专题09 有理数的加法-2024年小升初数学无忧衔接 （解析版）

第第页专题09有理数的加法1．了解有理数加法的意义，理解有理数加法法则的合理性；2．能运用有理数加法法则，正确进行有理数加法运算；3．经历探索有理数加法法则的过程，感受数学学习的方法；4.能合理使用加法运算律使运算简便。【思考1】一间0°C冷藏室连续两次改变温度：(1)第一次上升5°C，接着再上升3°C；(2)第一次下降5°C，接着再下降3°C；(3)第一次下降5°C，接着再上升3°C；(4)第一次下降3°C，接着再上升5°C。问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度?注意：(1)上升：下降5°C，即上升-5°C；下降3C，即上升-3°C；(2)共：对连续两次温度变化进行求和；（3）可借助温度计（或数轴）理解。1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定数字；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则；3.运算律：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)注意：1）利用加法交换律、结合律,可以使运算简化,认识运算律对于理解运算有很重要的意义.2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用.考点1、有理数加法法则的辨析【解题技巧】有理数加法的法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数．例1．（2022秋·江苏常州·七年级校考阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．两数相加，其和大于任何一个加数B．异号两数相加，其和小于任何一个加数C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号【答案】C【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可．【详解】解：A选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意；B选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合题意；C选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意；D选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键．例2．（2022·广东七年级期中）（1）若，，，则____（2）若，，，则____【答案】【分析】（1）根据有理数的加法法则进行计算即可求解；同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加．（2）根据有理数的加法法则进行计算即可求解．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加．【详解】（1）若，，，则，故答案为：．（2）若，，，则，故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．变式1．（2022秋·四川乐山·七年级统考期中）已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（

）A．两个加数必须都为正数 B．两个加数都为负数C．两个加数中至少有一个正数 D．两个加数必须一正，一负【答案】C【分析】根据有理数加法计算法则逐一判断即可．【详解】解：A．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，并不一定两个加数都是正数，说法错误，不符合题意；B．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，说法错误，不符合题意；C．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，即两个加数中至少有一个正数，说法正确，符合题意；D．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，两个加数可以都是正数，说法错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了有理数加法计算，熟知两个有理数相加，符号取绝对值较大的数的符号是解题的关键．变式2．（2022秋·福建三明·七年级统考期中）两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（）A．都是负数B．至少有一个是负数C．有一个是0D．绝对值不相等【答案】B【分析】根据有理数加法法则分析判断即可．【详解】解：根据有理数加法法则可知，如果两个有理数的和为负数，可有三种情况：同负；一正一负且负数的绝对值大于正数的绝对值；一个负数和0．显然三种情况中，至少一个为负数．故选：B．【点睛】本题主要考查了有理数加法法则，理解并掌握有理数加法法则是解题关键．变式3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则______0．（填“>”“=”或“<”）

【答案】>【分析】根据实数a、b在数轴上对应点的位置，判定出a、b符号以及绝对值的大小，即可进行判断即可．【详解】解：由实数a、b在数轴上对应点的位置可知：，，且，即：，∴，故答案是：>．【点睛】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出实数的符号和绝对值的大小．考点2、有理数的加法运算【解题技巧】根据有理数加法的法则计算即可。例1．（2023·宁夏吴忠·校考二模）计算的结果是（

