专题03 列方程解应用题-2024年小升初数学无忧衔接 （解析版）

第第页专题03列方程解应用题小学的应用题大多都可以用算术法来解题，所谓“算术法”就是指一个全部由数字和符号构成的式子，因为计算简便，成了小学六年来学生们解题的“主菜”，即使小学里学习了方程，但也只能算是“配菜”而已。究其原因不过两种：其一先入为主（大家都是先学的算术法再学的方程法解应用）；其二是小学老师为了学生尽可能多得分有意无意的希望学生多用算术法。可进入初中后就不同了：自从初一上学期详细的学习了一元一次方程后，渐渐的，凡是应用题第一反应就是设未知数列方程，而对原先的“算术法”没什么印象了。这是因为用算术法来解应用题大多要用逆向思维，而方程所用的大多是正向思维，两者孰轻孰重一目了然。为了让学生后续方程的学习，可以引导学生理解：列方程过程中，重要的是未知数要参与运算，用等量关系列出方程。引导学生思维方式从算术思维逐步向代数思维转变，无疑是中小学数学教学衔接的重要内容。小学解方程，都按四则运算的各部分之间的关系来解，现在（初中）都是按等式的性质解方程。可以肯定的说，用等式的性质解方程，是解方程的正途。加强这一方面的教学，目的就是要有利于学生初中阶段能更好的学习稍复杂的方程。1．列方程解应用题（1）列方程解应用题的优点。先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。（2）列方程解应用题一般步骤。列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：（1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的关系，找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．2．常见的数量关系1）公式形数量关系生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。长方形面积=长×宽长方形周长=2（长+宽）正方形面积=边长×边长正方形周长=4边长2）约定型数量关系利息问题、利润问题、质量分数问题、比例尺问题、折扣等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。3）基本数量关系在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。单价×数量=总价速度×时间=路程工作效率×时间=总工作量现价÷原价＝折数3．分析数量关系的常用方法1）直译法分析数量关系将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出等量关系，翻译成含有未知数的等式。2）列表分析数量关系当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。3）图解法分析数量关系用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。考点1、行程问题（相遇与追击问题）【解题技巧】行程问题总公式：路程=速度×时间。不同类型问题，在求解速度时有所不同，具体如下：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．例1．（2022·山西浑源·初一期末）综合与实践：甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千米/时；快车开出30分钟时，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米/时．设慢车行驶的时间为x小时，快车到达乙地后停止行驶，根据题意解答下列问题：（1）当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；（2）当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程；（3）①在慢车从乙地开往甲地的过程中，直接写出快慢两车之间的距离；（用含x的代数式表示）②若第二列快车也从甲地出发匀速驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，第二列快车与慢车相遇，直接写出第二列快车比第一列快车晚出发多少小时．【答案】（1）4小时（2）360千米或720千米（3）①0≤x＜4时，840﹣210x；4≤x＜7时，210x﹣840；7≤x≤10时，90x②小时【分析】（1）设慢车行驶的时间为x小时，根据相遇时，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900，依此列出方程，求解即可；（2）当两车之间的距离为315千米时，分三种情况：①两车相遇前相距315千米，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900-315；②两车相遇后相距315千米，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900+315；③当快车到达乙地时，快车行驶了7.5小时，慢车行驶了7小时，7×90=630＞315，此种情况不存在；（3）①分三种情况：慢车与快车相遇前；慢车与快车相遇后；快车到达乙地时；②在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，慢车行驶的时间为4+=小时，快车慢车行驶的时间为4++=5小时．设第二列快车行驶y小时与慢车相遇，根据相遇时，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900，求出y的值，进而求解即可．【解析】解：（1）设慢车行驶的时间为x小时，由题意得120（x＋）＋90x＝900，解得x＝4．答：当快车与慢车相遇时，慢车行驶了4小时．（2）当两车之间的距离为315千米时，有两种情况：①两车相遇前相距315千米，此时120（x＋）＋90x＝900﹣315，解得x＝2.5．120（x＋）＝360（千米）；②两车相遇后相距315千米，此时120（x＋）＋90x＝900＋315，解得x＝5.5．120（x＋）＝720（千米）；③当快车到达乙地时，快车行驶了7.5小时，慢车行驶了7小时，7×90＝630＞315，此种情况不存在．答：当两车之间的距离为315千米时，快车所行的路程为360千米或720千米；（3）①当慢车与快车相遇前，即0≤x＜4时，两车的距离为900﹣120（x＋）﹣90x＝840﹣210x；当慢车与快车相遇后，快车到达乙地前，即4≤x＜7时，两车的距离为120（x＋）＋90x﹣900＝210x﹣840；当快车到达乙地时，即7≤x≤10时，两车的距离为90x；②第二列快车比第一列快车晚出发小时．在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，慢车行驶的时间为4＋＝小时，快车行驶的时间为4＋＋＝5小时．设第二列快车行驶y小时与慢车相遇，由题意，得120y＋×90＝900，解得y＝4．5﹣4＝（小时）．答：第二列快车比第一列快车晚出发小时．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．例2．（2022·广东郁南·初一期末）某中学学生步行到郊外旅行，七年级班学生组成前队，步行速度为4千米小时，七班的学生组成后队，速度为6千米小时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米小时．后队追上前队需要多长时间？后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？七年级班出发多少小时后两队相距2千米？【答案】（1）后队追上前队需要2小时；（2）联络员走的路程是20千米；（3）七年级班出发小时或2小时或4小时后，两队相距2千米【分析】(1)设后队追上前队需要x小时，由后队走的路程=前队先走的路程+前队后来走的路程，列出方程，求解即可；(2)由路程=速度×时间可求联络员走的路程；(3)分三种情况讨论，列出方程求解即可．【解析】设后队追上前队需要x小时，根据题意得：，答：后队追上前队需要2小时；千米，答：联络员走的路程是20千米；设七年级班出发t小时后，两队相距2千米，当七年级班没有出发时，，当七年级班出发，但没有追上七年级班时，，，当七年级班追上七年级班后，，，答：七年级班出发小时或2小时或4小时后，两队相距2千米．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分类讨论的思想，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．变式1．（2022·仁寿县七年级期中）甲在乙后12千米处，甲的速度为7千米/小时，乙的速度为5千米/小时，现两人同向同时出发，那么甲从出发到刚好追上乙所需要时间是(

