1.1.1 绝对值-2024年初升高数学无忧衔接

第第页第1.1章数与式 1.1.1绝对值初中要求1.借助数轴理解绝对值的意义，掌握求绝对值的方法，知道|a|的含义(这里a表示有理数)高中要求1会求含绝对值的方程与不等式；2理解含绝对值的函数.1.绝对值的概念在数轴上，一个数所对的点与原点的距离叫做该数的绝对值.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即|a|=2.绝对值的性质(1)a≥0，a≥a，(2)a=b⇔a=b(3)a2=|​a(4)三角不等式：a+b≤a+|b|，当且仅当a，b3.解含绝对值的不等式|x|<a(a>0)的解集是−a<x<a．|x|>a(a>0)的解集是x<−a或【题型1】绝对值的几何意义【典题1】若x−y−22+2x+y−3=0，则x=解析依题意可得，x−y−2=02x+y−3=0，解得x=53【典题2】同学们都知道，|7-(-4)|表示7与-4之差的绝对值，实际上也可理解为7与-4两数在数轴上所对的两点之间的距离．|7-4|也可理解为7与4两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：

(1)求|7−(−4)|=．

(2)找出所有符合条件的整数x，使得|x−(−6)|+|x−2|=8这样的整数是．

(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x−1|+|x−5|是否有最小值？如果有写出最小值请尝试说明理由．如果没有也要请尝试说明理由．解析(1)|7-(-4)|=11；故答案是：11；

(2)式子|x−(−6)|+|x−2|=8可理解为：在数轴上，某点到-6所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为8，

所以满足条件的整数x可为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，

故答案为：-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2．

(3)有最小值．最小值为4，

理由是：∵|x−1|+|x−5|理解为，在数轴上表示x到1和5的距离之和，

∴当x在1与5间的线段上(即1≤x≤5)时：

变式练习1.若x+y−2与|x−y−4|互为相反数，则2x−y=.答案7解析依题意得x+y−2=0x−y−4=0，解得x=3y=−1，则2.a、b、c三个数在数轴上位置如图所示，且|a|=|b|

(1)求出a、b、c各数的绝对值；

(2)比较a，−a、−c的大小；

(3)化简|a+b|+|a−b|+|a+c|+|b−c|．答案(1)-c(2)-a＜a＜-c(3)-2c解析(1)∵从数轴可知：c＜b＜0＜a，∴|a|=a，|b|=−b，|c|=−c；

(2)∵从数轴可知：c＜b＜0＜a，|c|＞|a|，∴−a＜a＜−c；

(3)根据题意得：a+b=0，a−b＞0，a+c＜0，b−c＞0，3.设a=|x+1|，b=|x−1|，c=|x+3|，求a+2b+c的最小值。答案6解析|x+1|+2|x-1|+|x+3|表示x到-1、-3的距离以及到1的距离的2倍之和，

