专题13 解直角三角形（解析版）

专题13解直角三角形（解析版）1．（2023·福建·统考中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得A．3 B．22 C．3 D．【答案】C【分析】根据圆内接正多边形的性质可得∠AOB=30°，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得BC=1【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为30°，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形OAB，过点B作BC⊥OA交OA于点于点C，∵∠AOB=30°，∴BC=1则S△OAB故正十二边形的面积为12S圆的面积为π×1×1=3，用圆内接正十二边形面积近似估计⊙O的面积可得π=3，故选：C．【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．2．（2022·福建·统考中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC=27°，BC＝44cm，则高AD约为（

）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得DC=12BC=22cm，根据等腰三角形的性质及∠ABC=27°，可得∠ACB=∠ABC=27°，在Rt△ADC中，由AD=【详解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高，∴DC=1∵BC＝44cm，∴DC=12∵等腰三角形ABC，AB＝AC，∠ABC=27°，∴∠ACB=∠ABC=27°．∵AD为BC边上的高，∠ACB=27°，∴在Rt△ADC中，AD=tan∵tan27°≈0.51，DC=22cm∴AD≈0.51×22=11.22cm．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．3．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3．

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得AC=am，BC=b（ⅱ）分别在AC，BC，上测得CM=a3m，CN=由测量知，AC=a，BC=b，CM=a3，∴CMCA=CN∴△CMN∽△CAB，∴MNAB又∵MN=c，∴AB=②___________m．故小水池的最大宽度为___________m．(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得AB用到的几何知识是___________；(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母a，b，c⋯表示，角度用α，β，γ⋯表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）．【答案】(1)①∠C=∠C；②3c(2)相似三角形的判定与性质(3)最大宽度为acos【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；（2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；（3）测量过程：在小水池外选点C，用测角仪在点B处测得∠ABC=α，在点A处测得∠BAC=β；用皮尺测得BC=am求解过程：过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据锐角三角函数的定义推得BD=acosα，CD=asinα，【详解】（1）∵AC=a，BC=b，CM=a3，∴CMCA又∵∠C=∠C，∴△CMN∽△CAB，∴MNAB又∵MN=c，∴AB=3cm故小水池的最大宽度为3cm．（2）根据相似三角形的判定和性质求得AB=3MN=3c，故答案为：相似三角形的判定与性质．（3）测量过程：（ⅰ）在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得∠ABC=α，在点A处测得∠BAC=β；

（ⅱ）用皮尺测得BC=am求解过程：由测量知，在△ABC中，∠ABC=α，∠BAC=β，BC=a．过点C作CD⊥AB，垂足为D．在Rt△CBD中，cos即cosα=BDa同理，CD=asin在Rt△ACD中，tan即tanβ=asin所以AB=BD+AD=acos故小水池的最大宽度为acos【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键．4．（2019·福建·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.(1)求证：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF＝10，BC＝45，求tan∠BAD的值.【答案】(1)见解析；(2)tan∠BAD=112【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB=AC，即可得到∠ABC＝∠ADB，根据三角形内角和定理得到∠ABC＝12（180°−∠BAC）＝90°−12∠BAC，∠ADB＝90°−∠CAD，从而得到12∠BAC（2）易证得BC＝CF＝45，即可证得AC垂直平分BF，证得AB＝AF＝10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角形求得tan∠BAD的值．【详解】解：（1）∵AB＝AC，∴AB=AC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝12（180°−∠BAC）＝90°−12∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°−∠DAC，∴12∠BAC＝∠DAC∴∠BAC＝2∠DAC；(2)∵DF=DC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠∴CB=CF,又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10,AC=10.又BC＝45，设AE＝x,CE=10－x,AB2－AE2=BC2－CE2,100－x2=80－(10－x)2,x=6∴AE=6,BE=8,CE=4,∴DE=AE⋅CEBE=6×4∴BD＝BE＋DE＝3＋8＝11，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB•DH＝12∴DH＝BD•AEAB∴BH＝BD∴AH＝AB−BH＝10−445∴tan∠BAD=DHAH=336=【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活运用性质定理，属于中考压轴题．一、单选题1．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，AB＝AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，则sin∠ECF＝（