）A． B．3 C．7 D．【答案】B【分析】根据有理数的加法运算法则以及绝对值的意义进行计算即可得解．【详解】解：，故B正确．故选：B．【点睛】此题主要考查有理数的加法，绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题关键．例2．（2023·河北石家庄·统考二模）若要等式4成立，“”中应填的运算符号是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用有理数的运算法则计算即可确定出运算符号．【详解】解：∵，∴“”中应填的运算符号是，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式1．（2023·河北保定·统考二模）按照有理数加法法则，计算的正确过程是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据有理数的加法法则：异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，再用大绝对值减去小绝对值即可．【详解】解：．故选：D．【点睛】考查了有理数的加法，关键是熟练掌握异号两数相加的计算法则．变式2．（2023·天津河西·统考二模）计算的结果等于（

）A．5 B．3 C． D．【答案】C【分析】根据有理数加法法则计算即可．【详解】解：故选：C．【点睛】本题考查有理数加法，熟练掌握同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加是解题的关键．变式3．（2022秋·河南驻马店·七年级校考阶段练习）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作的《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负），如图1表示的是，根据这种表示法，图2所表示的算式是，由此可推算出图2被盖住的部分是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由图1表示的算式，推出（+3）+（-6）的选项．【详解】解：∵如图1表示的是，∴表示的应该是三个红条的加上六个黑条，故选：D．【点睛】本题考查有理数加法、正数、负数，掌握有理数加法法则，理解题意是解题关键．考点3、有理数加法的运算律【解题技巧】有理数常见简算方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。例1．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）计算，比较合适的做法是（）A．把第一、三两个加数结合，第二、四两个加数结合B．把第一、二两个加数结合，第三、四两个加数结合C．把第一、四两个加数结合，第二、三两个加数结合D．把第一、二、四这三个加数结合【答案】A【分析】根据凑整法利用加法运算律把一、三两个加数结合，二、四两个加数结合，计算即可．【详解】解：计算，比较合适的做法是把第一、三两个加数结合，第二、四两个加数结合，故选A．【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握加法运算律是解题关键．例2．（2022秋·七年级课时练习）计算：(1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8）(2)43+（﹣77）+27+（﹣43）(3)18+（﹣16）+（﹣23）+16(4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4）(5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1）(6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4）【答案】(1)﹣3(2)﹣50(3)﹣5(4)2(5)1(6)【分析】(1)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可；(2)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可；(3)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可；(4)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可；(5)运用加法的交换律和结合律，同分母的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可．（1）（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8）＝40+[（﹣3）+（﹣32）+（﹣8）]＝40+（﹣43）＝﹣3，（2）43+（﹣77）+27+（﹣43）＝（43+27）+[（﹣77）+（﹣43）]＝70+（﹣120）＝﹣50，（3）18+（﹣16）+（﹣23）+16＝（18+16）+[（﹣16）+（﹣23）]＝34+（﹣39）＝﹣5，（4）（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4）＝[（+7）+4+3]+[（﹣3）+（﹣5）+（﹣4）]＝14+（﹣12）＝2，（5）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1）＝（5.6+4.4）+[（﹣0.9）+（﹣8.1）]＝10+（﹣9）＝1，（6）＝＝＝．【点睛】本题考查了有理数加法法则和加法的运算律，熟练运用有理数的加法法则是解题的关键．例3．（2022秋·广东广州·七年级校考期中）阅读下面的解题方法．计算：．解：原式．上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算：．【答案】【分析】根据题目中的拆项法进行解答即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算法则以及运算律是解本题的关键．变式1．（2022·浙江金华·七年级校考阶段练习）计算时运算律用得恰当的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用加法的运算律，将分母相同的数分别结合在一起，然后再进行计算即可．【详解】解：故选：A．【点睛】本题考查有理数的加减运算，合理运用运算律是解题的关键．变式2．（2022·河南南阳·七年级校考阶段练习）计算(1)；(2)．【答案】(1)12(2)3【分析】（1）利用加法交换律与加法结合律，把互为相反数的两数相加，另两数相加；（2）利用加法交换律与加法结合律，把小数部分相同的两数相加，互为相反数的两数相加．