方法进一步掌握本章知识，结合相关习题进一步发展学生的推理证明意识和能力。3.情感态度与价值观体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识。【教学重点】利用习题巩固本章知识。【教学难点】本章知识的综合性应用。【教学过程】教学过程教学随笔1.如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带②D.①和②③2.下列说法中，正确的是().A.两腰对应相等的两个等腰三角形全等B.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C.两锐角对应相等的两个直角三角形全等D.面积相等的两个三角形全等3.如图2,AB⊥CD,△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm,BE=3cm,那么AC长为().4.如图3,在等边△ABC中，D.E分别是BC,AC上的点，且BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠1+Z2的度数是5.如图4,在△ABC中，AB=AC,∠A=360,BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于点P.在图4中，等腰三角形(不再添加线段和字母)的个数为().个DA5b图2CPBD图3A个4图53ECCP图<DCEE的公路，现在要建一个加油站，NCNC图6BM则可供选择的地址有()A7.如图6,A、C、E三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论：①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中，正确结论的个数是().8.要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再作出BF的垂线DE,使A,C,EAADFEC图7B在同一条直线上(如图7),可以证明△ABC≌△EDC,得ED=AB.因此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定△ABC≌△EDC的条件是().9.如图8,将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E位置，BE交AD于点FB求证：重叠部分(即△BDF)是等腰三角形.R2③DC又∵△BDE与△BDC关于BD对称，∴∠2=∠3.∴△BDF是等腰三角形，请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项().④10.如图9,已知线段a,h作等腰△ABC,使AB=AC,且BC=a,BC边上的高AD=上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是二、巩固练习1.如图10,已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB,若不增加任何字母与辅助线，要使2.如图11,在Rt△ABC中，∠BAC=90o,AB=AC,分别过点B.C作经过点A的直线的垂线段BD,CE,若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE的长为_.8图10cDB图114图12以E图13℃3.如图12,P,Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=Q0=AP=AQ,则∠ABC等于1文4.如图13,在等腰AABC中，AB=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若△BCE的周长为50,则底边BC的长为.5.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为500,则底角B的大小为.6.在《三角形的证明》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等.在上述定理中，7.如图14,有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm,BC=10cm,将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE,则._一点，分别做DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,如果BC=20cm,CJA图14B-D图15CE图16G9.如图16,在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB10.如图17,有一块边长为24m的长方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在A处立一个标牌“少走步，踏之何忍”但小颖不知在“”处应填什么数字，请你帮助她填上好吗(假设两三、拓展练习∠ACB=900,CD是AB边上的高，∠A=300.求证：AB=4BD.C图18【板书设计】【教学反思】第二章一元一次不等式与一元一次不等式组1.不等关系知识与技能目标①理解不等式的意义。②能根据条件列出不等式。③能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义。过程与方法目标经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学情感与态度目标感受生活中存在着的大量不等关系，通过用不等式解决实际问题，使学生进一步认识数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的信心和兴趣。教学重点：通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。教学难点：根据实际问题建立合理的不等关系。教学过程第一环节：创设情景，引入新课如图，用两根长度均为Lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆。(10分)(1)如果要使正方形的面积不大于25平方厘米，那么绳长L应满足怎样的关系式(2)如果要使圆的面积不小于100平方厘米，那么绳长L应滿足怎样的关系式(3)当L=8时，正方形和圆的面积哪个大；当L=12呢由此你能得到什么猜想第二环节：问題提出做一做：(1)铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm。设行李的长、宽、高分别为acm、bcm、ccm,请你列出行李的长、宽、高满足的关系PV 。 (2)通过测量一棵树围(树干的周长)可以计算出它的树龄。通常规定以树干离地面米的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为6cm,以后树围每年增加约为3cm,设这经过x年后这棵树的树围超过30cm则列出关系活动目的：在总结前面学生举例的基础上，提出问题，引起学生进一步思第三环节：归纳定义一般地，用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫(特别的，不等号还包含“≠”)活动目的：通过学生自己总结出不等式的概念，培养学生总结归纳的能第四环节：运用巩固随堂练习：1、第五环节：课时小结本课我主要学会了;引导学生回答：能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”,“不小于”等词语的理解。通过不等关系的式子归纳出不等式的概念。活动目的：归纳本课内容，培养学生的归纳意识第六环节：课后作业教学反思本节课充分通过学生举例和老师的选例，让学生体会在现实生活中除了存在许多等量关系外，更多的是不等关系的存在，并通过感受生活中的大量不等关系，初步体会不等式是刻画量与量之间关系的重要数学模型。经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力。在教学中，要充分相信学生的潜力，让学生真正成为学习的主体，让学生的思维在数学课堂上尽情地驰骋，老师要做好课堂的引导者、参与者、合作者，与学生平等地进行交流与学习。第二章一元一次不等式与一元一次不等式组2.不等式的基本性质1、经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。2、掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x>a”或“x<a”的形式。1、能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。2、通过研究等式的基本性质过程类比研究不等式的基本性质过程，体会类3、进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题1、通过学生自我探索，发现不等式的基本性质，提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心。2、尊重学生的个体差异，关注学生对问题的实质性认识与理解。教学重、难点重点：不等式的基本性质难点：不等式转化为“x>a”或“x<a”的形式及乘或除以同一个负数要变号教学过程第一环节：活动探究，验证明确结论1、还记得等式的基本性质吗请用字母表示它。不等式有类似的性质吗先猜一猜。2、用等号或不等号完成下面的填空。3、验证你的结论，用字母表示你所发现的结论。从上面归纳得出：不等式的基本性质1:不等式的两边都加上或都减去同一个整式，不等号方不等式的基本性质2:不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质2:不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。活动目的：通过等式的基本性质对比不等式的基本性质，由特殊的数值到字母代表数，从中归纳出一般性结论。进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。第二环节：例题讲解及运用巩固1、在上一节课中，我们猜想，无论绳长I取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即你相信这个结论吗你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗2、已知x>y,下列不等式一定成立吗注意：在讲解例题的过程中要求学生说出每一步变形的依据，加强学生对不等式的基本性质的理解。随堂练习学生独立完成，师生共同讲解，能说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯，并通过这种方式达到熟练掌握不等式的基本性质的目的。第三环节：课堂小结活动内容：学生自己总结今天这节课有什么收获，思考后对全班说出，与全班同学讨论交流。学生自我总结本节课所学到的知识和重点注意的问题，畅所欲言自己的切身感受与实际收获，除了今天所学新的内容之外，还复习巩固了等式的基本性质，体会新旧知识的联系与区别。第四环节：布置作业教学反思本节课通过复习等式的基本性质，类比得出不等式的基本性质雏形。教学中问题的设置通过与等式的基本性质相对比，引导学生自己先猜想不等式基本性质、再通过具体数值验算性质、最后自己总结归纳完善性质定理并能用字母表示出来。在接下来的讲解例题与练习的过程中，每一步变形的依据都能够集体回答或个别举手回答正确，黑板上的演示过程也十分规范。在整个教学过程中，学生始终处于主导地位，不等式的基本性质主要由学生自己推导得出。第二章一元一次不等式与一元一次不等式组3.不等式的解集①能根据具体情境理解不等式的解与解集的意义。②能在数轴上表示不等式的解集。2、过程与方法目标：①培养学生从现实情况中探索、发现并提出简单的数学问题的能力。②经历求不等式的解集的过程，通过尝试把不等式的解集在数轴上表示出来，引导学生体验用数轴表示不等式解集具有直观的优越性，增强学生数形结3、情感态度与价值观目标：通过从实际问题中抽象出数学模型、探索求不等式的解集的过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满了探究性和创造性。重点：1、理解不等式的解与解集的概念。2、探索不等式的解集并能在数轴上表示出来。教具：多媒体课件教学过程第一环节：复习旧知识1、不等式的基本性质有哪些生2、方程的解的定义是什么使得方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做