)A．5小时 B．1小时 C．6小时 D．2.4小时【答案】C【分析】设甲从出发到刚好追上乙所需要时间x小时，可得7x-5x=12，即可解得答案．【详解】解：设甲从出发到刚好追上乙所需要时间x小时，根据题意得：7x-5x=12，解得x=6，答：甲从出发到刚好追上乙所需要时间是6小时．故选：C．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，掌握追击问题的等量关系列方程．变式2．（2022·广东七年级期末）已知A、B两站间的距离为480千米，一列慢车从A站出发，一列快车从B站出发，慢车的平均速度为60千米/时，快车的平均速度为100千米/时，如果两车同时出发，慢车在前，快车在后，同向而行，那么出发后________小时两车相距80千米．【答案】10或14【分析】可设出发后x小时两车相距80千米，分两种情况：两车相距80千米时慢车在前；两车相距80千米时快车在前列方程，解方程即可求解．【详解】解：设出发后x小时两车相距80千米，当慢车在前时，100x﹣60x＝480﹣80，解得x＝10，当快车在前时，100x﹣60x＝480+80，解得x＝14，答：出发后10小时或14小时两车相距80千米，故答案为：10或14．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，涉及路程问题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．变式3．（2022·河南·南阳市第九中学校七年级阶段练习）小莉和同学在“五一”假期去森林公园玩，在溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上，划行速度8千米/时．到B地后沿原路返回，速度增加50%，回到A码头比去时少花了20分钟．求A、B两地之间的路程．【答案】8千米【分析】设A、B两地之间的路程为x千米，根据等量关系式：回到A码头比去时少花了20分钟列出方程，解方程即可．【详解】解：设A、B两地之间的路程为x千米，依题意得：，解得：x＝8．答：A、B两地之间的路程为8千米．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．变式4．（2022·黑龙江·大庆市期末）甲乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的80%，乙车超过中点13千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A、B两城相距多少千米？【答案】千米【分析】设A、B两城相距x千米，根据“经过4小时，甲车行了全程的80%，乙车超过中点13千米，甲车比乙车每小时多行3千米”，列出一元一次方程即可求解．【详解】解：设A、B两城相距x千米x=答：两城相距千米．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．考点2、航行问题与火车过桥问题【解题技巧】行程问题总公式：路程=速度×时间。不同类型问题，在求解速度时有所不同，具体如下：航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．例1．（2022·哈尔滨七年级期中）一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时．若水流速度是3千米/时，则甲、乙两码头之间的距离是_____千米．【答案】60【分析】设船在静水中的速度为x千米/小时，根据顺流速度＝静水速度+水流速度逆流速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程，求出方程的解即可；根据求出的船在静水中的速度，再根据路程＝顺流的时间×顺流的速度，列出算式，进行计算即可．【详解】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，根据题意得：（x+3）×2＝（x﹣3）×2.5，解得：x＝27，即：船在静水中的速度是27千米/小时，（27+3）×2＝60（千米）；故答案是：60．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系进行求解．例2．（2022·四川广元·七年级期末）已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．【答案】200【分析】设这列火车的长为x米，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：设这列火车的长为x米，根据题意得，，解得，∴这列火车的长为200米．故答案为：200【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．变式1．（2022·湖北七年级期末）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2h，船在静水中的速度为26km/h，水速为2km/h．设A港和B港相距xkm．根据题意，列出的方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设A港和B港相距x千米，根据行船问题公式可知，顺水速度较快，所用时间较少，所以利用行程问题公式，列方程为：，变形为：，据此选择．【详解】解：设A港和B港相距x千米，，变形为：∴方程为：故选B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．变式2．（2022·天津和平·七年级期末）某中学学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4.5千米．一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒．如果队伍长150米，那么火车长（）A．150米 B．215米 C．265米 D．310米【答案】C【分析】先将12秒化为小时，设火车长x千米，然后根据学生行驶的路程+火车的路程＝火车的长度+学生队伍的长度列方程求解即可，注意单位换算．【详解】解：12秒＝小时，150米＝0.15千米，设火车长x千米，根据题意得：×(4.5+120)＝x+0.15，解得：x＝0.265，0.265千米＝265米．答：火车长265米．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是理解题意，找到正确的等量关系．考点3、工程问题【解题技巧】我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。例1．（2022·河南南阳·七年级期中）某厂接到一所中学的冬季校服定做任务，计划用、两台大型设备进行加工，如果单独用型设备，需要45天做完；如果单独用型设备，需要30天做完；为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制．(1)填空：型设备的工作效率是_________，型设备的工作效率是_________；(2)若两台设备同时加工10天后，型设备出了故障，暂时不能工作，如果由型设备单独完成剩下的任务，则还需要多少天？【答案】(1)，(2)20天【分析】（1）利用工作效率工作总量工作时间，可得出，两台设备的工作效率；（2）先设还需要天完成，利用型设备完成的工作量型设备完成的工作量总工作量，即可得出关于的一元一次方程，求解即可．（1）解：如果单独用型设备，需要45天做完；如果单独用型设备，需要30天做完，型设备的工作效率是这批冬季校服数量的，型设备的工作效率是这批冬季校服数量的．故答案为：；．（2）解：设还需要天完成，依题意得：，解得：．答：还需要20天完成．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程求解．例2．（2022·哈尔滨开学考试）某小区建完之后，需要做内墙粉刷装饰，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷个房间，乙工程队每天能粉刷个房间．