【详解】（1）解：（2）【点睛】本题主要考查加法运算，加法交换律，加法结合律，根据加数的特点，选择互为相反数的两数相加，小数部分相等的两数相加等可以简便运算．变式3．（2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）计算：(1)(2)【答案】(1)0(2)【分析】（1）原式运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案；（2）原式先将化为，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案．【详解】（1）====0；（2）====【点睛】本题主要考查了有理数加法的运算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键．考点4、有理数加法在生活实际中的应用【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。例1．（2022·江苏淮安·七年级校考阶段练习）某次数学考试成绩以80分为标准，高于80分记为“”，低于80分记为“”，例如：78分记为“”，81分记为“”，将某小组五名同学的成绩简记为，，，，0，则这五名同学的平均成绩应为__．【答案】82分【分析】求出每个数与标准的差的平均数，再加上80分，就是这五名同学的平均成绩.【详解】这五名同学的平均成绩应为故答案为：82分．【点睛】本题考查了有理数的加法运算.多个有理数求平均值，可以采用新数据法.掌握这种计算方法是解题的关键.例2．（2022秋·吉林松原·七年级统考期中）现有甲、乙两支同样的温度计，将它们按如图位置放置，如果向左移动甲温度计，使其度数12与乙温度计的度数对齐，那么此时乙温度计与甲温度计数对齐的度数是____________．【答案】10【分析】先根据度数12到度数共有16个单位长度，再根据度数12正对着乙温度计的度数，即可得出答案．【详解】∵度数12到度数共有16个单位长度，∵度数12正对着乙温度计的度数，∴甲温度计的度数正对着乙温度计的度数是；故答案为：10．【点睛】本题考查了有理数的加法的应用，解题关键是掌握温度计上点的特点．例3．（2023·北京房山·统考二模）甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛训练，两人先比，若分出胜负，则由第三个人与胜者比赛；若是和棋，则这两个人继续下一局比赛，直到分出胜负．如此进行……比赛若干局后，甲胜4局，负2局；乙胜3局，负3局；若丙负3局，那么丙胜了___________局，三位同学至少进行了___________局比赛．【答案】18【分析】结合实际我们知道，有人胜一局，便有人负一局，那么最后胜局的总数应该等于负数的总局，据此作答即可．【详解】解：总负局数为，而甲、乙胜局数为，故丙胜局数为，故答案为：1，8【点睛】此题结合实际问题考查有理数的混合运算，解答此题的关键是理清题意，找准等量关系．变式1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）西岳华山，是我国著名的五岳之一.已知华山山顶某日早晨的气温是，到中午上升了，则华山山顶这天中午的气温是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正负符号的意义计算即可．【详解】从上升，达到，故选C．【点睛】本题考查有理数中正负数的加减，理清楚负号的意义和正确的计算是解题的关键．变式2．（2022秋·山东临沂·七年级统考期中）小明在家庭的熏陶和学校的教育下，养成了好习惯．他把家里可回收物积攒起来拿到废品收购站回收换钱，这样既保护了环境，又可以为自己积攒一些零花钱．下表是他国庆节期间的部分收支情况（单位：元）．日期收入或支出结余备注1日卖可回收物5日买书，不足部分由妈妈代付下列说法正确的是（）A．国庆节这天卖可回收物换收入元B．买书花了元C．买书时妈妈代付元D．买书的钱与妈妈代付的钱数之和是21元【答案】C【分析】根据表格给出的正数和负数的意义解答即可．【详解】解：由表格信息可得：国庆节这天卖可回收物换收入元，故A不符合题意；买书花了元，故B不符合题意；买书时妈妈代付元，描述正确，故C符合题意；买书的钱与妈妈代付的钱数之和是（元），故D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查正数和负数，有理数的加法的实际应用，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义．变式3．（2023·北京海淀·校考模拟预测）为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为，，，，，的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下：大礼包编号一等奖（个）二等奖（个）三等奖（个）总奖品数（个）154102338314842511513934512该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案____________（写出要购买的大礼包编号）【答案】各买一个（答案不唯一）【分析】根据该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，进行判断即可．【详解】解：当购买各一个时：一等奖的个数为：，，满足题意；二等奖的个数为：，，满足题意；三等奖的个数为：，，满足题意；奖品总个数为：，满足题意；故答案为：各买一个（答案不唯一）．【点睛】本题考查有理数的加法的实际应用．解题的关键是根据题意，列出算式，进行求解．考点5、有理数加法的运用（幻方问题）【解题技巧】利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可。例1．（2023秋·广东阳江·七年级统考期末）如图，是由3×3的方格构成的幻方，每一行，每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，称为“幻方”．则的值为（

