新教材2022版数学湘教版必修第一册提升训练：第3章　函数的概念与性质 本章达标检测

本章达标检测

（满分：150分;时间：120分钟）

一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.在下列图形中，表示函数关系产Hx）的是（）

2.函数/10)、缶+、9-%2的定义域为()

A.(-3,-1)U(-1,3)

B.(-3,-1)U(3,+8)

C.[-3,3]

D.(-1,3]

3.函数尸2才+41-3%的值域是()

+8)

C-(一8,H]D-[[2?+°°

%2,x>1,

4.已知函数f{x）=■(4--1,x<1,若Hx）是R上的增函数,则实数

a的取值范围为（）

A.(1,+8)B.[4,8)

C.[1,4)D.[2,8)

5.已知定义在R上的偶函数F(x),对任意的为,为£(-8,0),都有

(的-莅)"(豆)-〃莅)]<0,/(-1)=0,则不等式xf｛x)<0的解集是

()

A.(-1,1)

B.(-°°,-1)U(1,+8)

C.(-1,0)U(l,+oo)

D.(—,-1)U(0,1)

6.函数=1尸可以表示为奇函数力(x)与偶函数g(x)的和，则

g(l)等于()

A.-2B.0

C.1D.2

7.定义在上的函数Hx)满足下列两个条件:①对任意的xR

[-L,1],都有/■(-x)f(x);②对任意的m,后[0,1],当mWn时,都有

/碗)力％0,则不等式Ri-2x)+f(「x)〈0的解集是()

m-n

A.(0,-)B.-

2/\23J

C.卜1,I)D,[o,I)

8.形如的函数因其图象类似于汉字“冏”，故被称为“冏函

1%|-1

数”，则下列说法正确的个数为()

①函数f｛x｝的定义域为｛引xWl｝；

②"(2020)]=-造；

③函数/'(x)的图象关于直线产1对称；

④当XW("I,1)时，/1(x)max=T；

⑤函数g(x)=f(x)-*+4的图象与X轴有4个交点.

A.2B.3

C.4D.5

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给

出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对

的得2分,有选错的得0分)

9.已知/'⑸=名,则下列说法正确的有()

A.F(x)为奇函数

B.Mx)的值域是[T,l]

CF(x)在上单调递增

D.f(x)的值域是(-00,-1]U[1,+8)

10.我们称具有性质的函数为满足“倒负”变换的函数,

则下列函数中满足“倒负”变换的函数是()

A.f(x)=2*

B.f(x)-x-

X

C.f{x)=x+-

X

1%,0<%<1

Di(x)=|o，％=l

[上,%>1

11.假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前

者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者.现在我们来研究

捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量用

X&)表示,被捕食者的数量用火力表示.如图描述的是这两个物种随

时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法不

正确的是（）

刈（单位:分）

1015202530珀)(单位:万)

A.若在看1、4时亥满足p（方i）=p（方2）,贝：x（）J=x（方2）

B.如果火力的数量是先上升后下降的，那么工⑺的数量也一定是先

上升后下降的

C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时达到最大值或最小值

D.被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时,捕食者的数量也会达到

最大值

12.已知/■5）七2丫1+6；）之0,若互不相等的实数吊满足

13%+4,%<0,

F（X1）=F（X2）»（X3）,且荀〈为〈吊,则下列说法正确的是（）

A•为鸣，。）

B.荀+苞+吊的取值范围为（日，6）

C.七+舄=6

D.为+苞=0

三、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.将答案填在题中

横线上）

13.已知函数f（x）=1a/+6x（a,8wR）,若f⑴=3,则F（T）的值

为.

14.若函数f{x)=(a-2)x+2(a-2)A-4的定义域为R,值域为(-8,0],

则满足条件的实数a组成的集合是.

15.已知f（x）是定义在[T,1]上的奇函数且f⑴=2,当为、苞£[-1,1],

且为+苞力0时，有"久】）+"⑹>0,若“工）与/2_2a疗5对任意x£

久1+久2

[-1,U,a£[-1,1]恒成立,则实数加的取值范围是.

16.设函数Hx）的定义域为（0,+8）,满足F（x+l）qax）,且当xR

（。，小业打上匕斗则当x£（0,1]时,f（x）的最小值为；若

X

对任意xQ（0,加（力>0）,都有F（x）81恒成立，则实数m的最大值

是.（本小题第一空2分,第二空3分）

四、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）已知函数—W+2|x|.

⑴判断函数Hx）的奇偶性；

⑵将函数Mx）写成分段函数的形式，在如图所示的坐标系内作出函

数的图象,并直接写出单调区间.

--,

18.(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0

时，f(x)=x+Al.

X

⑴求Hx)在R上的解+析式；

⑵判断f(x)在(0,1)内的单调性,并给出证明.

19.(本小题满分12分)2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥一

一港珠澳大桥正式通车.在一般情况下,大桥上的车流速度”单位:千

米丽)是车流密度x(单位:辆汗米)的函数.当桥上的车流密度达到

220辆汗米时，将造成堵塞，此时车流速度为0千米/0寸;当车流密度

不超过20辆汗米时,车流速度为100千米/0寸.研究表明:当20WxW

220时,车流速度M单位:千米4寸)是车流密度x(单位:辆汗米)的一

次函数.

(1)当0WE220时,求函数(x)的表达式；

⑵当车流密度x(单位:辆汗米)为多大时,车流量f(x):x・v(x)可以

达到最大？并求出最大车流量.(注:车流量是指单位时间内通过桥上

某观测点的车辆数,单位:辆洞)

20.(本小题满分12分)已知定义在R上的函数广(才)是单调函数,满足

/(3)=6,且(0(x,yGR).