且单独粉刷这些墙面甲工程队比乙工程队要多用天，在粉刷的过程中，该开发商要付甲工程队每天费用元，付乙工程队每天费用元．（1）求这个小区共有多少间房间？（2）为了尽快完成这项工程，若先由甲、乙两个工程队按原粉刷速度合作一段时间后，甲工程队停工了，而乙工程队每天的粉刷速度提高乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的倍还多天，求乙工程队共粉刷多少天？（3）经开发商研究制定如下方案:方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（3）问方式完成；请你通过计算帮开发商选择一种既省时又省钱的粉刷方案．【答案】（1）间；（2）天；（3）选择方案三既省时又省钱．【分析】（1）设乙队要刷天，利用甲乙粉刷的房间数一样列方程求解，从而可得答案；（2）设甲工程队粉刷天，则乙工程队粉刷天，利用各部分的工作量之和等于总工作量列方程，从而解方程可得答案；（3）先分别计算三种方案的完成工作的工作时间，分别计算出三种情况下的费用，比较以后可得结论．【解析】解：（1）设乙队要刷天，根据题意得:，解得（间），答:这个小区共有间房间．（2）设甲工程队粉刷天，则乙工程队粉刷天，根据题意得：，解得（天），答：乙工程队共粉刷天．（3）方案一：由甲工程队单独完成需要时间和费用:（天)，（元）方案二：由乙工程队单独完成需要天，费用：（元），方案三：按（2）问方式完成需要时间为天，费用：（元）且，方案三最合适，答：选择方案三既省时又省钱．【点睛】本题考查的是一元一次方程的实际应用，以及最优化的选择问题，掌握以上知识是解题的关键．变式1．（2022·河南新乡·七年级阶段练习）已知一项工程，甲单独完成需要5天，乙单独完成需要10天，现先由甲单独做2天，然后再安排乙与甲合作完成剩下的部分，则完成这项工程共耗时(

)A．1天 B．2天 C．3天 D．4天【答案】D【分析】设完成这项工程共耗时x天，则甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根据总工作量＝甲完成的工作量+乙完成的工作量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设完成这项工程共耗时x天，则甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根据题意得：1，解得：x＝4．即完成这项工程共耗时4天．故选：D【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．变式2．（2022·仁寿县七年级期中）一项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需15天完成，现在先由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙独做，先后共用12天，请问甲做了多少天？【答案】甲做了4天．【分析】设甲做了x天，利用甲完成的工程量+乙完成的工程量=总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设甲做了x天，依题意得：，解得：x=4．答：甲做了4天．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．变式3．（2022·云南大理·）列方程解应用题：在洱海保护治理工作中，洱海生态廊道建设是洱海保护体系的最后一道污染物拦截防线，也是洱海最重要的一道生态安全屏障．大理市政府于2019年启动了129公里洱海生态廊道建设．截止2020年10月止，已经完成主体建设68公里，其余61公里正在全线推进．记者了解到：其中有一段长2400米的河道需要工程队进行整治．甲工程队每天可完成35米，乙工程队每天可完成45米．（1）若该任务由甲、乙两个工程队合作完成，请问整治这段河道任务用了多少天？（2）若在前期，由于乙工程队需要机械维修，则先由甲工程队单独整治一段时间，剩下的工程由甲、乙两队来合作完成．整治完了全部河道共用时48天，求甲、乙工程队分别整治了多少米的河道？【答案】（1）30天；（2）甲、乙工程队分别整治了1680米、720米的河道．【分析】（1）设甲、乙两队合作天可完成任务，由总工程2400米列一元一次方程，解一元一次方程即可；（2）设甲先整治了米，则剩余米由甲、乙两队合作完成，根据所用时间48天，列一元一次方程，解一元一次方程即可解题．【详解】解：（1）设甲、乙两队合作天可完成任务，根据题意列方程，解方程，得，答：该任务由甲、乙两个工程队合作完成，则需要用时30天．（2）设甲先整治了米，则剩余米由甲、乙两队合作完成，根据题意列方程，解方程，得，甲队先整治的时间为（天），剩余工程由甲、乙两队合作整治的时间为（天），甲队整治河道（米），乙队整治河道（米），答：甲工程队分别整治了1680米，乙工程队分别整治了720米的河道．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．考点4、分段计费问题【解题技巧】此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等例1．（2022·浙江七年级期中）我国最新的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分需要缴纳税收，具体如下表．其中应纳税所得额=月工资-5000-专项扣除金额-依法确定的其他扣除金额．2020年个人所得税税率表（工资薪金所得适用）级数应纳税所得额税率10至3000元的部分3%2超过3000元至12000元的部分10%3超过12000元至25000元的部分20%4超过25000元至35000元的部分25%5超过35000元至55000元的部分30%（1）某员工的应纳税所得额为4000元，求该员工缴纳的税额是多少?（2）我国专项扣除的常见项目及金额如下：①每个子女教育扣除2000元；②住房贷款扣除2000元；③赡养每位老人扣除2000元．某公司一技术专家的月工资是40000元，他有1个读初中的子女、一套住房的贷款和赡养2位老人，则该技术专家缴纳的税额是多少元?（3）公益捐赠属于依法确定的其他扣除项目，在（2）的基础上，该技术专家在三月份参加了公益捐赠活动后，实际收入33610元，求该技术专家在三月份捐赠了多少元?【答案】（1）190元；（2）4090元；（3）3000元【分析】（1）利用应缴纳的税额=3000×3%+超出3000元的部分×10%，即可求出结论；（2）利用应纳税所得额=月工资-500-专项扣除金额，可求出该技术专家的应纳税所得额，利用应缴纳的税额=3000×3%+（12000-3000）×10%+（25000-12000）×20%+超出25000元的部分×25%，即可求出结论；（3）设该技术专家在三月份捐赠了x元，分x＜2000及x＞2000两种情况考虑，由该技术专家在三月份的实际收入33610元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）3000×3%+（4000-3000）×10%=190（元）．答：该员工缴纳的税额是190元．（2）该技术专家的应纳税所得额为40000-5000-2000-2000-2000×2=27000（元），3000×3%+（12000-3000）×10%+（25000-12000）×20%+（27000-25000）×25%=4090（元）．答：该技术专家缴纳的税额是4090元．（3）设该技术专家在三月份捐赠了x元．当x＜2000时，3000×3%+（12000-3000）×10%+（25000-12000）×20%+（27000-x-25000）×25%=40000-x-33610，解得：x=（不合题意，舍去）；当x＞2000时，3000×3%+（12000-3000）×10%+（27000-x-12000）×20%=40000-x-33610，解得：x=3000．答：该技术专家在三月份捐赠了3000元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．例2．（2022·辽宁铁岭·七年级期末）甲、乙两家超市以相同的价格出售相同的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按8折优惠；在乙超市累计购买商品超出100元之后，超出部分按9折优惠．设顾客预计购买x元（）的商品．