）A．4 B．3 C．0 D．【答案】B【分析】先求出对角线上三个数的和为3，进而计算出、的值，代入计算即可．【详解】∵每一行，每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，∴，，∴，，∴故选：B【点睛】本题考查有理数加法的计算方法，掌握计算法则是正确计算的前提．例2．（2022·北京西城·七年级期末）在如图所示的星形图案中，十个“圆圈”中的数字分别是1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，并且每条“直线”上的四个数字之和都相等．请将图中的数字补全______．【答案】见解析【分析】根据每条“直线”上的四个数字之和都相等代入计算即可求解．【详解】解：根据每条“直线”上的四个数字之和都相等，可得：，如图所示：故答案为：【点睛】本题考查有理数的加法，解题关键是根据每条“直线”上的四个数字之和都相等进行计算．变式1．（2022秋·天津南开·七年级统考期中）把，，，，这五个数填入下列圆中，使行、列三个数的和相等，其中错误的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据有理数加法运算法则进行计算即可．【详解】解：A、，行、列三个数的和相等，不符合题意；B、，行、列三个数的和相等，不符合题意；C、，行、列三个数的和相等，不符合题意；D、，行、列三个数的和不相等，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则是解本题的关键．变式2．（2023秋·山西朔州·七年级统考期末）在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中国梦”这三个字表示的数之和为_____．﹣2中国4﹣1梦x2【答案】【分析】结合题意，用第一列的和等于第三行的和求出x，后分别求出“中”、“国”、“梦”然后求出结果即可．【详解】依题意得：解得：“中”表示的数为：，“梦”表示的数为：，“国”表示的数为：，所以“中国梦”这三个字表示的数之和为：，故答案为：【点睛】本题考查了有理数的加减运算的实际应用；根据每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，建立方程求出x是解此题的关键．变式3．（2023·河北唐山·统考二模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方．

（1）若，则A处的数值为________；（2）①用含m的代数式表示________；②x的值为________【答案】1【分析】（1）由题意得，再将代入，即可得答案；（2）先根据每个三角形三个顶点处的数之和相等求出A、B，即可得到答案．【详解】（1）由图可知，每个三角形三个顶点处数的和是，∴，∵，∴，∴，故答案为：1；（2）①；②．故答案为：①，②．【点睛】本题考查有理数的加法，解题的关键是利用每个三角形三个顶点处的数之和相等解决问题．考点6、有理数加法的运用（新定义）【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.例1．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）对于一个非整数的有理数（为整数），我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数．例如，，，．则使成立的的取值范围为（

）A． B．C．且 D．以上答案都不对【答案】A【分析】根据选项的特点，选择特殊的值代入，然后利用排除法求解即可．【详解】解：取，，，∴，不符合题意，排除B、C；取，，，∴，符合题意，∵故选：A．【点睛】题目主要考查有理数的加法运算，理解新定义的运算是解题关键．例2．（2022秋·北京通州·七年级统考期中）用符号表示a，b两个有理数中的较大的数，用符号表示a，b两个有理数中的较小的数，则的值为________．【答案】【分析】先根据新符号的定义化简所求式子，再计算有理数的加法即可得．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握理解新符号的定义是解题关键．变式1．（2022秋·重庆·七年级校考期中）对有理数a、b定义新运算如下：，则_________．【答案】/【分析】根据，用3的相反数加上的倒数，求出的值，进而求出的值即可．【详解】解：∵，∴，∴；故答案为：；【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是弄清楚运算“”的运算方法．变式2．（2022秋·七年级单元测试）设表示不超过的最大整数，计算：______．【答案】3【分析】根据题中所给新定义运算可进行求解．【详解】解：∵表示不超过的最大整数，∴，∴；故答案为3．【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键．变式3．（2022秋·重庆七年级课时练习）古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数，我们注意到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：，则写成两个埃及分数的和的形式为为=___________．【答案】【分析】根据题目给出的埃及分数的定义，即可解答．【详解】解：∵只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的加法，读懂题目，明确埃及分数的定义是解决本题的关键．A级（基础过关）1．（2023·天津西青·统考二模）计算的结果等于（

）A． B．5 C． D．9【答案】C【分析】根据有理数的加法法则处理．【详解】，故选C．【点睛】本题考查有理数的加法法则；熟练掌握法则，注意和的符号的确定是解题的关键．2．（2023·江苏南通·统考一模）手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（

