2024年山西省吕梁市交城县中考一模数学试题（含答案解析）

2024年中考模拟试卷（一）数学(满分120分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷选择题(共30分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)1.比大5的数是（）A. B. C.2 D.8【答案】C【解析】【分析】本题考查有理数的加减运算，根据题意列式求解即可得到答案，熟练掌握有理数加减运算法则是解决问题的关键．【详解】解：，比大5的数是，故选：C．2.年1月日，国家统计局公布了年中国经济运行数据．初步核算，全年国内生产总值（）万亿元，比上年增长，远远超过全球的平均增速．数据万亿用科学记数法表示为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：万亿，万亿用科学记数法表示为．故选：．3.从下图中裁掉一个正方形后，剩余部分恰好是正方体的表面展开图，则裁剪错误的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】A【解析】【分析】本题考查将侧面展开图还原为立体图形，涉及正方体的侧面展开图，熟记正方体常见的平面展开图，利用空间想象能力还原即可判定，熟记正方体常见的平面展开图是解决问题的关键．【详解】解：裁剪甲，如图所示：不能还原成正方体，不是正方体的侧面展开图，符合题意；裁剪乙，如图所示：展开图能还原成正方体，是正方体的侧面展开图，不符合题意；裁剪丙，如图所示：展开图能还原成正方体，是正方体的侧面展开图，不符合题意；裁剪丁，如图所示：展开图能还原成正方体，是正方体的侧面展开图，不符合题意；故选：A．4.下列运算中，正确的是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项，单项式乘以多项式，二次根式的混合运算，二次根式的性质逐项分析即可．【详解】解：A．，故不正确；B．，故不正确；C．，正确；D．，故不正确；故选C．【点睛】本题考查了合并同类项，单项式乘以多项式，二次根式的混合运算，二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．5.如图，是的直径，弦，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了平行线的性质以及圆周角定理．由是的直径，弦，若，根据平行线的性质，可求得的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．【详解】解：弦，，，．故选：．6.某建筑队计划修筑2600米的围墙，由于投入新设备，每天的施工效率比原计划提高了30%，按这样的进度将比原计划提前6天完成．设原计划每天修筑米，根据题意列方程得（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了分式方程的简单应用，找出等量关系列出方程是关键．由已知得原计划修筑的天数为，实际修筑天数为，再根据实际天数将比原计划提前6天完成列方程．【详解】解：由已知可得原计划修筑的天数为，实际修筑天数为，故选B．7.农科院的研究员种植了甲、乙两块玉米试验田，为了解试验田中玉米的长势情况，研究员分别从两块试验田中随机抽取了株玉米测量其高度（单位：），具体数据统计如下：试验田第一株第二株第三株第四株第五株第六株第七株平均数甲乙根据测量数据，长势比较整体的是（）A.甲试验田 B.乙试验田 C.两块试验田一样 D.无法判断【答案】A【解析】【分析】本题考查方差的实际应用，解题的关键是掌握方差的计算，然后根据方差的意义（当方差较小时，数据点相对集中在平均值附近，这意味着数据比较稳定；当方差较大时，数据点更加分散，这意味着数据波动较大，稳定性较差）即可得出结论．【详解】解：∵甲试验田和乙试验田株玉米高度的平均数都为：，∴甲试验田玉米高度的方差为：乙试验田玉米高度的方差为：∵，∴长势比较整体的是甲试验田．故选：A．8.青苗小组的同学在探究的结果时，发现可以进行如下操作：如图，将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；……由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了（）A.方程思想 B.分类讨论思想 C.模型思想 D.数形结合思想【答案】D【解析】【分析】本题考查了图形变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．这种探究问题的方法体现了数形结合思想．【详解】将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；……由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了数形结合思想．9.如图，在平面直角坐标系中有四个点，分别代表阻值不同的甲、乙、丙、丁四个电阻通过不同电流时的情况，其中甲、丙两个电阻对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个电阻中两端的电压最大的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涉及反比例函数的图象与性质，读懂题意，根据电阻、电流与电压的关系，结合反比例函数图象与性质，数形结合求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：根据题意，阻值与电流满足反比例关系，设电阻、电流与电压函数表达式为，甲、丙两点均在反比例函数图象上，，甲、丙两个电阻两端的电压值相等，均为，过乙、丁作轴平行线交反比例函数图象于两点，如图所示：不变时，；不变时，；在反比例函数图象上，由知，；，即四个电阻中两端的电压：丁甲丙乙，这四个电阻中两端的电压最大的是丁，故选：D．10.