(1)请用含x的代数式分别表示顾客在甲、乙两家超市购物应付的费用；(2)小明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由；(3)小明购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？【答案】(1)甲超市元，乙超市元(2)甲超市，理由见解析(3)元【分析】（1）分别按照甲乙超市的优惠方法：甲：200+超过200元的部分×0.8，乙：100+超过100元的部分×0.9；列代数式即可；（2）把代入（1）中的代数式进行计算，再比较即可；（3）利用两家超市的费用相等构建方程，再解方程即可．(1)解：顾客在甲超市购物应付的费用为元；在乙超市购物应付的费用为元；(2)他应该去甲超市．理由如下：当时，甲：，乙：．∵，∴他应该去甲超市；(3)根据题意，得，解这个方程，得答：小明购买元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样．【点睛】本题考查的是分段计费的问题，列代数式，求解代数式的值，一元一次方程的应用，理解题意，正确的列出代数式是解本题的关键．变式1．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室二模）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表：行驶里程计费方法不超过3公里起步价8元超过3公里且不超过7公里的部分每公里按标准租费收费超过7公里且不超过25公里的部分每公里再加收标准租费的50%超过25公里且不超过100公里的部分每公里再加收标准租费的75%超过100公里的部分每公里再加收标准租费的100%说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算；行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里．若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（

）A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里【答案】C【分析】设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．根据题意列出一元一次方程求解即可．【详解】解：设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．若，根据题意得，不成立．若，根据题意得．解得（舍）．若，根据题意得．解得．若，根据题意得．解得（舍）．若时，根据题意得．解得（舍）．∴若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为11公里．故选：C．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键．变式2．（2022·浙江丽水·三模）电信公司推出移动电话A，两种套餐计费方法，收费标准如下表，一个月累计通话时间记为（分）．A计费方法计费方法月租费（元/月）5888不加收通话费时限（分）150350超时部分加收通话费标准（元/分）0.250.20(1)若，则选用哪种套餐话费少？通过计算说明．(2)当时，按这两种计费方法，所需的话费会相等吗？若会，求的值；若不会，说明理由．(3)用A套餐时，一个月累计通话时间410分所需的话费，若改用套餐，则可多通话多少分钟？【答案】(1)选择A套餐(2)会，当时，所需的话费相等(3)改用套餐，则可多通话115分钟【分析】（1）直接将代入两种套餐计算出费用即可比较；（2）根据话费相等，列出方程，解出t的值即可；（3）根据题意列出方程即可求解．(1)A套餐收费：；套餐收费：．所以选择A套餐．(2)当时，，解得．∴当时，所需的话费相等．(3)根据题意得方程，解得，．答：改用套餐，则可多通话115分钟．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键在于找到题目中的等量关系列方程．变式3．（2022·聊城市茌平区实验中学七年级期末）为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：档次每户每月用电数度执行电价元度第一档小于等于200部分第二档大于200且小于等于400部分第三档大于400部分（1）若一户居民七月份用电420度，则需缴电费多少元？（2）若一户居民某月用电x度大于200且小于，则需缴电费多少元？用含x的代数式表示（3）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费262元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度，问该户居民五、六月份各用电多少度？【答案】（1）需缴电费236元；（2）(0.6x-20)元；（3）该户居民五月份用电180度，六月份用电320度．【分析】（1）根据阶梯电价收费制，用电420度在第三档，则需缴电费，计算即可；（2）根据阶梯电价收费制，用电度大于200小于，需交电费，化简即可；（3）设五月份用电度，则六月份用电度，分两种情况进行讨论：①；②．【详解】解：（1）元．答：需缴电费236元；（2）（元）；（3）设五月份用电x度，则六月份用电度．分两种情况：第一种情况:当时，，解得，；第二种情况:当时，250≤500-x≤400，，，无解，所以，该户居民五月份用电180度，六月份用电320度．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．考点5、销售问题【解题技巧】此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。实际售价＝标价×打折率利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．例1．（2022·重庆·黔江区七年级期中）文峰文具店分两次购进一款礼品盲盒共70盒，总共花费960元，已知第一批盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒12元．(1)文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第二批盲盒，按此计划该老板总共可以获得多少利润？(2)在实际销售中，该文具店老板在以（1）中标价销售完m盒后，决定搞一场促销活动，尽快清理库存．老板先将标价提高到每盒40元，再推出活动：购买两盒，第一盒七折，第二盒半价，不单盒销售．售完所有盲盒该老板共获利600元，求m的值．【答案】(1)320元(2)30【分析】（1）设第一次购买了盒，则第二次购买了盒，根据题意列方程，得出每一次购买得数量，再分别算出每一批的利润，即可求解；（2）根据题意，分别表示出销售m盒的销售额、七折的销售额、半价的销售额，再根据总销售额－成本=利润，列出方程，即可求解．（1）设第一次购买了盒，则第二次购买了盒，依题意得：，解得：（盒），∴第一次购买了40盒，第二次购买了30盒，则第一批盈利：（元），则第二批盈利：（元），∴总共盈利：（元）．（2）销售m盒销售额为：20m，七折的销售额为：，半价的销售额为：，∴，解得：．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系．例2．（2022·重庆九龙坡·七年级期中）一水果店第一次购进400kg西瓜，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进了800kg西瓜，进货价比第一次每千克少了0.5元．两次进货共花费4400元．（1）第一次购进的西瓜进价每千克多少元；（2）在销售过程中，两次购进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，从购进到全部售完会有部分损耗．第一次购进的西瓜有4%的损耗，第二次购进的西瓜有6%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利2984元，则每千克西瓜的售价为多少元．【答案】（1）4元；（2）6.5元【分析】（1）设第一次购进的西瓜进货价每千克为元，则第二次进货价为元，根据题意列一元一次方程即可求解；（2）设售价为元，求出两次的销售总额，再减去成本就是获利，列出一元一次方程，即可求解．