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文档简介
布洛赫定理和布洛赫函数
布洛赫证明:满足(8)、(9)方程的波函数的解,必具备如下形式:(10)其中:(11)即满足方程(8)的波函数必拥有(10)形式的解,该结论叫布洛赫定理。具有方程(10)形式的波函数成为布洛赫函数。布洛赫定理和布洛赫函数布洛赫函数的意义a.晶体中电子的波函数与自由电子的波函数形式相似。反映出了晶体中电子的波函数实际上相当于一被调幅的自由电子波。且uk(x)=uk(x+a)
b.在空间某点找到电子的概率与波函数的强度成比例。在晶体中找到电子的概率是周期性变化的。反映出电子共有化运动的特征。
|Ψ|2=ΨkΨk*=uk(x)uk*(x)c.与自由电子中的波函数一样,波矢k描述晶体中电子的共有化运动状态。注意:晶体中电子波函数K取值非连续.只要晶体边界确定,电子波函数的k值即可被确定,与其它参量无关。能带形成的另一种情况硅、锗外壳层有4个价电子,形成晶体时,产生SP杂化轨道。原子间可能先进行轨道杂化(形成成键态和反键态),再分裂成能带。原子能级
反成键态
成键态
当原子数很大时,导带、价带内能级密度很大,可以认为能级准连续。
存在轨道杂化,失去能带与孤立原子能级的对应关系。杂化后能带重新分开为上能带和下能带,上能带称为导带,下能带称为价带。
低温下,价带填满电子,导带全空,高温下价带中的一部分电子跃迁到导带,使晶体呈现弱导电性。
导带与价带间的能隙(Energygap)称为禁带(forbiddenband).禁带宽度取决于晶体种类、晶体结构及温度。电子先填充低能级,下面一个能带填满了(满带),再填上面的能带。下面一个能带称为满带。上面的带通常是空的,称为导带。价电子形成的能带为上、下两个能带,中间为禁带。上、下两个能带分别包含2n个状态,可容纳4n个电子。上述分析优点:注意到孤立原子和晶体内原子的相同之处,可用于定性分析能带的形成原因。上述分析不足:忽略了两者最重要区别:前者电子是在单势场中的运动;后者是在周期性势场中的运动。晶体中运动的电子:在周期性势场中运动自由电子:处于零势场中运动。运动具有相似之处。差别:自由电子的势场为零。本节从薛定谔方程出发,可获得它们E(k)~k关系图,并作简单比较。单电子近似模型:晶体中的某个电子在周期性排列的且固定不动、以及其他大量电子的平均势场中运动。周期与晶格周期相同。
自由电子具有波粒二象性。假设某电子质量为m0,速度为v,则:
1.粒子性的描述(经典物理学):
自由电子的能带特点:能量连续变化动量方程:p=m0v(1)能量方程:E=½|p|2/m0
(2)总能量:动能+势能2.波动性的描述
特点:能量不连续变化其中k
为波矢,大小等于波长倒数1/λ
,方向与波面法线平行,即波的传播方向。得能量:E=hν
(4)动量:p=hk(5)
德布罗依波函数的基本形式Ψ(r,t)=Aexp[i2π(k·r–vt)](3)由于无边界条件限制,故k取值可连续变化。即:与经典物理(粒子性)得出相同结论。(6)对自由电子,势能为零,故薛定谔方程为:将方程(6)代入(1)、(2)得v=hk/m0(5)
E=h2k2/2m0
(6)自由电子能带图特点:a.自由电子E(k)和k之间呈抛物线变化关系;b.K与E存在一一对应关系。c.K取值无限制,可连续变化,从0到无穷大的值都可以,因此自由电子的能谱是连续能谱。波动性与粒子性描述的对应关系:自由电子的E与K关系晶体中的电子状态1.晶体中电子的薛定谔方程
a、晶体中存在有周期性势场:
V(x)=
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