如图，将放置在平面直角坐标系中，，点A在轴的负半轴上，已知，，将绕着点O顺时针旋转得到，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，过点作垂线是解题的关键．先用勾股定理求出，再由旋转得，过点作，先用等积法求出，再用勾股定理求即可．【详解】在中，，．由旋转的性质可得，，，过点作于点，∵∴，在中，，，∴点的坐标为．故选B．第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11.分解因式：_____．【答案】【解析】【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．12.不等式组的解集是_________________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为，故答案为：．13.如图，在菱形中，，，于点，对角线交于点，则的长为______________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，在中，，求出和，证明，再即可．【详解】四边形是菱形，，，，，，，．14.为了对学生进行消防安全教育，传播消防安全知识，某校计划将以下四张海报随机张贴在两个教室，每个教室张贴两张海报，则①③两张海报张贴在同一教室内的概率为_________________．【答案】【解析】【分析】本题考查求概率问题，涉及简单概率公式等知识，根据题意，列出表格，得到满足题意的等可能情况的结果数，利用简单概率公式代值求解即可得到答案．【详解】解：设有两间教室，将四张海报随机张贴在两个教室，每个教室张贴两张海报的情况有：种类1①②③④2①③②④3①④②③4②③①④5②④①③6③④①②由表可知，将四张海报随机张贴在两个教室，每个教室张贴两张海报的情况有6种，其中，①③两张海报张贴在同一教室内的情况有两种，①③两张海报张贴在同一教室内的概率为，故答案为：．15.如图，在矩形中，，，连接对角线，是的平分线，过点作于点，交于点，交于点，则的长为_______________．【答案】【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．由是的平分线，得，由已知易证，，，得出，再由，求出的长度即可．【详解】∵四边形矩形，∴，∴，∵，∴，∴．∵是的平分线，，，∴．，∴∴∴，∴．故答案为：．三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)16.（1）计算：；（2）解方程组：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查实数的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、解二元一次方程组，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．（1）分别计算乘方、负整数指数幂、完全平方公式、特殊角的三角形函数值，再合并被开方数相同的二次根式即可．（2）先把方程去分母整理得，再代入方程求出，再求即可．【详解】（1）解：原式===（2）解：原方程可变形为整理得由②得：③把③代入①得：解得：把代入③得∴原方程组得解为17.先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】此题考查了分式化简求值，根据分式的加减乘除混合运算法则和顺序计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可.【详解】解：=======当时，原式==18.某校开展了一次消防知识竞赛（百分制）．七、八年级各有50名学生参赛，对他们的成绩进行整理、描述和分析．将成绩（单位：分）分为五组：一组；二组；三组；四组；五组．部分信息如下：①七年级二组的学生人数占七年级参赛人数的．八年级三组中最低的10个成绩分别为：70，71，71，72，72，73，74，74，75，75．②七、八年级成绩统计图如下：③七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：年级平均数中位数众数七707176八7079根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：，．（2）请补全条形统计图；（3）这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为73分，但甲的成绩在其所在的年级中排名更靠前，可知甲是（填“七”或“八”）年级的学生；（4）综合上表中的统计量，在此次竞赛中，哪个年级的学生对消防知识掌握得更好？请说明理由．【答案】（1），（2）见解析（3）七（4）八年级的学生掌握的更好．因为，七、八年级的学生成绩平均数一样，而八年级的学生成绩的中位数和众数更高，所以，八年级的学生掌握的更好【解析】【分析】（1）根据扇形统计图中信息求解即可；将八年级50人成绩从小到大排列，根据中位数的定义求解即可；（2）分别求得七年级二组、五组的学生人数，即可补画条形统计图；（3）根据八年级和七年级成绩的中位数分析判断即可；（4）根据两个年级学生成绩的平均数、众数和中位数进行分析即可．【小问1详解】解：，八年级一组人，二组人，三组人，四组人，五组人，将八年级50人成绩从小到大排列，第25、26个数据分别为74、74，∴八年级成绩的中位数．故答案为：，；【小问2详解】七年级二组的学生人数为人，五组的学生人数为人，所以，可补画条形统计图如下：【小问3详解】这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为73分，但甲的成绩在其所在的年级中排名更靠前，根据八年级成绩的中位数为74，故73分在年级中排名在第26名之后，而七年级成绩的中位数为71，故73分在年级中排名在第25名之前，可知甲是七年级的学生．故答案为：七；【小问4详解】八年级的学生掌握的更好．因为，七、八年级的学生成绩平均数一样，而八年级的学生成绩的中位数和众数更高，所以，八年级的学生掌握的更好．