【详解】解：（1）设第一次购进的西瓜进货价每千克为元，则第二次进货价为元，由题意可得：，即解得答：第一次购进的西瓜进价每千克4元；（2）设每千克西瓜的售价为元，则第一次的销售额为元，第二次的销售额为元，总成本为4400元，则，即解得答：每千克西瓜的售价为6.5元【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意弄清楚题中的等量关系是解题的关键．变式1．（2022·河北·邢台市开元中学七年级阶段练习）两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利40%，则两件商品卖后（）A．赢利16.8元 B．亏本3元 C．赢利3元 D．不赢不亏【答案】C【分析】先根据题意设出赚钱的和亏本的衣服的本钱x，y，列出关于x，y的方程，求得两件衣服的本钱，再根据售价即可得出盈利3元．【详解】解：设赚钱的衣服的进价为x元，赔钱的衣服的进价为y元，则x+40%x＝84，解得x＝60，y﹣20%y＝84，解得y＝105，∴84×2﹣（60+105）＝3元．答：两件商品卖后赢利3元，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解答这类题目的时候，同学们一定要读懂题意，列出正确的方程．变式2．（2022·重庆江津·七年级期末）在六一儿童节期间，某商家推出零食大礼包，包含薯片、辣条、果冻三种零食．礼包的成本是三种零食成本之和．每个礼包中薯片、辣条、果冻成本之比为：：，其中薯片的利润率为，果冻的利润率为，且每个礼包的总利润率为，则辣条的利润率为______．【答案】【分析】设辣条的利润率为x，每个礼包中薯片成本为7m、辣条成本为5m、果冻成本为3m，则每个礼包的成本是15m，根据每个礼包的总利润率为34%，列方程即可解得答案．【详解】解：设辣条的利润率为，每个礼包中薯片成本为、辣条成本为、果冻成本为，则每个礼包的成本是，根据题意得：，解得，答：辣条的利润率为，故答案为：．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．变式3．（2022·福建·福州七年级期末）某社区超市第一次用6000元购进一批甲乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，两件商品的进价和售价如下图所示：(1)超市购进的这批货中甲乙两种商品各有多少件？(2)该超市第二次分别以第一次同样的进价购进第二批甲乙两种商品，其中乙商品的件数是第一批乙商品件数的3倍，甲商品件数不变，甲商品按照原售价销售，乙商品在原价的基础上打折销售，第二批商品全部售出后获得的总利润比第一批获得的总利润多720元，求第二批乙商品在原价基础上打几折销售？甲乙进价（元/件）2230售价（元/件）2940【答案】(1)甲种商品150件，乙种商品90件；(2)9折．【分析】（1）设第一次购进乙种商品m件，则购进甲种商品（2m﹣30）件，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次方程，解方程后计算，可得两种商品第一次购进数量；（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．（1）解：设第一次购进乙种商品m件，则购进甲种商品（2m﹣30）件，依题意，得：30m+22×（2m﹣30）＝6000，解得：m＝90，∴2m﹣30＝150，答：超市购进的这批货中甲种商品150件，乙种商品90件．（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，由（1）可知，第一次两种商品全部卖完可获得利润为：（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）．依题意得：（29﹣22）×150+（40×﹣30）×90×3＝1950+720，解得：y＝9．答：第二次乙种商品是按原价打9折销售．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．考点6、数字与日历问题【解题技巧】已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．例1．（2022·河北沧州·七年级期末）一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，求原两位数.设原两位数的个位数字是，根据题意可列方程为(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出原两位数的十位数字是，再根据将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99建立方程即可．【详解】解：由题意得：原两位数的十位数字是，则可列方程为，故选：D．【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．例2．（2022·陕西西安·七年级期末）如图，在2022年元月份的月历表中，任意框出表中竖列上相邻的四个数，则这四个数的和可能是（

）A．42 B．60 C．78 D．86【答案】C【分析】由于表中竖列上相邻两列的数相差7，所以可设这四个数中最小的一个数为x，则其余的三个数为x+7，x+14，x+21，然后根据这四个数的和分别等于四个选项中的数列出方程，求出方程的解，然后根据实际意义取值即可．【详解】解：设这四个数中最小的一个数为x，则其余的三个数为x+7，x+14，x+21，那么，这四个数的和为x+x+7+x+14+x+21=4x+42．A、如果4x+42=42，那么x=0，故A不符合题意；B、如果4x+42=60，那么x=4.5，故B不符合题意；C、如果4x+42=78，那么x=9，故C符合题意；D、如果4x+42=86，那么x=11，故D不合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答．变式1．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则y﹣x的值是（

）A．1 B．17 C．﹣1 D．﹣17【答案】A【分析】根据题意可得关于x、y的等式，继而进行求解即可得答案．【详解】由题意得：-3+y+2=-3+3+x，即y-1=x，则y﹣x＝1．故选：A．【点睛】本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键．变式2．（2022·河北承德·七年级期末）如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（

）A．106 B．98 C．84 D．78【答案】C【分析】设7个数中最小的数为x，则另外6个数分别为x＋2，x＋7，x＋9，x＋14，x＋15，x＋16，进而可得出7个数之和为7x+63，然后再验证每一个选项即可．【详解】解：设7个数中最小的数为x，则另外6个数分别为x＋2，x＋7，x＋9，x＋14，x＋15，x＋16，由题意得，当时，解得，故选项A不合题意；当时，解得，故选项B不符合题意；当时，解得，故选项C符合题意；当时，解得，故选项D不合题意；故选：C【点睛】本题考查列代数式及一元一次方程的应用，用含最小数的代数式表示出7个数之和是解题的关键．变式3．（2022·北京四中模拟预测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则______．【答案】6【分析】根据“格子乘法”可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k，解方程可得．【详解】解：根据题意可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k解得k=6故答案为：6．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据“格子乘法”分析图示，列出方程是关键．考点7、和、差、倍、分问题【解题技巧】（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量－降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．例1．（2022·云南红河·七年级期末）我国古代数学家著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索长多少尺？