河北省沧州十校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（含答案解析）

2023～2024学年度第二学期高二年级3月份月考试卷数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册第六章～第七章第1节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.甲、乙2个人计划五一去旅游，从三个景点中各选择一个作为旅游的目的地，则不同的选法有（）A.6种 B.7种 C.8种 D.9种【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用分步乘法计数原理即可得解.【详解】甲选取旅游的目的地有3种选法，乙选取旅游目的地也有3种选法，由分步乘法计数原理得共有种选法.故选：D.2若，则（）A.20 B.21 C.30 D.35【答案】D【解析】【分析】根据排列数求得n，再根据组合数公式求得答案.【详解】因为，所以，即，解得或（舍去），所以,故选：D.3.若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件概率的概率公式变形计算可得.【详解】由条件概率公式，得，又，，所以．故选：C．4.在的展开式中，x的系数为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用两个计数原理列式求解即得.【详解】的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x，另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则的展开式中，含x的项为：，所以x的系数为．故选：A5.五一放假期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻且农场主站在中间，则不同的站法有（）A.240种 B.192种 C.144种 D.48种【答案】B【解析】【分析】农场主站在中间，先考虑女生所站位置，采用捆绑法，再考虑男生的位置，利用排列知识进行求解.【详解】2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；第二步：相邻女生排在一起有种；第三步：4名男生排在剩下的位置有种.因此2名女生相邻且农场主站在中间共有种站法.故选：B.6.甲、乙两个箱子里各装有6个大小形状都相同的球，其中甲箱中有4个红球和2个白球，乙箱中有3个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出1个球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式进行求解.【详解】设事件表示从甲箱中随机取出一个红球，事件表示从甲箱中随机取出一个白球，事件表示从乙箱中随机取出一个红球，则，所以.故选：B.7.为纪念抗美援朝，某市举办了一场“红色”歌曲文艺演出，已知节目单中共有6个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了3位参加过抗美援朝的老战士分别演唱一首当年的革命歌曲，在不改变原来的节目顺序的情况下，将这3个不同的节目添加到节目单中，则不同的安排方式共有（）A.210种 B.336种 C.504种 D.672种【答案】C【解析】【分析】利用插空法及分步乘法计数原理计算可得.【详解】原来的个节日形成个空，插入第一个节目，共有种结果，原来的个和刚插入的一个，形成个空，插入第二个节目有种结果，同理插入最后一个节目有种结果，根据分步乘法计数原理得到不同的安排方式有种．故选：C．8.若，且（，且），则（）A.1 B.2 C.15 D.16【答案】D【解析】【分析】根据题意，由二项式定理可得，然后结合条件可得可以被17整除，即可得到结果.【详解】，因为能被17整除，所以可以被17整除，即能被17整除，因为且，所以.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B.C D.【答案】BCD【解析】【分析】赋值法即可求解所有项的系数和.根据二项式展开的通项特征可求指定项的系数.【详解】令，得，故A错误；令得，即，故B正确；令，得，故C正确；展开式的通项为，令得，所以．故D正确．故选:BCD．10.将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个分别标有1，2，3，4号的盒子中，则下列结论正确的有（）A.共有256种放法B.恰有一个盒子不放球，共有72种放法C.恰有两个盒子不放球，共有84种放法D.没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有9种【答案】ACD【解析】【分析】按照分步乘法计数原理判断A，B，先分组、再分配，即可判断C，先确定编号为的球的放法，再确定与号球所放盒子的编号相同的球的放法，按照分步乘法计数原理判断D.【详解】若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有种放法，故A正确；恰有一个盒子不放球，先选一个盒子，再选一个盒子放两个球，则种放法，故B错误；恰有两个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将四个球分为，或，两种情况，故共种放法，故C正确；编号为的球有种放法，编号为的球所放盒子的编号相同的球放入号或其他两个盒子，共有，即种放法，故D正确．故选：ACD．11.设A，B为随机事件，且，则下列说法正确的是（）A.若，则A，B相互独立B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AC【解析】【分析】由独立事件概率可判断A，由条件概率公式可判断BCD.【详解】及，得，即，所以A，B相互独立，故A正确；由，得，所以，故B错误；由A知当时，，所以，故C正确；，，所以等式不成立，故D错误．故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，常数项是______．