）A．22 B．2315 C．1【答案】D【分析】连接AC，EF，过点E作EN⊥CF于点N，证明△ABC≌△ADC，得到∠BAC=∠DAC=12∠BAD，BC=CD，再证明△BEC≌△DFC，得到CE=CF，设AB=AD=2a，BE=12AB=a，再求出BC、CE、CF，设FN=b，则CN也可表示出，在Rt△CEN和Rt△FEN中，由勾股定理可得EN【详解】如图，连接AC，EF，过点E作EN⊥CF于点N，∵在△ABC和△ADC中，∠B=∠D=90∴△ABC≌△ADC（HL），∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD又∵∠BAD=60∴∠DAC=30∵E、F分别是AB、AD的中点，∴AE=BE=AF=DF，∵在△BEC和△DFC中，BE=DF∠B=∠D∴△BEC≌△DFC（SAS），∴CE=CF，设AB=AD=2a，BE=1∵∠B=90∘，∴BC=ABtan∵在Rt△BEC中，由勾股定理可得CE∴CE=2∴CF=21∵AE=AF，∠BAD=60∴EF=AF=a，设FN=b，则CN=CF-FN=21∵在Rt△CEN和Rt△FEN中，由勾股定理可得EN2=E∴EC∴213解得b=2114a∵EN∴EN=a∴sin∠ECF=故选：D．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，等腰三角形和等边三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．2．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，一斜坡AB的长为213m，坡度为1:1.5，则该斜坡的铅直高度BC的高为（A．3m B．4m C．6m D．16m【答案】B【分析】首先根据题意作出图形，然后根据坡度=1：1.5，可得到BC和AC之间的倍数关系式，设BC=x，则AC=1.5x，再由勾股定理求得AB=132x，从而求得【详解】解：∵斜坡AB的坡度i=BC：AC=1：1.5，AB=213∴设BC=x，则AC=1.5x，∴由勾股定理得AB=x2又∵AB=213∴132x=213∴BC=4m．故选：B．【点睛】本题考查坡度坡角的知识，属于基础题，对坡度的理解及勾股定理的运用是解题关键．3．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,OD∥BC交⊙D于点D,交AC于点E,连接AD,BD,CD若AB=10,cos∠ABC=35,则tan∠DBC的值是(

A．12 B．13 C．2 D【答案】A【分析】由AB＝10，cos∠ABC＝35，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tan∠DAE，然后由圆周角定理得∠DBC＝∠DAE【详解】解：∵AB为直径，AB＝10，∴∠ACB＝90°，OA＝OD＝12AB＝5∵OD∥BC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，∠AOE＝∠ABC，在Rt△AEO中，OE＝OA•cos∠AOE＝OA•cos∠ABC＝5×35＝3∴DE＝OD−OE＝5−3＝2，∴AE＝AO在Rt△AED中，tan∠DAE＝DEAE∵∠DBC＝∠DAE，∴tan∠DBC＝12故选A.【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理以及三角函数．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=23

A．1 B．2 C．23 D．【答案】B【分析】连接OB，由圆周角定理得∠AOB=60°，由OA⊥BC得，∠COE=∠BOE=60°，CE=BE=3，在Rt△OCE中，由【详解】解：连接OB，如图所示，

，∵∠ADB=30°，∴∠AOB=2∠ADB=2×30°=60°，∵OA⊥BC，∴∠COE=∠BOE=60°，CE=BE=1在Rt△OCE中，∠COE=60°∴OC=CE故选：B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．5．（2023·湖南邵阳·统考三模）如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米【答案】C【详解】如图所示，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE=BD=8，AE=AB-CD=6，在直角三角形AEC中，AC=10米，答：小鸟至少要飞10米．故选C．6．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AB=2．G为对角线BD的延长线上一点，E为线段CD的中点，BF⊥AE，连接OF．已知∠DAG=15°，其中结论正确的是（