【答案】绳索长为20尺【分析】设绳索长尺，则竿长为尺，根据将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，列方程求解即可．【详解】解:设绳索长尺，则竿长为尺．根据题意可得，解得答：绳索长为20尺．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，解设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解题关键．例2．（2022·福建泉州·七年级阶段练习）为了进一步落实“双减”政策，学校积极开展社团活动，原国际象棋社团有学生64人，羽毛球社团有学生56人．在家乡著名羽毛球运动员黄东萍获得奥运冠军后学校掀起一股羽毛球热潮，有部分国际象棋社团学生转入羽毛球社团，现在国际象棋社团人数是羽毛球社团人数的一半．问有多少名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团？【答案】有24名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团【分析】设有x名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团，根据“现在国际象棋社团人数是羽毛球社团人数的一半”列出一元一次方程，解方程求解即可．【详解】解：设有x名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团，根据题意得：2(64-x)=56+x，解得x=24；答：有24名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确利用数量关系列出一元一次方程是解题的关键．变式1．（2022·山东东营·中考真题）植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的，七年级2班植树棵数是这批树苗总数的，则七年级2班植树的棵数是（

）A．36 B．60 C．100 D．180【答案】C【分析】设这批树苗一共有x棵，据七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的，列出方程求解即可．【详解】解：设这批树苗一共有x棵，由题意得：，解得，∴七年级2班植树的棵数是棵，故选C．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键．变式2．（2022·福建·泉州七年级期中）疫情无情人有情，爱心捐款传真情．某校三个年级为疫情重灾区捐款，经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，已知九年级捐款1916元，求其他两个年级的捐款数若设七年级捐款数为x元，则可列方程为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据七年级的捐款为x元，可以求得三个年级的总的捐款数，然后即可得到八年级的捐款数，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，七年级捐款数为元，则三个年级的总的捐款数为：，故八年级的捐款为：，则，故选：A．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．变式3．（2022·南昌市心远中学七年级期末）《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游时，做出这样-条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．求李白的酒壶中原有酒多少升．【答案】壶中原有升酒．【分析】设壶中原有x升酒，由在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；【详解】设壶中原有x升酒，根据题意得，解得．答：壶中原有升酒．【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键.A级（基础过关）1．（2022·山东威海·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个有趣的数学问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加三颗，向五人各得几何？”题目大意是：诸侯五人，共同分60个橘子，若后面的每个人总比他前一个人多分3个，问每个人各分得多少个橘子？若设中间的那个人分得x个橘子，依题意可列方程为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】设中间的那个人分得x个橘子，然后根据题意分别表示出其他四个人的橘子数，最后根据橘子总数为60列出方程即可．【详解】解：设中间的那个人分得x个橘子，由题意得，故选C．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找准等量关系式解题的关键．2．（2022·湖南娄底·七年级期中）2022年2月6日女足亚洲杯决赛，在逆境中铿锵玫瑰没有放弃，逆转夺冠！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，某班开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该班获胜的场数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】设该班获胜的场数为x场，则平场为（11-x）场，根据“开局11场保持不败，积23分，”列出方程，即可求解．【详解】解：设该班获胜的场数为x场，则平场为（11-x）场，根据题意得：，解得：x=6，答：该班获胜的场数为6场．故选：C【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．3．（2022·杭州七年级期中）某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需4h，逆水航行需6h，水流速度是2km/h，求两个码头之间的距离，我们可以设两个码头之间的距离为xkm，得到方程（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用速度=路程÷时间结合船在静水中的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：，故选：B．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．4．（2022·四川德阳·七年级期末）保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表．某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽车修理费是（

）元．汽车修理费x元赔偿率0＜x≤50060%500＜x≤100070%1000＜x≤300080%……A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5【答案】B【分析】根据表可以首先确定此人的修理费应该大于1000元，并且小于3000元，则赔偿率是80%，则若修理费是x元，则在保险公司得到的赔偿金额是(x-1000)×0.8+300+350元，就可以列出方程，求出x的值．【详解】解：∵500×60%＝300（元），（1000﹣500）×70%＝500×70%＝350（元），（3000﹣1000）×80%＝2000×80%＝1600（元），且300＜2000，300+350＝650＜2000，300+350+1600＝2350＞2000，∴此人的汽车修理费x的范围是：1000＜x≤3000，可得，300+350+（x﹣1000）×80%＝2000，解得x＝2687.5，∴此人的汽车修理费是2687.5元，故选：B．【点睛】解决问题的关键是读懂题意，确定修理费的范围，正确表示出赔偿金额是解决本题的关键．5．（2022·陕西·西安七年级期末）古代名菩《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：两匹马从同一地点出发，跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（）A．240x＝150x+12×150 B．240x＝150x﹣12×150C．240（x﹣12）＝150x+150 D．240x+150x＝12×150【答案】A【分析】设快马天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．【详解】解：设快马天可以追上慢马，据题题意：，故选：A．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．6．（2022·江苏·七年级单元测试）一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以40km/h的速度前进，突然，6号队员以50km/h的速度独自行进，行进15km后掉转车头，仍以50km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合．设6号队员从离队开始到与队员重新会合经过了xh，则x为（