）A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元【答案】B【分析】根据有理数的加法法则计算即可．【详解】解：（元），即小颖当天微信收支的最终结果是收入6元．故选：B．【点睛】本题考查正负数的意义，掌握有理数的加法运算法则是解题关键．3．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），图（1）表示的是的计算过程，则图（2）表示的计算过程是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由白色算筹表示正数，灰色算筹表示负数，即可列式计算．【详解】解：由题意可得：图（2）表示的计算过程是，故选B．【点睛】本题考查正负数的表示，关键是明白白色算筹表示正数，灰色算筹表示负数．4．（2022秋·河北邢台·七年级金华中学校考阶段练习）在计算时，按照有理数加法法则，需转化成（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据有理数的加法法则计算即可求解．【详解】解：=，故选：A．【点睛】本题考查了有理数的加法，关键是熟练掌握异号两数相加的计算法则．5．（2022秋·广东七年级期末）在计算时，佳佳的板演过程如下：解：原式．老师问：“佳佳同学在解答过程中运用了哪些运算律？”甲同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法交换律”；乙同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法结合律”；丙同学回答说：“佳佳在解答过程中既运用了加法交换律，也运用了加法结合律”．下列对甲、乙、丙三名同学说法判断正确的是（

）A．甲同学说的对B．乙同学说的对C．丙同学说的对D．甲、乙、丙说的都不对【答案】C【分析】根据加法运算律的定义进行解答即可．【详解】解：由到既运用了加法交换律，也运用了加法结合律，所以丙同学说的对，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了加法的交换律和结合律，熟记加法交换律和结合律，，，是解题的关键．6．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）下列是运用有理数加法法则计算思考、计算过程的叙述：①和2的绝对值分别为5和2；②的绝对值5较大；2的绝对值2较小③是异号两数相加；④结果的绝对值是用得到；⑤计算结果为；⑥结果的符号是取的符号－－负号；请按运用法则思考、计算过程的先后顺序排序（只写序号）：______．【答案】③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤【分析】根据有理数的加法法则，按照有理数加法法则的计算顺序逐个判断即可.【详解】解：根据有理数加法法则：应该先看两数符号是否相同，故应先③，若符号不同，再看两数的绝对值，故再①，然后再比较绝对值的大小，故再②，然后再确定结果的绝对值与结果的符号，故再④⑥或⑥④；最后得出结果，故最后为⑤；综上分析可知，计算过程的先后顺序排序为③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤．故答案为：③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤．【点睛】本题考查有理数的加法法则，熟练掌握并理解加法法则的含义是解题的关键．7．（2022秋·山东青岛·七年级校考阶段练习）如果，，且，那么的值是___________．【答案】4或2【分析】根据题意得出和的值，然后得出结论即可．【详解】解：，，且，，或，，或2，故答案为：4或2．【点睛】本题主要考查绝对值和有理数加法的计算，熟练掌握有理数加法的计算是解题的关键．8．（2023·重庆·九年级专题练习）如图的数轴上表示整数的点部分被墨迹盖住，那么被盖住的点表示整数的和为_________．【答案】【分析】根据题意得到被盖住的整数为，再相加即可求解．【详解】解：根据题意得：被盖住的整数为，∴被盖住的整数的和为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减混合运算法则是解题的关键．9．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）我国新疆大部分地区春夏和秋冬之交温差极大，故历来有“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”之说．如果其某地某天的最低气温为，且全天最大温差为30℃，那么当天的最高气温是_________℃．【答案】25【分析】根据题意，最低气温加上温差即为最高气温．【详解】解：，故答案为：25．【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．10．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知，，且，则的值为______．【答案】12或2【分析】根据绝对值的性质，得到或，或，由因为，确定或，代入求值即可得到答案．【详解】解：，，或，或，，，或，，或2，故答案为：12或2【点睛】本题考查了绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．11．（2022秋·福建福州·七年级校考期中）在计算“”时，小明同学的做法如图所示，其中步骤①所运用的运算法则或运算律是_______．①_________，同号两数的加法法则异号两数的加法法则【答案】加法结合律【分析】根据解题步骤可直接得出答案．【详解】解：，这一步所运用的运算法则或运算律是加法结合律，故答案为：加法结合律．【点睛】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握加法结合律是解题的关键．12．（2022秋·河南郑州·七年级校考阶段练习）（1）如图，下面两个图分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入它所在数集的圈里．3.5，，0，，，3，，．（2）在（1）图中两个圈的重叠部分表示____________数的集合．（3）列式并计算：在（1）的数据中，求最大的数与最小的数的和．【答案】（1）见解析（2）负分（3）【分析】（1）根据负数和分数的定义分类即可；（2）两个圈重叠的部分表示负分数集合；（3）最大的数为3.5，最小的数为，计算即可．【详解】（1）解：根据题意可得：（2）这两个圈的重叠部分表示负分数集合；故答案为：负分；（3）在（1）的数据中，最大的数为3.5，最小的数为，．【点睛】本题考查有理数的运算和有理数的分类；熟练掌握有理数的分类，并能准确对有理数的加减法进行运算是解题的关键．13．