）①AG=BD；②BF=3；③OPOA=13；④S△POF=13；⑤若E点为线段CD上一动点，当AE=EC+CQA．①②③④ B．①②④ C．②③⑤ D．①③⑤【答案】D【分析】根据正方形的性质与解直角三角形的方法逐个解题求解．①根据∠DAG=15°可得含60°角的直角三角形AOG，求出AG=2AO；②由∠DAE+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°得∠BAF=∠DAE，tan∠BAF=tan∠DAE=DEAD=AF③将OP：OA转化为OP：OD，通过△ADP∽△QBP求解；④先通过OP：OD=1：3求出三角形OAP的面积，再通过PF与AP的比值求出三角形POF的面积．⑤设ED=x，EC=2-x，通过相似三角形与勾股定理求出x的值从而求出AQ．【详解】解：①∵∠DAG=15°，∴∠GAO=∠DAG+∠DAO=60°，∴∠G=30°，AG=2AO，∵BD=2AO，∴AG=BD，∴①正确，符合题意．②∵E为CD中点，∴DE=12CD∵∠DAE+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠BAF=∠DAE，∴tan∠BAF=tan∠DAE=DEAD∴BF=2AF，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB=AF2+B∴AF=255，BF=2AF=45③∵E为CD中点，EC∥AB，∴EC为△ABQ的中位线，C为BQ中点，∴BQ=2BC=2AD，∵AD∥BQ，∴△ADP∽△QBP，∴DPBP∴DPBD-DP∴DP=13BD，OP=OD-DP=12BD-13BD=∴OPOA=OP④∵AB=2，BQ=2AB=4，∴AQ=AB∵APPQ∴AP=13AQ=2∴AFAP∴FPAP即S△POF=25S△AOP∵OPOA∴S△AOP=13S△AOD=13×14S正方形ABCD∴S△POF=25S△AOP=215，⑤设ED=x，EC=2-x，则DEEC=AD∴CQ=4-2xx∴AE=EC+CQ=2-x+4-2xx在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=AD∴4-x解得x=233或x=-∴AE=4+x∵AD∥BQ，∴∠DAE=∠BQA，∴sin∠DAE=sin∠BQA=DEAE∴AQ=2AB=4，∴⑤正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查正方形与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握正方形的性质与解直角三角形的方法．7．（2023·广东佛山·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，E为BC的中点，连接AE、DE，点P，点Q分别是AE、DE上的点，且PE=DQ．设△EPQ的面积为y，PE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（

A． B． C． D．【答案】A【分析】证明△ADE为等边三角形，再利用y=1【详解】解：∵BC=2，E为BC的中点，则BE=1，在Rt△ABE中，AE=3，BE=1，则同理可得ED=2=AE=AD，故△ADE为等边三角形，则∠AED=60°，∵PE=QD=x，则QE=2-x，在△PQE中，过点P作PH⊥ED于点H，则PH=PEsin则y=1该函数为开口向下的抛物线，x=1时，y的最大值为34故选：A．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，有一定的综合性，难度适中．8．（2023·广东广州·统考一模）如图，菱形ABCD中，∠B=60°,AB=2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由菱形的性质可证△ABC和△ADC都是等边三角形，可得AC=AB=2，∠BAC=60°=∠ACD，分两种情况讨论，由锐角三角函数和三角形的面积公式可求y与x之间函数关系，由二次函数的性质可求解．【详解】当0≤x≤2时，如图1，过点Q作QH⊥AB于点H，由题意得BP=AQ=x，∵菱形ABCD中，∠B=60°,AB=2，∴AB=BC=CD=AD=2,∠B=∠D=60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴AC=AB=2,∠BAC=∠ACD=60°，∵sin∴HQ=AQ⋅sin∴△APQ的面积y=1当2<x≤4时，如图2，过点Q作QN⊥AC于点N，由题意得AP=CQ=x-2，∵sin∴NQ=3∴△APQ的面积y=1该图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴2<x≤4时，y随x的增大而增大，∴当x=4时，y有最大值为3．故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．9．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针旋转60°到AB位置，且左边细管位置不变，则此时“U”形装置左边细管内水柱的高度约为（）A．4cm B．23cm C．3cm D．8cm【答案】A【分析】AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH＝x，竖直放置时短软管的底面积为S，易得AC＝2CH＝2x，细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，利用水的体积不变得到x•S+x•2S＝6•S+6•S，然后求出x后计算出AC即可．【详解】解：AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH＝x，竖直放置时短软管的底面积为S，∵∠BAH＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝2CH＝2x，∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，∵x•S+x•2S＝6•S+6•S，解得x＝4，∴CH＝x＝4，即此时“U”形装置左边细管内水柱的高度约为4cm．故选A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．10．（2023·山东烟台·统考一模）如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，且∠BAC=120°，BC=2．若在这个圆面上随意抛飞镖，则飞镖落在扇形ABC内的概率是()A．13 B．34 C．49【答案】C【分析】如图，连接AO，∠BAC＝120°，根据等腰三角形的性质得到AO⊥BC，∠BAO＝60°，解直角三角形得到AB＝233，由扇形的面积公式得到扇形ABC的面积＝【详解】如图，连接AO，∠BAC＝120°，∵AB＝AC，BO＝CO，∴AO⊥BC，∠BAO＝60°，∵BC＝2，∴BO＝1，∴AB＝BO÷cos30°=23∴扇形ABC的面积＝120⋅π×(∵⊙O的面积＝π，∴飞镖落在扇形ABC内的概率是4π9π=故选：C．【点睛】本题考查了几何概率，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，解直角三角形的运用，正确的识别图形是解题的关键．11．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=α，若BC=m，则AC的长为（