）A．1.5 B．0.75 C． D．【答案】C【分析】整个运动过程可看成二者相对运动了15×2（km），根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：50x＋40x＝15×2，即50x＋40x＝30，解得：x，故选：C．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7．（2022·甘肃·七年级期末）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，则在这次买卖中，他(

)A．不赚不赔 B．赔了12元 C．赔了18元 D．赚了18元【答案】C【分析】要知道赔赚，就要先算出两件衣服的原价，要算出原价就要先设出未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解．【详解】设在这次买卖中第一件原价是x，则可列方程：（1+25%）x＝135，解得：x＝108，比较可知，第一件赚了27元；设第二件原价是，第二件可列方程：（1﹣25%）＝135，解得：＝180，比较可知亏了45元，两件相比则一共亏了45﹣27＝18元．故选：C．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明白盈利与亏本的含义，准确列出计算式，计算结果，难度一般．8．（2022·河南郑州·七年级期末）某种商品每件的进价为80元，标价为120元．为了拓展销路，商店准备打折销售，若使利润率为，设商店打x折销售，则依题意得到的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用售价减去进价等于利润即可得到方程．【详解】解：根据题意可列一元一次方程：．故选：C．【点睛】本题主要考查列一元一次方程，理解题意是解题的关键．10．（2022·山东临沂·七年级期末）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如1，7，8，9，15）．照此方法，若圈出的5个数的和为115，则这5个数中的最小数为_________．【答案】16【析】设第二行中间数为x，则其他四个数分别为x-7，x-1，x+1，x+7，根据最大数与最小数的和为115列出x的一元一次方程，求出x的值，进而求得最小的数．【详解】解：设第二行中间数为x，则其他四个数分别为x-7，x-1，x+1，x+7，根据题意：则x-7+x-1+x+x+1+x+7=115，解得x=23，即圈出5个数分别为16，22，23，24，30，所以最小数是16．故答案是：16．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设第二行中间数为x，用x表示出其他四个数，此题难度不大．10．（2022·山东青岛·七年级期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，若将个位与十位上的数字对调，得到的新数比原数大9，设个位上的数字为x，十位上的数字为y，根据题意，可列方程为：______．【答案】或【分析】列代数式写出原数和新数，通过新数比原数大9列方程即可．【详解】解：①∵十位上的数字比个位上的数字大1，∴，②∵对调前个位上的数字为x，十位上的数字为y，∴原数为：，∵对调后个位上的数字为y，十位上的数字为x，∴新数为：，∵新数比原数大9，∴，故答案为：或．【点睛】本题考查列方程，正确写出原数和新数的代数式是解题的关键．11．（2022·云南文山·七年级期末）整理一批图书，如果由一个人单独做要花40小时．现先由一部分人用1小时整理，随后增加5人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？【答案】10【分析】等量关系为：所求人数1小时的工作量+所有人2小时的工作量=1，把相关数值代入即可求解．【详解】设先安排整理的人员有x人，依题意得，,解得：，答：先安排整理的人员有10人．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．此题用到的公式是：单人工作效率×工作时间×人数=工作量．12．（2022·内蒙古乌兰浩特·初一期中）有一批共享单车需要维修，维修后继续投放骑用，现有甲、乙两人做维修，甲每天维修16辆，乙每天维修的车辆比甲多8辆，甲单独维修完成这批共享单车比乙单独维修完多用20天，公司每天付甲80元维修费，付乙120元维修费．（1）问需要维修的这批共享单车共有多少辆？（2）在维修过程中，公司要派一名人员进行质量监督，公司负担他每天10元补助费，现有三种维修方案：①由甲单独维修；②由乙单独维修；③甲、乙合作同时维修，你认为哪种方案最省钱，为什么？【答案】（1）960辆；（2）方案三最省钱，理由见详解.【分析】（1）通过理解题意可知本题的等量关系，即甲乙单独修完共享单车的数量相同，列方程求解即可；（2）分别计算，通过比较选择最省钱的方案．【解析】解：（1）设乙单独做需要x天完成，则甲单独做需要（x+20）天，由题意可得：16（x+20）=（16+8）x，解得：x=40，总数：（16+8）×40=960（辆），∴这批共享单车一共有960辆；（2）方案一：甲单独完成：60×80+60×10=5400（元），方案二：乙单独完成：40×120+40×10=5200（元），方案三：甲、乙合作完成：960÷（16+24）=24（天），则一共需要：24×（120+80）+24×10=5040（元），∵，∴方案三最省钱．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．13．（2021·全国·五年级期末）上午8点零8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几点几分？【答案】8点32分【分析】小明爸爸在追小明，但是小明一直在走，由题得，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，设他爸爸用x分钟第一次追上小明走了4千米；第二次追上小明时，他爸爸又用了3x分钟，共走了（4＋8）千米；对小明来说，（8＋x）分钟走了4千米，然后他爸爸回家后又回来追上他，小明和他爸爸用的时间相同都是3x分钟，小明走的路程是8千米－4千米．根据小明的速度一定，由公式路程＝速度×时间变形列式求解。【详解】解：设他爸爸用x分钟第一次追上小明走了4千米，因为小明的速度一定，所以，路程和时间成正比例，即：4÷（8＋x）＝（8－4）÷3x8＋x＝3x2x＝8x＝4小明共走的时间为：8＋x＋3x＝8＋4x＝8＋4×4＝8＋16＝24（分钟）这时是：8时8分＋24分＝8时32分答：这时是8时32分。【点睛】此题考查了追及问题，解答此题关键是当速度一定，所以，路程和时间成正比例。14．（2022·全国·六年级）早上水缸注满了水，白天用去了其中的20%，傍晚又用去27升，晚上用去剩下水的10%，最后剩下的水是半水缸多1升。问早上注入多少升水？【答案】115升【分析】可用列方程的方法，利用的等量关系为：最后剩下的水比半水缸多1升。设早上注入x升水，白天用去其中的20%后还剩（1－20%）x；傍晚又用去27升后还剩下（1－20%）x－27；晚上用去剩下水的10%后还剩下[（1－20%）x－27]×（1－10%）。【详解】解：设早上注入x升水。