2024年山东省济南市高新区中考一模前测数学试题（含答案解析）

2024年高新区学考一模前测数学试题2024.03本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.的相反数为（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查相反数定义．根据相反数定义：只有符号不同的两个数，直接求解即可的得到答案．【详解】解：根据相反数定义可知的相反数为，故选：A．2.如图，是从上面看一个几何体得到的图形，则该几何体可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据俯视图的定义，将各个选项中的几何体的俯视图的形状进行判断即可．【详解】解：A选项的俯视图是矩形，故A不符合题意，B选项的俯视图是正方形，故B不符合题意，C选项的俯视图是两个正方形，故C不符合题意，D选项的俯视图是两个矩形，故D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解俯视图的定义，掌握简单几何体的三视图的形状是正确判断的前提．3.2023年10月，“中国空间站”入选了2023年全球十大工程成就．空间站离地球的距离约为米，数据用科学记数法可表示为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．【详解】解：用科学记数法表示为．故选：D．4.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方、完全平方公式，根据各项法则逐一判断即可.【详解】解：A.，该选项错误；B，该选项错误；C.，该选项正确；D.，该选项错误.故选：C.5.校微是一所学校的外在形象标志，象征性诠释了学校的特有的历史、理念和追求，是学校文化的一个重要组成部分．下列四幅图案是四所学校校微的主体标识，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此逐一判断即可得到答案．【详解】解：A、不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．6.华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前5位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．最后一个数字可能是中任一个．总共有十种情况，其中解锁只有一种情况．利用概率公式进行计算即可．【详解】解：一次解锁该手机密码的概率是．故选：B．7.一次函数的图像过点，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一次函数的增减性求解即可．本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．【详解】，∴y随x增大而减小，，，即，故选：A．8.如图，在中，，点M在的延长线上于点N，交于点O，若，，则的长度为（）A.12 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】【分析】由题意，根据等角对等边得到，再结合，即可求出答案．【详解】解：∵于点N，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等角对等边，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到．9.如图，将边长为4的正方形铁丝框ABCD(面积记为)变形为以点B为圆心，BC为半径的扇形(面积记为)，则与的关系为（）A. B. C. D.无法确定【答案】B【解析】【分析】本题考查正方形的性质，扇形面积公式，先用正方形面积公式求出正方形面积，再根据题意结合图形得出，，利用扇形面积与弧长的关系式求出，从而比较得解．熟练掌握扇形面积公式是解题关键．【详解】解：根据图形可得：，弧长，即的长，∴，，∴，故选：B．10.如图，抛物线l1：y1＝a(x+1)2+2与l2：y2＝﹣(x﹣2)2﹣1交于点B(1，﹣2)，且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】①由非负数的性质，即可证得y2＝﹣(x﹣2)2﹣1≤-1＜0，可得无论x取何值，y2总是负数；②由抛物线l1：y1＝a(x+1)2+2与l2：y2＝﹣(x﹣2)2﹣1交于点B（1，-2），可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③由y1-y2=-(x+1)2+2-[-(x﹣2)2﹣1]=-6x+6，可得随着x的增大，y1-y2的值减小；④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得AF=CF=DF=EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为正方形．【详解】解：①∵（x﹣2）2≥0，∴﹣（x﹣2）2≤0，∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，∴无论x取何值，y2总是负数；故①正确；②∵抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2与l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），∴当x＝1时，y＝﹣2，即﹣2＝a（1+1）2+2，解得：a＝﹣1；∴y1＝﹣（x+1）2+2，∴l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；故②正确；③∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小；故③错误；④设AC与DE交于点F，∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2，解得：x＝﹣3或x＝1，∴点A（﹣3，﹣2），当y＝﹣2时，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2，解得：x＝3或x＝1，∴点C（3，﹣2），∴AF＝CF＝3，AC＝6，当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5，∴DE＝6，DF＝EF＝3，∴四边形AECD为平行四边形，∴AC＝DE，∴四边形AECD为矩形，∵AC⊥DE，∴四边形AECD为正方形．故④正确．故选：C．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11.分解因式：________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：，故答案为：．12.有张卡片，每张卡片上分别写有不同的自然数．任意抽取一张卡片，卡片上的数是的倍数的概率是______．【答案】##【解析】【分析】此题考查了概率公式的应用．由有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的有3，6，9，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的有3，6，9，∴卡片上的数是3的倍数的概率是：，故答案为：．13.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________．【答案】【解析】【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的判别式，据此列方程，解方程可得答案．【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴方程的判别式：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键．14.如图，，，，将沿着方向平移，得到，连接则阴影部分的周长为______．【答案】【解析】【分析】根据平移的性质得到，，，根据周长公式计算，得到答案．【详解】解：由平移的性质可知：，，阴影部分周长，，故答案为：．【点睛】本题考查的是平移的性质，掌握平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等是解答本题的关键．15.如图，物理实验中利用一个半径为定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了______．（结果保留）【答案】【解析】【分析】本题考查了求弧长，根据砝码被提起的长度等于径为圆心角为的弧长，即可求解．【详解】解：依题意，砝码被提起的长度为，故答案为：．16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转，交轴于点C，则直线BC的函数表达式为____________．