）．A．mcosα B．m⋅cosα C．【答案】D【分析】根据正切的定义列式计算，得到答案．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=∴AC=BC•tanB=m•tanα，故选：D．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．12．（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，点P在四边形ABCD上，若P到BD的距离为32，则点PA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与32【详解】解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，∵sin∠ABD=AEAB∴AE=AB•sin∠ABD=22•sin45°=22×22=2＞3所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为32的点2∵sin∠CDF=CFCD∴CF=CD•sin∠CDF=2×22=1＜3所以在边BC和CD上没有到BD的距离为32总之，P到BD的距离为32的点有2故选：B．【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．13．（2023·山东德州·校联考二模）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为(

)米A．43 B．65 C．125【答案】B【分析】根据斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度为12米，可得AE=12，BE=6，然后利用勾股定理求出AB的长度．【详解】解：如图,过B作BE⊥AD于点E，∵斜面坡度为1：2，AE=12，∴BE=6，在Rt△ABC中，AB=A故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．14．（2023·山西吕梁·统考二模）如图，AB与⊙O相切于点A，OB与⊙O交于点C，若∠D=∠B，AB=4．则OB的长度为（

）A．23 B．83 C．43【答案】D【分析】连接OA，根据切线的性质可得OA⊥AB，根据圆周角定理可得∠D=12∠AOB，由∠D=∠B，可得∠B=30°【详解】解：连接OA，∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∵AC∴∠D=1∵∠D=∠B，∴∠B=1∵∠AOB+∠B=90°，∴∠B=30°，∴OB=AB故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，求得∠B=30°是解题的关键．15．（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，已知AD＝4，AB＝43，∠C＝30°，连接BD，P为BD边上的一个动点．现让P点从B点出发沿着B→D（P不与点B重合）以1cm/s的速度运动，Q为折线BCD上一动点，现让Q点从B出发沿着折线BCD以3cm/s的速度运动当其中一个点到达终点时另一点也停止运动．则△PBQ与△BCD重合部分的面积S随时间t的变化关系的图象大致为（3≈1.7）（）A． B．C． D．【答案】B【分析】当点Q在BC上运动时，S=12×BQ×BPsin∠DBC=12【详解】解：AD=4，AB=43，则BD=83，则故∠DBC=60°，则∠BCD=90°，当点Q在BC上运动时，S=1当点Q在CD上运动时，如下图：则CQ=t-16，PQ=8-t，QD=16+83S===-故选：B．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．二、填空题16．（2023·上海杨浦·统考二模）如果人在一斜坡坡面上前行100米时，恰好在铅垂方向上上升了10米，那么该斜坡的坡度是_________．【答案】1：311．【分析】先求出这个人走的水平距离，再根据坡度的定义即可求解．【详解】由题意得：人在一斜坡坡面上前行100米时，恰好在铅垂方向上上升了10米，则这个人走的水平距离=1002∴坡度i=10：3011=1：311．17．（2023·浙江湖州·统考一模）如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图.已知长方体货厢的高度BC为2米，斜坡AB的坡度i＝13，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则BD＝【答案】310【分析】根据坡度可得到cos∠BAE=31010；再根据同角的余角相等，得出∠CBD=∠BAE；在Rt△CBD【详解】∵斜坡AB的坡度i＝13，即tan∠BAE=1∴cos∠BAE=310依题意可知，∠AEB=∠BDC=∠ABD=90°，∴∠BAE+∠ABE=90°，∠ABE+∠CBD=90°，∴∠CBD=∠BAE.在Rt△CBD中，BD=BC∙cos∠CBD=BC∙cos∠BAE=2×31010=3【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.18．（2023·山东济南·统考模拟预测）如图，将菱形纸片ABCD固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD＝45．如果随意投出一针命中菱形纸片，则命中矩形区域的概率是_____【答案】2【分析】根据题意可以分别求得矩形的面积和菱形的面积，从而可以解答本题．【详解】设CD＝5a，∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD＝45∴CF＝4a，DF＝3a，∴AF＝2a，∴命中矩形区域的概率4a⋅2a5a⋅4a＝2故答案为：25【点睛】本题考查几何概率、菱形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．19．（2023·四川达州·校考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，点P是线段AB上一动点．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，得到△A1B1C．点E是A1C上一点，且A1E＝2，则PE最大值为_____