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）计算(1)(2)(3)(4)【答案】(1)0.6(2)(3)(4)【分析】（1）利用有理数的加法运算法则直接计算即可得到答案；（2）利用有理数的加法运算法则直接计算即可得到答案；（3）利用有理数的加法运算律进行简便计算，即可得到答案；（4）利用有理数的加法运算律进行简便计算，即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．14．（2022秋·江苏·七年级专题练习）计算：(1)3+（−10）+9+（−12）+7(2)（−0.19）+（−3.27）+（+6.19）+（−5）+2.27(3)1+（−2）++(4)4.4+（−）+（−7）+（−3）+（−2.4）【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）把同号的两数与互为相反数的两数先加，再进行计算即可；（2）把和为整数的两个数先加，再进行即可；（3）把和为整数的两数先加，再计算即可；（4）把和为整数的两数先加，再计算即可；【详解】（1）解：3+（−10）+9+（−12）+7；（2）（−0.19）+（−3.27）+（+6.19）+（−5）+2.27=0；（3）1+（−2）++=0；（4）4.4+（−）+（−7）+（−3）+（−2.4）【点睛】本题考查的是有理数的加法运算，有理数的加法的运算律，运算法则为：同号的两数相加，取与加数相同的正负号，再把绝对值相加，绝对值不相等的异号的两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0，0与一个数相加仍得这个数；掌握与理解法则是解本题的关键．15．（2022秋·河南信阳·七年级校考阶段练习）用简便的方法计算：(1)；(2)．【答案】(1)0(2)0【分析】（1）利用加法结合律计算即可；（2）将分数化为小数，再用加法结合律计算即可．【详解】（1）；（2）【点睛】本题考查有理数的加法运算．利用加法结合律计算是解题关键．16．（2023秋·湖南常德·七年级校联考期末）已知箱苹果，以每箱千克为标准，超过千克的数记为正数，不足千克的数记为负数，称重记录如下：(1)求箱苹果的总重量．(2)若每箱苹果的重量标准为（千克），则这箱有几箱不符合标准的？【答案】(1)千克(2)3【分析】（1）根据有理数加法求解即可；（2）根据每箱苹果的重量标准为（千克），利用各数与比较得出答案即可．【详解】（1）解：（千克）（2）解：∵每箱苹果的重量标准为（千克），∴称重记录范围为千克之间，∵，，不在千克之间∴这箱有箱不符合标准．【点睛】此题考查了正负数的应用，有理数的加减的应用以及有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．B级（能力提升）1．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）若“”的值为负数，则“□”不可能是（

）A．－1 B．0 C． D．3【答案】D【分析】根据有理数的加法运算法则逐项求解即可．【详解】解：A、当“□”为时，，故A选项不符合题意；B、当“□”为0时，，故B选项不符合题意；C、当“□”为时，，故C选项不符合题意；D、当“□”为3时，，故D选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了有理数的加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则．2．（2023·河北·模拟预测）若两个非零的有理数a、b，满足：，，，则在数轴上表示数的点正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据，及a、b为非零数，得出，根据得出的绝对值比大，在数轴上表示出来即可．【详解】解：∵，，a、b为非零数，∴由∵，∴，故选：A．【点睛】本题考查了数轴，有理数的加法以及大小比较，关键是根据已知条件判断a，b的范围．3．（2021秋·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）已知两个有理数，那么a+b与a，必定是（

）A． B． C． D．以上都不对【答案】D【分析】根据有理数加减法即可判断每个选项是否正确．【详解】解：当时，，故A选项错误；当时，，故B选项错误；当，时，，此时，故C选项错误，故选：D．【点睛】本题考查有理数的加减运算和大小比较，注意：和可能会比加数小．4．（2022秋·广东中山·七年级期中）下列变形，运用加法运算律正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据有理数加法的交换律与结合律逐项判断即可得．【详解】解：A．，则此项错误，不符合题意；B．，则此项正确，符合题意；C．，则此项错误，不符合题意；D．，则此项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握有理数加法的交换律与结合律是解题关键．5．（2022秋·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）一名粗心的同学在进行加法运算时，将“”错写成“”进行运算，这样他得到的结果比正确答案（

）A．少5 B．少10 C．多5 D．多10【答案】B【分析】根据有理数的加法运算法则判断即可．【详解】根据题意可得，，∴他得到的结果比正确答案少10．故选：B．【点睛】此题考查了有理数的加法运算法则，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则．6．（2022秋·广东东莞·七年级校考期中）计算：______．【答案】【分析】首先把数字分组：，算出有多少个相加即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查有理数的加法运算，注意数字合理分组，按照分组后的规律计算得出结果即可．7．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）“幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为______．【答案】【分析】先计算出行的和，得各行各列以及对角线上的三个数字之和均为，则，即可得．【详解】解：∵，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的加减，解题的关键是理解题意和掌握有理数加减运算的法则．8．（2022秋·辽宁大连·七年级统考期末）观察下面*运算的运算结论．