湖南省永州市竹山桥镇中学高三数学理测试题含解析

湖南省永州市竹山桥镇中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知则x,y之间的大小关系是（

）A.

B.

C.

D．不能确定参考答案：答案：C2.榫卯（）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构.图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为A．

B．C.

D．参考答案：C依题意，该几何体由一个长方体和一个圆柱体拼接而成，故其体积；表面积.3.设f(x)是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】根据不等式的特点构造函数，再利用导数研究函数的单调性，进而解不等式.【详解】令，∵是定义在上的奇函数，∴是定义在上的偶函数，当时，，由，得，∴，则在上单调递减将化为，即，则.又是定义在上的偶函数，∴在上单调递增，且.当时，，将化为，即，则.综上，所求不等式的解集为.故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、奇偶性进行不等式求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键在于根据的给不等式的特点，构造新函数，且所构造的函数能利用导数研究单调性，难度较大.4.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】等比数列的前n项和．

【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{an}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴，解得．∴．故选C．【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．5.如图所示，两个不共线向量,的夹角为，分别为与的中点，点在直线上，且，则的最小值为

参考答案：B6.数列{an}满足，则数列{an}的前20项的和=(

)A．－100

B．100

C．－110

D．110参考答案：A7.设，，若，，，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知函数y=f（x）是R上偶函数，且对于?x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0.3]，且x1≠x2时，都有＞0．对于下列叙述；①f（3）=0；

②直线x=﹣6是函数y=f（x）的一条对称轴；③函数y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为增函数；

④函数y=f（x）在区间[﹣9，9]上有四个零点．其中正确命题的序号是（）A．①②③ B．①② C．①②④ D．②③④参考答案：C【考点】抽象函数及其应用；命题的真假判断与应用．【分析】分析4个命题，对于①，在用特殊值法，将x=﹣3代入f（x+6）=f（x）+f（3）中，变形可得f（﹣3）=0，结合函数的奇偶性可得f（3）=f（﹣3）=0，可得①正确；对于②，结合①的结论可得f（x+6）=f（x），即f（x）是以6为周期的函数，结合函数的奇偶性可得f（x）的一条对称轴为y轴，即x=0，可得直线x=﹣6也是函数y=f（x）的一条对称轴，可得②正确；对于③，由题意可得f（x）在[0，3]上为单调增函数，结合函数是偶函数，可得f（x）在[﹣3，0]上为减函数，又由f（x）是以6为周期的函数，分析函数y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]的单调性可得③错误；对于④，由①可得，f（3）=f（﹣3）=0，又由f（x）是以6为周期的函数，则f（﹣9）=f（9）=0，即函数y=f（x）在区间[﹣9，9]上有四个零点，④正确；综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析命题，对于①，在f（x+6）=f（x）+f（3）中，令x=﹣3可得，f（3）=f（﹣3）+f（3），即f（﹣3）=0，又由函数y=f（x）是R上偶函数，则f（3）=f（﹣3）=0，则①正确；对于②，由①可得，f（3）=0，又由f（x+6）=f（x）+f（3），则有f（x+6）=f（x），即f（x）是以6为周期的函数，又由函数y=f（x）是R上偶函数，即f（x）的一条对称轴为y轴，即x=0，则直线x=﹣6也是函数y=f（x）的一条对称轴，②正确；对于③，由当x1，x2∈[0，3]，都有＞0，可得f（x）在[0，3]上为单调增函数，又由函数y=f（x）是R上偶函数，则f（x）在[﹣3，0]上为减函数，又由f（x）是以6为周期的函数，则函数y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为减函数，③错误；对于④，由①可得，f（3）=f（﹣3）=0，又由f（x）是以6为周期的函数，则f（﹣9）=f（﹣3）=0，f（9）=f（3）=0，即函数y=f（x）在区间[﹣9，9]上有四个零点，④正确；正确的命题为①②④；故选C．9.如图所示的程序框图输出的结果(

)A.7

B.9

C.11

D.13参考答案：C【知识点】算法与程序框图L1第一次循环：b=3，a=2；第二次循环得：b=5，a=3；第三次循环得：b=7，a=4；

第四次循环得：b=9，a=5；不满足判断框中的条件输出b=9．

∵=的展开式的通项为：Tr+1==令3-r=0得r=3∴常数项为(-1)3?33=-540．【思路点拨】根据题意，分析该程序的作用，可得b的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，分析可得常数项．10.已知函数，则不等式的解集为（

）． A． B． C． D．参考答案：D解：∵，∴，当时，，∴，当时，，∴，综上所述，的解集为．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知奇函数f(x)在(－∞,0)上单调递减，且，则不等式的解集是

．参考答案：(－2,0)∪(1,2)∵函数f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上单调递减，∴f（x）在（0，+∞）上也单调递减，又∵函数f（x）为奇函数且f（2）=0，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0∴不等式等价于①或②解得：x∈（﹣2，0）∪（1，2），故答案为：（﹣2，0）∪（1，2）．

12.函数的递增区间是__________。参考答案：13.曲线与所围成的图形的面积是

.参考答案：略14.把数列的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则可记为_________

参考答案：略15.在△中，已知，，分别为，，所对的边，且，，，则等于

。(用角度表示)参考答案：或略16.设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为． 参考答案：[﹣2，1]【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则A（1，1），B（2，4）， ∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1， ∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4， 经过点A时取得最小值为a+1， 若a=0，则y=z，此时满足条件， 若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0， 要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值， 则目标函数的斜率满足﹣a≥kBC=﹣1， 即0＜a≤1， 若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0， 要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值， 则目标函数的斜率满足﹣a≤kAC=2， 即﹣2≤a＜0， 综上﹣2≤a≤1， 故答案为：[﹣2，1]． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题． 17.某校高三（1）班有学生40人，高三（2）班有学生32人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出9人参加某项调查，则高三（1）班被抽出的人数是_______.参考答案：5

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知中，内角的对边分别为，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求的面积．参考答案：（Ⅱ）由（I）知，∴

∵，由正弦定理得∴

19.已知数列中，．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设，若，使成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）略（2）（3）试题分析：（Ⅰ）证明：∵，∴．∵，∴．∴．∴数列是首项、公比均为2的等比数列．………4分（Ⅲ）解：∵，∴．………………10分∴故．…………11分若，使成立，由已知，有，解得，所以的取值范围为．……………………13分考点：累加法求数列通项公式，裂项相消法数列求和，恒成立问题.【方法点睛】证明数列为等比数列，就是证明数列的后一项与前一项的比为同一个常数，证明时千万注意题目的暗示，谁是等比数列？证明什么？目标明确了，就有了证明的方向.掌握求数列的通项公式的基本方法，特别是累加与累乘法及构造法，是高考常见考法，数列求和常用方法有分组求和法、倒序相减法、裂项相消法、错位相减法等，而近年高考命题中的数列求和，则偏向分析法分组求和.20.（本小题满分12分）在正项数列中，.对任意的，函数满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.参考答案：（Ⅰ）求导得，由可得，又，故数列为等比数列，且公比. ……………..3分由得，所以通项公式为. ………..6分（Ⅱ）

①

②①-②得， ……………..12分21.本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙、丙做对的概率分别为和(＞)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(Ⅰ)求，的值；（Ⅱ)记事件{函数在区间上不单调}，求；（Ⅲ）令，试计算的值.参考答案：解：设事件={甲做对}，事件={乙做对}，事件={丙做对}，由题意知，.（Ⅰ）由题意知，

，整理得：，.由，解得，.

……………………4分（Ⅱ）由题意知，…………5分函数在区间上不单调，对称轴，或…………7分…………