．【答案】4【分析】由解直角三角形可得BC，由旋转的性质可得AC=A1C=4，可得CE=2，即点E在以C为圆心，CE为半径的圆上，则当点P与点B重合，且点E在PC的延长线上时，PE长度最大．【详解】解：∵∠C=90°，∠ABC=30°，AC=4，∴BC=AC∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，得到△A1B1C，∴AC=A1C=4，且A1E=2，∴CE=2，∴点E在以C为圆心，CE为半径的圆上，∴当点P与点B重合，且点E在PC的延长线上时，PE长度最大，∴PE最大值为：BC+CE=43故答案为：43【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，确定点E的轨迹是解决本题的关键．20．（2023·河北石家庄·统考二模）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC,OB交于点M，函数y=kx(x>0)的图象经过点A(3,4)和点M，与BC交于点N．则点M的坐标为_________，点N【答案】(6,2)3【分析】设C（t，0），先把A点坐标代入y=kx(x>0)得k＝12，所以反比例函数解析式为y=12x(x>0)；再根据平行四边形的性质和中点坐标公式得到把M（3+t2，2），代入解析式，则3+t2×2＝12，解方程求出t得到点M的坐标；设CE=3【详解】解：设C（t，0），∵函数y=kx(x>0)的图象经过点A（3∴k＝3×4＝12，∴反比例函数解析式为y=12∵M点为平行四边形ABCD的对角线的交点，∴M点为AC的中点，∵A（3，4），∴M（3+t2，2把M（3+t2，2）代入y=12x得3+t2解得t＝9，∴点M的坐标为（6，2）；∴B(12,4)，∴AB=9=OC．过点N作NE⊥x轴，∵AO∥BC，∵∠NCE=∠COA，∴tan设CE=3m，则CN=4m，∴点N(9+3m,4m)，∴(9+3m)⋅4m=12，解得m=-3+∴N9+3故答案是：（6，2）；9+3【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；然后解方程，求出待定系数，也考查了平行四边形的性质．21．（2023·四川成都·校考二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G为BC中点，以BG为边在BC右侧作正方形BEFG，直线AG，CE交于点P．现将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．（1）当旋转30°时，CE＝_____；（2）当正方形BEFG绕点B旋转一周时，点P经过的路径长为_____．【答案】27【分析】(1)延长CB,过点E作EH⊥CB,根据正方形的性质以及旋转的性质，得出∠EBH=60°，得到BH=1，HE=3,运用勾股定理求得CE(2)当正方形BEFG旋转到点C、F、E在一条直线上时，点P到达最高点，连接OC、OF，求出∠COF；当正方形BEFG旋转到点A、F、E在一条直线上时，点P到达最低点；连接OA、OF，求出∠AOF，求得点P运动弧所对圆心角，利用弧长公式l=nπr【详解】（1）解：如图，延长CB过点E作EH⊥CB,∴∠CBG=30°，∠GBE=90°，∴∠EBH=60°，∵AB＝4，点G为BC中点，∴BG=2，∴BH=1∴CH=5，∴HE=B在Rt△CHE中，∴CE=C故答案为：27（2）∵正方形ABCD，正方形BEFG，∴BA=BC,∠ABC=∠CBE,BG=BE，∴△ABG≅△CBE，∴∠BCE=∠BAG,∠AGB=∠BEC，∵∠AGB=∠CGP,∠AGB+∠BAG=90°，∴∠CGP+∠PCG=90°，∴∠GPC=90°，同理可证，正方形BEFG绕点B旋转过程中，存在∠GPC=90°，所以点P在以AC为直径的圆上运动，，∵AB=4，∴AC=42∴OA=OB=OC=1如图：当点A、F、E在同一直线上时，点P与点F重合，∵AB=4,BE=2，∴sin∠BAE=∴∠BAE=30°，∴∠OAF=∠BAE+∠OAB=75°，∴∠OFA=75°，∴∠AOF=30°，同理可得，当点C、F、E在同一直线上时，∠COF=30°，所以点P路径对应的圆心角是120°，l=120π•2故答案为：42【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是画出图形，作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理进行计算求解．