，；，；；．…根据观察，归纳＊运算的运算法则为：“两数相，同号得正，异号得负，______；特别地，0和任何数运算或任何数和0运算，都得这个数的绝对值．”【答案】并把绝对值相加【分析】根据题目中的运算，得出结论即可．【详解】解：＊运算的运算法则为：“两数相，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．故答案为：并把绝对值相加．【点睛】本题主要考查了有理数加法运算法则，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则．9．（2022秋·全国·八年级专题练习）某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A同学只负责项目①，B同学只负责项目②，C同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表：项目时间分钟组别①调整桌椅（A同学）②扫地（B同学）③拖地（C同学）第一组543第二组654第三组432若每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作，则将三个组都打扫干净至少需要___分钟．【答案】17【分析】先找出项目①和项目②完成最少时间，在加上项目③最少的时间即可得．【详解】解：项目①和项目②完成最少时间需要：5+6+4=15（分钟），在这15分钟内，项目③最多完成两组的拖地，剩下最少时间第三组，则15+2=17（分钟），故答案为：17．【点睛】本题考查了有理数的加法的应用，解题的关键是掌握有理数加法的应用．10．（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）计算的值为___________．【答案】/【分析】根据原式的每一项都写成两项之差，然后再进行计算即可得．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了分数的运算，熟练掌握是解题的关键．11．（2022秋·河北廊坊·七年级校考阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读并解答题目后提出的探究问题．第一步：【提出问题】三个有理数满足，求的值．第二步：【解决问题】解：由题意三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，①当都是正数，即、、时，则：．②当有一个为正数，另两个为负数时，设、、，则：．所以的值为或．第三步：【探究问题】请根据上面的解题思路解答下面的问题：三个有理数满足，求的值．【答案】或【分析】根据材料的解题思路，对分情况讨论即可得出结果．【详解】解：∵，∴都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，①当都是负数，即，，时，则，②当有一个为负数，另两个为正数时，设，，，则；∴的值为或．【点睛】本题考查了绝对值的性质，有理数的乘法法则，运用分类讨论的数学思想是解题的关键．12．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服．后人称之为“洛书”（如图1所示），即现在的三阶幻方．(1)请将1～9这九个数按照“洛书”表达的意思填在三行三列的数表中（图2），使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．(2)将，，0，1，2，3，4，5，6填入到图3的方格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等．(3)图4是一个不完整的幻方，请将你认为正确的7个整数填入表格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等．(4)请将1-16剩余数字填入到图5的表格中，使得每行、每列、斜对角的四个数之和相等，构成四阶幻方．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）由图直接填表即可；（2）这批数据是1-9的数据减去3得到，由此可填入表格；（3）可先确定和为24，则可得出中间数为8，从而可逐步求出其它格的数，即可求解；（4）正向，从左往右，位于对角线上的数字就写上去．从左往右数，1、2、3、4，其中1在对角线上，4也在对角线上，把它们写上去．继续数，5、6、7、8，其中6和7也在对角线上，把它们写上去．9、10、11、12，其中的10和11也在对角线上，写上去．再继续数，13、14、15、16，其中的13和16也在对角线上，把它们写上去．剩下的数字就反向填写，从右往左数，剩下的空格数到几就填上几．方法和刚才的一样，只是反向操作．1、2、3、4，其中2和3有位置，填上去．继续数，5、6、7、8，其中的5和8有空位可以填上去．继续，9、10、11、12，其中9和12有空位，填上去．继续数，13、14、15、16，其中14和15有空位，可以填上去．这样，每列、每行、对角线的四个数字加起来的和都是34．这样，这道题就完成了．【详解】（1）解：如表所示，492357816（2）解：如表所示，1602453（答案不唯一）（3）解：如表所示，913218151437（答案不唯一）（4）解：如表所示，11514412679810115133216（答案不唯一）【点睛】本题考查了有理数加法，熟知三阶幻方与四阶幻方的填法是解题的关键．13．（2023秋·湖北随州·七年级统考期末）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过7个停靠站，最后到达终点站，下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数．停靠站起点站中间第1站中间第2站中间第3站中间第4站中间第5站中间第6站中间第7站终点站上下车人数00(1)中间第2站上车人数是______人，下车人数是______人，开车时车上人数是______人；(2)中间的7个站中，第______站没有人上车，第______站没有人下车，第______站上车人数与下车人数相同；(3)从表中你还能知道什么信息？请说出一条即可．