[（1－20%）x－27]×（1－10%）－50%x＝1[0.8x－27]×0.9－0.5x＝10.72x－27×0.9－0.5x＝10.72x－24.3－0.5x＝10.72x－0.5x＝25.30.22x＝25.3x＝115答：早上注入115升水。【点睛】找出等量关系式是列出方程的关键。15．（2022·全国·六年级竞赛）甲、乙二人原有钱数相同，存入银行，第一年的利息为4%，存入一年后利息降至2%，甲将本钱和利息继续存入银行，而乙将一半本钱投资股市及房地产，获利20%，一年后，甲比乙赚到的钱的一半还少144元，则甲原来有多少元？【答案】10000元【分析】本题为利息问题，本金×（1＋利息×期数）＝本息【详解】详解过程：设甲和乙原有钱数都是x．甲在银行存了两年，第一年利息为4%，钱变成了x（1+4%），接着再存了一年，第二年利息是2%，本息和为x（1+4%）（1+2%），两年赚的钱为：x（1+4%）（1+2%）－x＝0.0608x；乙先将所有的钱在银行存了一年，本息和为x（1+4%），第二年将一半本息接着存入银行，一半本钱投入股市，存入银行的一年后本息和为x（1+4%）（1+2%），投入股市的钱一年后收入为x（1+20%），乙两年赚的钱为：x（1+4%）＋x（1+4%）（1+2%）＋x（1+20%）－x=0.1504x．已知甲赚的比乙的一半还少144元，于是得到（144＋0.0608x）×2=0.1504x，解得x=10000元．答：甲原来有10000元．【点睛】本题考察的是利息问题和利润问题的综合求解．在计算本息和时最好写成x（1+4%），这样后面的也可以直接写为x（1+4%）（1+2%）了，比较简单明了方便计算．推而广之，在计算所有增加或者减少分率时都可以这样处理，一般公式为单位“1”×（1±增加或减少分率）．B级（能力提升）1．（2022·浙江台州·七年级期末）在编写数学谜题时，“”内要求填写同一个数字，若“”内数字为，则列出方程正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据十位数的表示方法表示，进而得出方程．【详解】解：设“”内数字为则故选：D．【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际问题，正确表示出十位数是解决本题的关键．2．（2022·四川内江·）2020年12月30日，连云港市图书馆新馆正式开馆．小明同学从家步行去图书馆，他以的速度行进后，爸爸骑自行车以的速度按原路追赶小明．设爸爸出发后与小明会合，那么所列方程正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设爸爸出发后与小明会合，则此时小明出发了h，利用路程=速度×时间，结合会合时两人行走（或骑行）的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，即可．【详解】解：设爸爸出发后与小明会合，则此时小明出发了h，依据题意得：，故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．3．（2022·陕西·西安七年级期末）甲、乙两人分别从相距2000米的A，B两地步行出发相向而行，两人速度保持不变，若两人同时出发，则他们10分钟之后相遇；若乙比甲先出发4分钟，则甲出发8分钟之后，甲乙两人相遇，则甲的速度为（

）A．70米/分钟 B．80米/分钟 C．90米/分钟 D．100米/分钟【答案】D【分析】根据题意可算出甲、乙两人的速度之和，设甲的速度为米分，可表达出乙的速度，根据题意可列出方程，从而求解即可．【详解】解：根据题意可知，甲、乙两人的速度之和为（米分），设甲的速度为米分，则乙的速度为米分，根据题意可知，，解得．故选：D．【点睛】本题考查一元一次方程的应用行程问题，解题的关键是根据相遇问题得出甲、乙的速度和．4．（2022·福建福州·七年级期末）姚明在一次“NBA”比赛（美国篮球联赛）中，22投14中得28分，除了3个三分球全部投中外，他还投中了______________个两分球和______________个罚球（一分球）．【答案】

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3【分析】首先要了解投篮知识，尤其是罚球时每个一分，然后设投中2分球个，那么罚球个，再根据得28分就可以列出方程，然后解方程即可．【详解】解：设投中2分球个，那么罚球个，依题意，得：，解得：，∴．∴他还投中了8个两分球和3个罚球．故答案为：8；3．【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，了解投篮知识，再根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程再求解．5．（2022·湖北恩施·七年级期末）某城市出租车收费标准如下：3下米以内（含3千米）收费5元，超过3千米的部分每千米加收2元（不足一千米按一千米计算）．(1)若乘坐出租车行驶千米（为整数），完成下列表格．行驶里程（千米）应付车费（元）(2)周末小华的爷爷准备乘坐出租车到12千米外小华的姑姑家去，但他只有20元钱，爷爷能够全程乘坐出租车吗？如果能够，他要付多少元车费？如果不能，他至少还要步行几千米？【答案】(1)见解析(2)爷爷至少还要步行2千米【分析】（1）根据3下米以内（含3千米）收费5元，超过3千米的部分每千米加收2元，分段列式计算；（2）根据当时，，得到爷爷不能够全程乘坐出租车，根据，为整数，得到，爷爷至少还要步行2千米．(1)行驶里程（千米）应付车费（元）5或(2)解：当时，，所以，爷爷不能够全程乘坐出租车．，则，因为为整数，所以，所以爷爷至少还要步行2千米．【点睛】本题主要考查了分段计费，解决问题的关键是熟练掌握每段路程中车费与路程的关系列式计算，进行判断．6．（2022·湖北房县·初一期末）“十房”天然气正在紧张施工中，从2018年1月1日起居民生活用气阶梯价格制度将正式实施，一般生活用气收费标准如下表所示，比如6口以下的户年天然气用量在第二档时，其中350立方米按2.28元/m3收费，超过350立方米的部分按2.5元/m3收费．小冬一家有五口人，他想帮父母计算一下实行阶梯价后，家里天然气费的支出情况．（1）如果他家2018年全年使用300立方米天然气，那么需要交多少元天然气费？（2）如果他家2018年全年使用500立方米天然气，那么需要交多少元天然气费？（3）如果他家2018年需要交1563元天然气费，他家2018年用了多少立方米天然气？【答案】（1）684；（2）1173；（3）600【分析】（1）根据一般生活用气收费标准，可得小冬一家需要交天然气费2.28×300，计算即可；（2）根据一般生活用气收费标准，可得小冬一家需要交天然气费2.28×350＋2.5×（500−350），计算即可；（3）设小冬家2018年用了x立方米天然气．首先判断出小冬家2018年所用天然气超过了500立方米，然后根据他家2018年需要交1563元天然气费建立方程，求解即可．【解析】（1）如果他家2018年全年使用300立方米天然气，那么需要交天然气费2.28×300＝684（元）；（2）如果他家2018年全年使用500立方米天然气，那么需要交天然气费2.28×350＋2.5×（500−350）＝798＋375＝1173（元）；（3）设小冬家2018年用了x立方米天然气．∵1563＞1173，∴小冬家2018年所用天然气超过了500立方米．根据题意得2.28×350＋2.5×（500−350）＋3.9（x−500）＝1563，解得x＝600．答：小冬家2018年用了600立方米天然气．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．7．（2022·重庆七年级课时练习）某中学的社团活动深受学生和家长的欢迎，社团种类多达十几种，极大地丰富了学生的业余文化生活．其中初一书法社团中女生占全社团人数的，又有10名女生申请加入，那么女生就占全社团人数的，求现在初一书法社团的人数．【答案】100人【分析】设原有女生x人,原来初一书法社团人数为3x人，利用10名女生申请加入后，女生就占全社团人数的的等量关系列出方程运算即可．【详解】解：设原有女生x人，则原来初一书法社团人数为3x人，根据题意得：，解得，则．答：现在初一书法社团的人数有100人．【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，仔细审题从中获取相关等量关系列出方程是解题的关键．8．（2022·河南信阳·七年级期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座光伏发