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据展开式的通项公式即得.【详解】因为的展开式的通项公式为，令，可得，所以展开式中常数项为，故答案为：.13.“渐降数”是指每一位数字都比左边数字小的正整数（如7431），那么四位“渐降数”有______个，比6543大的四位“渐降数”有______个．【答案】①.210②.175【解析】【分析】直接从这个数中抽取个数的组合数即为四位“渐降数”的个数，确定最高位为、、的四位“渐降数”，即可确定比大的四位“渐降数”.【详解】四位“渐降数”的个数就是从这个数中抽取个数的组合数，即．因为最高位为的四位“渐降数”有个，最高位为8的四位“渐降数”有个，最高位为7的四位“渐降数”有个，而是最高位为6的最大的“渐降数”，所以比大的四位“渐降数”有个．故答案为：；14.某食品加工厂生产一种食品的生产线有甲、乙、丙三个，其次品率分别为，假设这三个生产线的产量之比为，则从这三个生产线生产的食品中随机抽取1件食品为次品的概率为______．【答案】0.047##【解析】【分析】根据全概率公式可得结果.【详解】记事件“B=选取的食品为次品”，记事件“=此件次品来自甲生产线”，记事件“=此件次品来自乙生产线”，记事件“=此件次品来自丙生产线”，由题意可得，，，，，，由全概率的公式可得:，所以从这三条生产线上随机任意选取1件食品为次品的概率为0.047．故答案为：0.047.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）计算：的值；（2）解方程：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据组合数的定义得到，即可求出的值，再根据组合数的性质及组合数公式计算可得；（2）根据排列数公式化简，求出，再由排列数的定义确定.【详解】（1）因为，所以，又，所以，所以．（2）因为，所以，则，所以，可得或，又且，所以且，所以．16.从这7个数字中取出4个数字，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的四位数？（2）能组成多少个没有重复数字的四位偶数？【答案】（1）720（2）420【解析】【分析】（1）按照千位，百位，十位，个位的顺序，利用分布乘法计数原理即可求；（2）个位数字可能为0，2，4，6，有四种情况，利用分类加法计数原理即可求.【小问1详解】第一步：千位不能为0，有6种选择；第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择；第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择；第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择．根据分步计数原理，能组成个没有重复数字的四位数．【小问2详解】第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个；第二类：当个位数字是2时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个；第三类：当个位数字是4时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个；第四类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个．根据分类计数原理．能组成个没有重复数字的四位偶数．17.已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.【答案】（1）；（2），，.【解析】【分析】（1）根据前三项系数的关系列方程求n，然后根据二项式系数的性质可得；（2）根据指数为整数分析即可.【小问1详解】展开式中第项为，所以前三项系数的绝对值依次为，依题意有，，即，整理得，解得（舍去）或.由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，即.【小问2详解】由（1）知，，又，由可得，故展开式中的有理项为：，，.18.某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加．（1）求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？（2）若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？【答案】（1）540种；（2）65种.【解析】【分析】（1）对参加三个学科的人数分三种情况讨论，先分组、再分配求出各组情况的方案数，最后相加；（2）对选择化学竞赛的人数分四种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得.【小问1详解】若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案；若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案；若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案；该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案．【小问2详解】若有4人选择化学竞赛，则有1种参赛方案；若有3人选择化学竞赛，余下的一人有2种选法，则有种参赛方案；若有2人选择化学竞赛，余下的两人各有2种选法，则有种参赛方案；若有1人选择化学竞赛，余下的三人各有2种选法，则有种参赛方案；所以总共有种不同的参赛方案．19.学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为．（1）求首次摸球就试验结束的概率；（2）在首次摸球摸出红球条件下．①求选到的袋子为乙袋的概率；②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大．【答案】（1）；（2）①；②选择方案二使得第二次摸球就试验