【答案】(1)，，(2)，，(3)见解析【分析】（1）根据表格数据根据正负数的意义，有理数的加减进行计算即可求解；（2）观察表格中数据，正数表示上车人数，负数表示下车人数，0表示没有人上车和下车，根据绝对值的意义得出上车人数与下车人数相同；（3）根据表格数据比较，得出第5站下车的人数最多，第1站上车的人数最多，第2站上车人数比下车人数多3人，等等，答案不唯一【详解】（1）解：根据表格上的数据可知：中间第2站上车人数是人，下车人数是4人，开车时车上人数是：人故答案为：，，．（2）解：中间的7个站中，第7站没有人上车，第3站没有人下车，第4站上车人数与下车人数相同故答案为：，，．（3）答案不唯一，如：从表中可以知道，中间的7站中，第5站下车的人数最多，第1站上车的人数最多，第2站上车人数比下车人数多3人．【点睛】本题考查正负数的意义，绝对值的意义，有理数的加减的应用，根据题意列出算式是解题的关键．14．（2022秋·山东烟台·六年级统考期中）阅读材料：对于可以如下计算：原式．上面这种方法叫拆数法，仿照上面的方法，请你计算：．【答案】【分析】先将每一个带分数拆为整数和真分数两部分，再分别相加，最后求出结果，即可求解．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，理解阅读材料中拆数法是解题的关键．15．（2022秋·河南信阳·七年级校考期中）对于一个数x，我们用表示小于x的最大整数，例如，．(1)填空：__________；__________；___________．(2)若a，b都是整数，且和互为相反数，求的相反数．【答案】(1)9，，0(2)的相反数为【分析】（1）根据的定义求得即可；（2）根据的定义求得，可得结论．【详解】（1），，故答案为：9，，0；（2），与互为相反数∴∴∴的相反数为．【点睛】本题考查了有理数的大小比较和相反数的定义，根据的定义确定其结果是解题的关键．C级（培优拓展）1．（2022秋·浙江金华·七年级统考阶段练习）若，，且，则的值（）A．大于B．小于C．大于或等于D．小于或等于【答案】A【分析】由，，得到，则，由于，于是有，即可得到答案．【详解】解：∵，，即，∴，而，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则．2．（2023秋·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，数轴上依次有，，，，五个点，其中，，三点所表示的数分别为，，，且．如果有，，，那么该数轴原点的位置应该在（）A．点在线段（不包括端点）上 B．点在线段（不包括端点）上C．点在线段（不包括端点）上 D．点在线段（不包括端点）上【答案】C【分析】根据有理数的加法法则以及数轴上的点进行判断即可求解．【详解】解：依题意，，，，∴同为负号，异号，∴，∴原点在之间，∵，∴的绝对值大于的绝对值，即点到原点的距离大于到原点的距离∴该数轴原点的位置应该在点在线段（不包括端点）上，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的加法法则以及数轴上的点，绝对值的意义，数形结合是解题的关键．3．（2022秋·江苏常州·七年级校考阶段练习）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么原点的位置可能是（）A．线段AM上，且靠近点A B．线段AB上，且靠近点BC．线段BM上，且靠近点B D．线段BM上，且靠近点M【答案】A【分析】由点A，B，M的位置可知，a和b的符号相反，则a＜0＜b，且|a|＜|b|，结合数轴的定义，可知原点一定在AB上，且靠近点A．【详解】解：由点A，B，M的位置可知，且BM＜AM，∴b﹣（a+b）＜（a+b）﹣a，即﹣a＜b，∴|a|＜|b|，∴a+b＞0，∴原点一定在AM上，且靠近点A．故选：A．【点睛】本题主要考查数轴的作用之一，数轴表示数，实数的加法法则等内容，本题的关键是利用有理数的加法法则得出a＋b的符号是解题关键．4．（2023·江苏常州·统考二模）如图，将数轴上与8两点间的线段六等分，五个等分点所对应的数依次为，，，，，则______0（填“>”、“=”或“<”）．【答案】>【分析】先计算两点间的距离，再计算每段的长度，运用平移思想计算出，，，，分别表示的数，计算判断即可．【详解】∵数轴上与8的距离为，且轴上与8两点间的线段六等分，∴每段长度为，∴，，，，，∴，故答案为：>．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，平移计算各点表示的数，熟练平移思想是解题的关键．5．（2023秋·北京平谷·七年级统考期末）黑板上写着7个数，分别为：，a，1，13，b，0，，它们的和为，若每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加上1），这样操作若干次，直至黑板上只剩下一个数，则所剩的这个数是____________．【答案】【分析】操作一次，黑板上的数字个数减少1个，数字总和增加1．经过次操作，剩下的一个数是，据此解答即可．【详解】解：∵每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加1），∴操作一次，黑板上的数字个数减少1个，数字总和增加1，（次），∴剩下的这个数是．答：剩下的这个数是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了有理数的加法，理解“黑板上的数字个数减少1个，数字总和增加1”是解题的关键．6．（2022秋·浙江嘉兴·七年级校联考期中）爱动脑筋的小明同学设计了一种“幻圆”游戏，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将，，7，这四个数填入了圆圈，则图中的值为__．【答案】或【分析】根据横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等得到内圈的空白处数字是1，进而得到a、b和外圈数字的关系，即可得到的值．【详解】解：设外圆空白的数为，内圆空白的数为，∴，，∴，∴，∴，由题意可知，、、三个数从3、和5选择，①当，，时成立，此时；②当，，时成立此时，综上的值为或．故答案为：或．【点睛】本题考查有理数的加法，能够正确进行有理数的加法是解题关键．7.（2022·浙江嘉兴市·七年级期末模拟）实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻的可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计