【点睛】本题主要考查了扇形统计图、条形统计图、中位数、数据统计应用等知识，通过扇形统计图和条形统计图获得所需信息是解题关键．19.某文化旅游公司推出“亲近大自然野外宿营”活动，票价为360元/人．周末期间有如下两种优惠方案：方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费270元），所有人都按半价优惠；方案二：所有人都按六五折优惠．设小明所在的团队有人，在周末期间参加该活动，购票总花费为元．（1）分别写出这两种方案中关于的函数关系式；（2）这两种方案中关于的函数图象如图所示，请求出点的坐标，并说明点所表示的实际意义；（3）当方案一比方案二更优惠时，请直接写出的取值范围．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】本题考查一次函数的实际应用，求函数关系式、求直线与坐标轴交点坐标、求两条直线的交点坐标、一次函数图象解不等式等知识，熟练掌握一次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键．（1）根据题中两种方案的描述，按题意列函数关系即可得到答案；（2）根据图象，令求解即可得到，联立方程组求解即可得到，数形结合即可说明点所表示的实际意义；（3）根据题意，方案一比方案二更优惠，结合函数图象分析即可得到答案．【小问1详解】解：方案一：，则方案二：，则；【小问2详解】解：令代入中，得，∴，联立方程组的，解得，∴，点的实际意义为：当小明的团队有5人时，方案一和方案二一样优惠，都需要花费1170元；【小问3详解】解：由（1）中解析式可知，方案二图象过原点，如图所示：两条直线的交点，在直线的右侧，的图象都在的图象上方，即方案一比方案二更优惠，．20.交城县教育局为了丰富春节期间群众的文化生活，营造节日喜庆氛围，宣传教育新形象，特在卦山公园举办花灯展，并在公园的门口搭建了一座门楼（如图）．某校“综合与实践”活动小组的同学们为了测量门楼的高度，设计了如下方案：课题测量门楼的高度测量工具无人机测量示意图说明：表示门楼，点表示门楼的顶部，点表示门楼的底部．点，为无人机两次测量的位置，米，点，在同一水平直线上，点，，，均在同一竖直平面内，与水平面垂直．测量数据从处观测处的俯角从处观测处的俯角从处观测处的俯角…………请你结合以上数据，帮助该小组的同学求出门楼的高度．（结果精确到米．参考数据：）【答案】米【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识，解题关键是理解题意，熟练运用三角形函数解题．延长，交于点，在中，由可得，设米，则米，易得米，在中，由可得，进而可得，然后证明为等腰三角形，易得，即，进而解得的值，即可获得答案．【详解】解：如下图，延长，交于点，由题意可知，，，，在中，，∴，∴，设米，则米，∵米，∴米，在中，可有，∴，∴，∴，在中，∵，，∴，∴，∴，即，解得，∴米．21.阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务．圆内接正三角形的有趣结论我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论.如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程：以点为顶点，作，交于点D，在等边三角形中，，，（依据），，是等边三角形，，∵，∴，即，∴，∴，∵，∴任务：（1）小宇的日记中的“依据”是，（2）如图，若，，则线段的长度是，（3）如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等（2）（3）【解析】【分析】本题考查了圆基本性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线证明三角形全等是解题的关键．（1）由题可知依据是：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等（2）由，，过点作于点，分别在和运用勾股定理求出和的长，再求求解．（3）连接，过点作交于点，先证明是等腰直角三角形，再证明，即可得出关系为：．【小问1详解】在等边三角形中，，，（在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等），故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等【小问2详解】过点作于点，在中，∴，，∴，，在中，，，，．，由题可知，．【小问3详解】连接，过点作交于点∵正方形内接于，，是等腰直角三角形∴，即．22.综合与实践问题初探：如图1，四边形是正方形，点E，F分别是边上的动点，若点E运动到的中点处，点F运动到的中点处，连接、．（1）请写出与的数量和位置关系_______________________；猜想证明：（2）如图2，在点E，F运动过程中，若，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在图1的基础上，连接AG，得到图3，求证：．【答案】（1），（2）成立，理由见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）由已知可得，再证明，可证得，；（2）由可得，再证明，可证得，；（3）延长和交于点，可证明，得，再证．【小问1详解】∵四边形是正方形，在和中故答案为：，【小问2详解】成立证明：∵四边形是正方形，即在和中【小问3详解】证明：延长和交于点，点是的中点，∴在和中在中．23.综合与探究如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上的一动点．（1）求抛物线的顶点的坐标和直线的解析式；（2）如图，连接交于点，若，求此时点的坐标；（3）如图，直线与抛物线交于，两点，过顶点作轴，交直线于点．若点是抛物线上一动点，试探究在直线上是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在