解题时注意分类讨论思想的运用．22．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，AB=AD，点E在CD上，点F在CB延长线上，∠EAF=∠BAD=120°，若DE=3，cos∠F=277【答案】9【分析】连接AC，过点E作EH⊥AC，交AC于点H.，首先证明平行四边形ABCD为菱形，然后证明ΔACD为等边三角形，△ACB为等边三角形，得到∠EAC=∠F，设EC=2a，通过∠ECA=60°，EC=2a，AC=2a+3，tan∠EAC=32，求出【详解】如图，连接AC，过点E作EH⊥AC，交AC于点H.∵AB=AD∴平行四边形ABCD为菱形，∵∠DAB=∠EAF=120°，∴∠DAC=∠BAC=60°，∠DAE=∠BAF，∴ΔACD为等边三角形，△ACB为等边三角形，∴∠DAC=∠F=60°，∵∠DAE+∠EAC=∠BAF+∠F=60°，∴∠EAC=∠F，∴cos∠EAC=设AH=2k，则AE=7k，∴tan∠EAC=设EC=2a，∵DE=3∴AC=CD=2a+3，∵∠ECA=60°，∴∠CEH=30°，∴CH=a,EH=∵tan∠EAC=∴AH=2a，∵DC=AC,∴2a+3=3a，∴a=3，∴BC=CD=2a+3=9.故答案为：9.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，锐角三角函数，主要考查学生的推理能力．23．（2023·广西南宁·统考一模）如图，小颖利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离为6m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距离地面的高度），那么这棵树的高度为________m．（结果保留根式）【答案】23+1.5【详解】试题分析：在直角△ACD中，∠CAD=30°，AD=6m，可得CD=ADtan30°=6×33=23，因此CE=CD+DE=23+1.5m考点：解直角三角形24．（2023·河南许昌·统考二模）如图，已知▱ABCD中，AB＝16，AD＝10，sinA＝35，点M为AB边上一动点，过点M作MN⊥AB，交AD边于点N，将∠A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处，当△CDE为直角三角形时，AM的长为_____【答案】4或8﹣7【分析】①当∠CDE＝90°，如图1，根据折叠的性质得到MN⊥AB，AM＝EM，得到AN＝DN＝12AD＝5，设MN＝3x，AN＝5x＝5，于是得到AM＝4；②当∠DEC＝90°，如图2，过D作DH⊥AB于H，根据相似三角形的性质得到DEHE=CDDE，由sinA＝35，AD＝10，得到DH＝6，AH＝8，设HE＝x，根据勾股定理求出【详解】当△CDE为直角三角形时，①当∠CDE＝90°，如图1，∵在▱ABCD中，AB∥CD，∴DE⊥AB，∵将∠A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处，∴MN⊥AB，AM＝EM，∴MN∥DE，∴AN＝DN＝12AD＝5∵sinA＝MNAN∴设MN＝3x，AN＝5x＝5，∴MN＝3，∴AM＝4；②当∠DEC＝90°，如图2，过D作DH⊥AB于H，∵AB∥CD，∴∠HDC＝90°，∴∠HDC+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠HDE＝∠DCE，∴△DHE∽△CED，∴DEHE∵sinA＝35，AD＝10∴DH＝6，∴AH＝8，设HE＝x，∴DE＝16x=4∵DH2+HE2＝DE2，∴62+x2＝16x，∴x＝8﹣27，x＝8+27(不合题意舍去)，∴AE＝AH+HE＝16﹣27，∴AM＝12AE＝8﹣7综上所述，AM的长为4或8﹣7，故答案为4或8﹣7．【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25．（2023·陕西西安·校考二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35【答案】4【分析】根据题意设BC=3x，则AB=5x，得出AC=4x，再利用正切的定义求解即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sin设BC=3x，则AB=5x，∴AC=A∴tan