所以当x在-1和1之间时，它们的距离之和最小，

此时a+2b+c=6；

故答案为：6．【题型2】解含绝对值的方程【典题1】解方程：2x−1=x+1解析当x≥12时，方程可化为2x−1=x+1，解得当x<12时，方程可化为1−2x=x+1，解得综上，原方程的解为x=2或x=0.【典题2】方程x2−3|x|+2=0A.1B.2C.3D.4解析当x≥0时，方程化为x2−3x+2=0，解得x=1或x=2，均符合当x<0时，方程化为x2+3x+2=0，解得x=−1或x=−2，均符合故方程的解是x=1，x=2，x=−1或x=−2，有4个解，故选变式练习1.解方程：x−3=2答案x=5或x=1解析当x≥3时，方程可化为x−3=2，解得x=5>3；(注意解x=5要检验是否符合前提x≥3)当x<3时，方程可化为3−x=2，解得x=1<3；综上，原方程的解为x=5或x=1.2.解方程：2x−1=x+1答案x=2或x=0解析当x≥12时，方程可化为2x−1=x+1，解得当x<12时，方程可化为1−2x=x+1，解得综上，原方程的解为x=2或x=0.3.解方程：x−1+解析当x≥1时，方程化为x−1+x+2=5，解得x=2>1，符合条件；(注意解x=2要检验是否符合前提x≥1)当−2<x<1时，方程化为1−x+x+2≠5，无解；当x≤−2时，方程化为1−x−x−2=5，解得x=−3<−2，符合条件；综上，原方程的解为x=2或x=−3.【题型3】解含绝对值的不等式【典题1】解不等式3x+1解析由−2<3x+1<2解得−1<x<13【典题2】解不等式2x−1<x+2解析不等式可化为2x−1≥02x−1<x+2或2x−1<01−2x<x+2，解得12故不等式的解集是{x|−1【典题3】解不等式x−1>|x+2|解析两边平方得，x−12∴x−12>x+22故不等式的解集是{x|x<−1变式练习1.不等式x−2<3的解集是解析当x≥2时，则不等式可化为x−2<3，解得x<5，又x≥2，∴2≤x<5；当x<2时，则不等式可化为2−x<3，解得x>−1，又x<2，∴−1<x<2；(此处解题过程采取x≥2x−2<3或x<2综上，可得不等式的解集是{x|−1<x<5}.2.若关于x的不等式kx−1≤5的解集是−3≤x≤2，则k的值是答案−2解析kx−1≤5⇒−5≤kx−1≤5⇒−4≤kx≤6由于解集是−3≤x≤2，所以k=−2.3.解不等式x−1<x+2解析不等式可化为x−1≥0x−1<x+2或x−1<01−x<x+2，解得x≥1或故不等式的解集是{x|x>−1【题型4】含绝对值的函数对于自变量x不同的取值范围有不同的解析式，这样的函数叫做分段函数.比如狄利克雷函数函数y=【典题1】画y=x+1解析y=x+1y=x+1+2x−3变式练习1.对于任意实数x，若不等式|x+1|−|x−2|>k恒成立，则k的取值范围是.答案k≤−3.解析|x+1|−|x−2|表示x与−1，2对应点的距离之差，画数轴易得当x≥2时，其值等于3；当x≤−1时，其值等于−3；当−1<x<2时，其值在−3和3之间；则|x+1|−|x−2|的最小值是−3，故k≤−3.1.下列叙述正确的是()A.若a=b，则a=bC.若a<b，则a<b答案D解析当a=2，b=−2时A错误；当a=−3，b=2时B错误；当a=0，2.以下不等式中，与不等式1−xA.1−x≤±3C.−3≤1−x≤3答案D3.方程x2−2A.1B.2C.3D.4答案B解析当x≥0时，方程化为x2−2x−3=0，解得x=−1(舍去)或当x<0时，方程化为x2+2x−3=0，有一个正根一个负根，故方程的解是2个解，故选B.4.a，b，c是∆ABC的三边，化简a+b−c+a−b−c=答案2b解析a+b−c+5.计算a|a|+b|b|+答案0或±4解析当a、b、c、中有一个数为负数时，其值为0；当a、b、c、中有两个数为负数时，其值为0；当a、b、c、中三个数都为负数时，其值为−4；当a、b、c、中三个数都为正数时，其值为4.综上所述，答案为：0或±4．6.当x=x+2时，则代数式2x答案−10解析当x≥0时，x=x+2，方程无解；当x<0，−x=x+2，解得则2x7.方程|x−4|+x−4=0的解的个数是个.答案无数解析当x≥4时，方程化为x−4+x−4=0，解得x=4，符合；当x<4时，方程化为4−x+x−4=0⇒0=0，该方程有无数个解；故方程的解是x≤4，有无数个.8.不等式x−1>2的解集是答案{x|x>3解析x−1>2⇒x−1>2或x−1<−2⇒x>3或x<−1故不等式的解集是{x|x>39.解方程：x−1+答案x=53解析当x≥1时，方程化为x−1+2x+1=5，解得x=5当−12<x<1时，方程化为1−x+2x+1=5，解得x=3当x≤−12时，方程化为1−x−2x−1=5，解得综上，原方程的解为x=53或10.解不等式：|x−1|+|x−3|>4．答案{x|x<0或x>4}解析由x−1=0，得x=1；由x−3=0，得x=3；①若x<1，不等式可变为−(x−1)−(x−3)>4，即−2x+4>4>4，解得x<0，又x<1，∴x<0②若1≤x<3，不等式可变为(x−1)−(x−3)>4，即1>4，∴不存在满足条件的x；③若x≥3，不等式可变为(x−1)+(x−3)>4，即2x−4>4，解得x>4．又x≥3，∴x>4．综上所述，原不等式的解集为{x|x<0或x>4}．11.画出分段函数y=x+2解析y=x+2由图可知函数y=x+2+x−3的最小值为512.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示-3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|．

(2)如果|x+1|=3，那么x=；

(3)若|a-3|=2，|b+2|=1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．

(4)若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2|=．答案(1)3，5；(2)2或-4(3)8，2(4)6．

解析(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4-1=3；表示-3和2两点之间的距离是：2-(-3)=5，故答案为：3，5；

(2)|x+1|=3，

x+1=3