【答案】【解析】【分析】根据已知条件得到，，，求得，，过作交于，过作轴于，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，，设直线的函数表达式为：，解方程组即可得到结论．【详解】解：一次函数的图象分别交、轴于点、，令，得，令，得，，，，，，过作交于，过作轴于，，是等腰直角三角形，，，，在和中，，，，，，，设直线的函数表达式为：，，，直线的函数表达式为：，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题：（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.计算：．【答案】6【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算加减法即可．【详解】解：．18.求不等式组的整数解．【答案】整数解是-1，0，1【解析】【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后在解集范围内确定整数解．【详解】解：，由①得，由②得，所以这个不等式组的的解集是，∴不等式组的整数解是-1，0，1．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出两个不等式的解集，确定不等式组的解集是解决问题的关键．19.如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．【答案】见解析【解析】【分析】根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC，根据三角形全等的判定AAS证得△AOD≌△BOC，从而得证结论.【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，AD=BC，∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC，∴∠AOD=∠BOC，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC，∴AO=OB．20.某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据(成绩)进行了收集、整理、分析．（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）下面给出了部分信息．【收集数据】甲班10名学生竞赛成绩：85，78，88，79，72，96，79，69，65，89乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，69，99，74，75，81【整理数据】【分析数据】班级平均数中位数众数方差C组所占百分比甲班80n7984.2乙班8080a27【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：，，；（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较稳定?（3）按竞赛规定，达到D组成绩可获得一等奖．若甲、乙班两班各有学生50人：请估计这两个班可以获得一等奖的总人数是多少?【答案】（1）40，79，80或85；（2）乙班的成绩相对稳定（3）10人【解析】【分析】（1）根据扇形图、中位数、众数的概念分别进行求解；（2）根据方差越大越不稳定进行比较即可；（3）分别找出满足D组的人数，求解频率，然后估计总体满足D组的人数即可．【小问1详解】解：由题意得，甲班B组的频数为：4，故，将甲班10名学生竞赛成绩从小到大排列：65，69，72，78，79，79，85，88，89，96；第五，六位的数都是79，故中位数为：79；乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，69，99，74，75，81中，出现次数最多的为：80或85，都为两次；故为80或85；故答案为：40，79，80或85；【小问2详解】解：根据甲班的方差为84.2，乙班的方差为27，，乙班的成绩相对稳定；【小问3详解】解：甲班10名学生竞赛成绩到达D组的成绩人数有：1名；乙班10名学生竞赛成绩到达D组的成绩人数有：1名；根据甲、乙班两班各有学生50人：估计这两个班可以获得一等奖的总人数是多少为：（人）【点睛】本题考查用样本估计总体、统计图、中位数、平均数、众数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．（1）求D到的距离．（2）求古塔高度（结果保留根）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．（1）过点作，根据斜坡的斜面坡度，结合勾股定理求出的长即可；（2）过点作，垂足为点，易得四边形为矩形，推出，在中，求出的值，再根据可得出答案．【小问1详解】解：过点作，垂足为点，∵斜坡的斜面坡度，∴，设，则，在中，根据勾股定理，得，∴，∵，∴．【小问2详解】过点作，垂足为点．由题意得，，∵，∴四边形为矩形，∴，，由（1）知：，∴，，∴，在中，∵，∴．∴．答：古塔高度．22.如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为C，，垂足为E，连接．（1）求证：平分；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，三角函数的定义，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．（1）连接，根据切线的性质得到，从而可得，再根据等腰三角形的性质和平行线的性质，即可证得答案；（2）连接，先证明，则，根据三角函数的定义，可求得的长，最后根据勾股定理可求得的长，从而得到答案．【小问1详解】连接，直线是的切线，切点为C，，又，，，，，，平分；【小问2详解】连接，是的直径，，又，由（1）得，，在中，，，在中，，．23.某商店销售3台型和5台型电脑的利润为元，销售5台型和3台型电脑的利润为元．（1）求每台型电脑和型电脑的销售利润各多少元？（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为w元．请写出w关于n的函数关系式，并判断总利润能否达到元，请说明理由．【答案】（1）每台型电脑和型电脑的销售利润各为，元（2），不能，理由见解析【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的图象与性质．根据题意正确的列等式是解题的关键．（1）设每台型电脑和型电脑的销售利润各为元，依题意得，，计算求解即可；（2）由题意得，，，根据一次函数的性质求最值，和比大小，然后作答即可．【小问1详解】解：设每台型电脑和型电脑的销售利润各为元，依题意得，，解得，，∴每台型电脑和型电脑的销售利润各为，元；【小问2详解】解：由题意得，，，∵，∴随着的增大而增大，的最大值为，∴总利润不能达到元，∴w关于n的函数关系式为，总利润不能达到元．24.如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．（1）求反比例函数表达式；（2）过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标．（3）在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）点坐标为或（3）存在，的横坐标为【解析】【分析】（1）本题将点代入求得的值，得到直线的解析式，将代入直线的解析式，算出的值，得到的坐标，将的坐标代入反比例函数中求解，即可解题．（2）本题根据点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点，过点作轴交直线于点，分以下两种情况讨论，①当点在下方时，②当点在上方时，根据以上两种情况，结合“若的面积是面积的2倍”分析得到点纵坐标，将点纵坐标代入反比例函数解析式求解，即可解题．（3）本课过点作垂直交延长线于点过点作轴，，，利用等腰直角三角形性质证明，根据全等三角形性质得到点坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式和反比例函数解析式求解，即可解题．【小问1详解】解：过点，，，，点在上，，即，，；【小问2详解】解：①当点在下方时，，，作轴，轴，，，，，把代入中，；②当点在上方时，，，为中点，，，，把代入中，；综上所述：点坐标为或．【小问3详解】解：过点作垂直交延长线于点过点作轴，，，，，三角形为等腰直角三角形，在和中，，所以，，，设直线的解析式为，过，，，解得，直线的解析式为，，整理得，解得，（不合题意，舍去），，的横坐标为．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的几何综合、用待定系数法求函数解析式、坐标与图形、等腰三角形性质、全等三角形的性质和判定、熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题．25.如图1，在等腰直角三角形中，，，点在边上，连接，，，连接，．（1）求证：；（2）点关于直线的对称点为，连接