故答案为：43【点睛】本题考查了一个锐角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义．三、解答题26．（2023·广东梅州·校考模拟预测）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4km至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．【答案】26【分析】过B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长．【详解】解：过B作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠BAD=4×32=2∵△BCD中，∠CBD=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD=BD=23∴BC=2BD=26答：B，C两地的距离是26【点睛】此题考查了方向角问题和解直角三角形的应用．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．27．（2023·四川·统考一模）如图，一条河的某一段两岸平行，为了测量该段河两岸之间的距离，测量人员在河的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C，现测得∠α＝37°，（1）求这条河在该段的两岸之间的距离．（2）若想在AC之间架一钢丝缆绳，那么缆绳最少需要多少米？（参考值：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53∘≈4【答案】（1）24米；（2）30米【分析】（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，则AD的长即为两岸之间的距离,利用三角函数得出含AD的BD与CD的代数式，根据BD-CD=BC=14得出AD的值；（2）根据（1）中得出的AD的值根据三角函数算出AC的长度即可.【详解】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，则AD的长即为两岸之间的距离．在Rt△ABD中，tan∠ABD＝∴BD＝在Rt△ACD中，tan∠ACD＝∴CD＝又∵BC＝∴AD＝24，即这条河在该段的两岸之间的距离为（2）在Rt△ACD中，sin∠ACD＝解得：AC≈30．答：钢丝缆绳最少需要30米．【点睛】本题主要考查三角函数在实际问题中的应用，关键是把BD、CD都表示成AD的代数式.28．（2023·广东汕头·模拟预测）如图，一楼房AB后有一假山，CD的坡度为i=1:2，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山脚与楼房水平距离BC=24米，与亭子距离CE=85米，小丽从楼房房顶测得E的俯角为45°(1)求点E到水平地面的距离；(2)求楼房AB的高．【答案】(1)8米(2)48米【分析】（1）过点E作EF⊥BC的延长线于F，根据CD的坡度为i=1:2得CF=2EF，再由勾股定理可得EF=8米，CF=16米；（2）过E作EH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质求出AH的长，进而可得AB的长．【详解】（1）解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，在Rt△CEF∵CD的坡度为i=1:2，CE=85∴i=EF∴CF=2EF，∵EF∴EF∴EF=8（米），CF=16（米），答：点E到水平地面的距离为8米；（2）过E作EH⊥AB于点H，则BH=EF=8米，由题意得：HE=BF=BC+CF=24+16=40（米），在Rt△AHE中，∠HAE=45°∴△AHE是等腰直角三角形，∴AH=HE=40（米），∴AB=AH+HB=40+8=48（米）．答：楼房AB的高为48米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．29．（2023·浙江温州·温州绣山中学校考三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E是AB上一点，点D关于CE的对称点F恰好落在DA的延长线上，连结CF．（1）求证：∠BAD＝∠ECF．（2）若tan∠BAD＝23，AF＝9，求⊙O【答案】（1）见解析；（2）13【分析】（1）连接BD，则∠ADB=90°，再根据轴对称的性质，可得∠ECF=∠DCE，DF⊥CE，即可求解；（2）设BD=2x，AD=3x，根据三角函数关系求得x，再根据勾股定理求得AB即可求解．【详解】解：（1）连接BD，如下图：∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°，即DB⊥DF∵点D与点F关于CE的对称∴DF⊥CE，∠ECF=∠DCE∴CE//DB∴∠DCE=∠BDC∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB∴BC∴∠BDC=∠BAD∴∠ECF=∠BAD（2）设AD与CE的交点为M，CD与AB的交点为N，如下图：设BD=2x，∵tan∠BAD＝∴AD=3x，DF=9+3x由题意可得：DM=由（1）得∠ADB=∠BND=90°∴∠BDN=∠DAB∴tan∠BDN=2根据三角函数关系sin可得sin∠BDN=2∴DN=BD×由（1）得：CD=2DN=1213∴sin∠DCE=即9+3x212∴BD=26,AD=39由勾股定理得：AB=∴OA=12【点睛】此题考查了圆的有关性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．30．（2023·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°至24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度得桌面．新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根长度一定且C处固定，可旋转的支撑臂CD，AD=30cm．（1）如图2，当∠BAC=24∘时，CD⊥AB，求支撑臂（2）如图3，当∠BAC=12∘时，求（参考数据：sin24∘≈0.40，cos24∘【答案】（1）12cm；（2）126+63或126−63．【分析】（1）利用锐角三角函数关系得出sin24°=CDAC（2）利用锐角三角函数关系得出sin12°=CEAC=CE30，再由勾股定理求出【详解】解：（1）∵∠BAC=24°，CD⊥AB，∴sin∴CD=ACsin∴支撑臂CD的长为12cm（2）如图，过点C作CE⊥AB，于点E，当∠BAC=12°时，∴sin∴CE=30sin∵CD=12，∴由勾股定理得：DE=CD2-C∴AD的长为(126+63)cm或(126−63)cm【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数关系是解题关键．31．（2023·北京房山·统考二模）如图，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BA延长线上一点，连接DC，点E和点B关于直线DC对称，连接BE交AC于点F，连接EC,ED,DF

(1)依题意补全图形，并求∠DEC(2)用等式表示线段EC,ED和CF之间的数量关系，并证明．【答案】(1)图见解析，45°(2)ED+CF=2【分析】（1）根据题意补全图形，连接CB，根据等腰直角三角形的性质及轴对称的性质，全等三角形的判定和性质求解即可；（2）根据轴对称的性质得出∠CHF=90°=∠BAC【详解】（1）解：补全图形，如图所示：

连接CB，∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠ABC=45°∵点E和点B关于直线DC对称∴EC=BC∵DC=DC∴△EDC≅△BDC(SSS∴∠DEC=∠

（2）ED+CF=2EC∵点E、B关于直线CD对称∴EB⊥CD，设垂足为H则∠∵∠

∴∠1=∠2∵AC=AB∴△DAC≅△FAB∴AD=AF∴ED=BD=AD+AB=AF+AC=AC-CF+AC=2AC-CF∵AC=∴ED=2×即ED+CF=2【点睛】题目主要考查轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．32．（2023·江苏盐城·校联考一模）某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度i=1：2，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）【答案】3+23【分析】过点A作AF⊥DE于点F，设DF=x，在Rt△ADF中，由∠DAF=30°可得：AF=3x；在Rt△ABC中，由AC的坡度为1:2，AB=2得到BC=4；在Rt△CDE中，由∠DCE=60°，DF=x+2可得CE=33(x+2)；最后由BE=BC+CE=AF建立方程，解方程即可求得x的值，从而可求得树DE的高度【详解】过点A作AF⊥DE于点F，设DF=x.在Rt△ADF中，∵∠DAF=30°，tan∠DAF=DFAF∴AF=3x;∵AC的坡度i=ABBC=1：2∴BC=4；∵AB⊥BC，DE⊥CE，AF⊥DE，∴四边形ABEF为矩形，∴EF=AB=2，BE=AF，∴DE=DF+EF=x+2，∵在Rt△DCE中，tan∠DCE=DECE，∠DCE=60°∴CE=33∵EB=BC+CE=4+33(x+2)∴4+33(x+2)=3x∴解得：x=1+23∴DE=DF+EF=3+即树的高度DE长为：(3+2333．（2023·上海闵行·校联考一模）如图，已知一个抛物线经过A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1）三点．（1）求这个抛物线的表达式及其顶点D的坐标；（2）联结AB、BC、CA，求tan∠ABC的值；（3）如果点E在该抛物线的对称轴上，且以点A、B、C、E为顶点的四边形是梯形，直接写出点E的坐标．【答案】（1）y＝x2+x+1，顶点D的坐标（﹣12，34）；（2）tan∠ABC＝13；（3）点E的坐标为（﹣12，3）或（﹣12，2【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将A（0，1）、B（1，3）、C（﹣1，1）代入，求a、b、c的值，可得结果；（2）如图，过点B作BF⊥x轴于F，延长CA交BF于点D，过点A作AM⊥BC于M，通过勾股定理和等腰直角三角形的性质可求AM和BM的长，即可求解；（3）分三种情况讨论，由梯形