(1)求广(0),f(l);

⑵判断Hx)的奇偶性；

⑶若对于任意悖，3],都有“底)+f(2『l)<0成立,求实数A的取

值范围.

21.(本小题满分12分)已知一次函数产f(x)满足

f{x~V)=2x+a,.

在所给的三个条件中，任选一个补充到题目中，并作答.

①Ma)=5;②4声fG)；③4H1)-2f(2)=6.

⑴求函数产Hx)的解+析式；

(2)若33=转5)+几/入)+4在［0,2］上的最大值为2,求实数A的值.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

22.（本小题满分12分）如果函数尸Hx）在定义域内给定区间［a,6］上

存在刘（水苞＜6）,满足/U）上誓空那么称函数产Hx）是［a,8］上的

平均值函数，苟是它的均值点.

（1）尸三是不是［-1,1］上的平均值函数？如果是，找出它的均值点，如

果不是，请说明理由；

（2）若函数F（x）=-2*+2〃X+1是［T,1］上的平均值函数,求实数勿的取

值范围.

答案全解全析

一、单项选择题

1.D根据函数的概念知选D.

2.D由题(可9一%/知>0解,得-1〈皿3.故选D.

.____1_2

3.C设/VF0(后0),贝1J户于,

所以尸『"2)1[(寸制

因为方20,且-1〈0,

所以当U时,y取得最大值,且最大值为翌,所以代登,所以函数的值

42424

域为(-8,||.故选C.

4.B因为Mx)是R上的增函数，

(4-->0,

所以彳//八解得4Wa〈8.

故选B.

5.D由于对任意的X,刘6(-8,0),都有(为-吊)"(荀)-/'(莅)]<0,所

以函数F(x)在(-8,0)上为减函数，由于F(x)是R上的偶函数，所以

f(x)在(0,+8)上为增函数,且r(i)=r(-i)=o.画出f(x)的大致图象,

如图所示：

由图可知,不等式xf(x)〈0的解集是(-8,一1)u(0,1).故选D.

6.D•.•力(x)是奇函数，

.,.力(一才)=_力(x),

,..g(x)是偶函数，

g(-X)=g(x),

由题可得力(x)+g(x)=(xT)2①，

h(—x)+g(—x)=(-JV-1)2,

即-力(x)+g(x)=(-xT)之②，

由①+②得2g(x)=(xT)2+(-xT)2=2/+2,

g(x)=*+l,

.,.^•(1)=1+1=2.

故选D.

7.D由①知函数F(x)在［T,1］上为奇函数，且f(0)=0,由②知函数

f(x)在［0,1］上为减函数,所以函数Hx)在［T,1］上既是奇函数,也是

减函数，所以原不等式可变形为1),所以TWxTG-2x

W1,解得0W水|.故选D.

8.B函数的定义域为{x|xW±l},故①错误；

F"(2。2。)］=《焉)=若二-段，故②正确；

2019

易知函数为偶函数,所以其图象关于y轴对称,故③错误；

xH

1f—,%>0且％W1,1

Hx)=:=犷\作出产白7和尸f-4的图象如图

以T-工，％<0且％Mr

V%+1

所示,可知④,⑤正确.故选B.

1

Fl

9.ABC对于选项A,f(x);含的定义域为R,f(-x)=-等,则

xz+l%2+1

F(X)为奇函数,故A正确；

对于选项B,支土，即"*一2才+产0,令/=4-4/20,解得TWy<l,即

f(x)的值域为［-1,1］,故B正确,D错误;

对于选项C,任取药,为£R,且水莅，则

/■(药)-a泾)=孕；-孕；=2巴？?：),当招尼e［一］,J］

时,汽苞)〈0,即f(xb〈f(xD,所以F(x)在［T,1］上单调递增，故

C正确.

故选ABC.

10.BDfQ)=-f(x),即—H=f(x),xWO.

对于A选项,JV=O在定义域内，不符合题意.

对于B选项，-承■)=-(2-%)=x二=f(x),满足“倒负”变换.

\xj\XJX

对于C选项，-《工)=-0+%)=-x二WF(x),不符合题意.

\xj\XJX

对于D选项，当0<JT<1时，工>1,止匕时工)=-(-x)三"f(x);当产1时，工=1,

x\xjX

此时-《，=-f(l)=O=_f(x);当x>l时,0<-<1,此时-《%)=」=f(x),满足

\xjx\xjX

“倒负”变换.

故选BD.

11.ABD由题图可知，曲线上的点纵坐标相等时横坐标未必相等,故A

中说法不正确；

在曲线上半段中观察到y(右)从右到左是先上升后下降的，而才(力从

右到左是不断变小的，故B中说法不正确；

捕食者数量最大时是在题图的最右端，最小时是在题图的最左端,此

时都不是被捕食者数量的最值处，同样当被捕食者数量最大(即题图

的最上端)和最小(即题图的最下端)时，也不是捕食者数量取最值的

时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大值或最小值,

故C中说法正确；

当捕食者数量最大时在题图的最右端,x(»e(25,30),4)e(0,50),

此时二者总和t)+y(t)E(25,80),由题图可知存在

x&)=L0,y㈤=L00,x&)+y(^)=110,所以并不是被捕食者数量与捕食

者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D中说

法错误.

故选ABD.

12.ABC作出f(x)的图象，如图所示.

由图象可知，泾+否=6,故C正确；令3才+4=-3,解得产-(，所以荀金

(-1,0),故A正确;结合上述分析易知为+为+吊的取值范围为(£,6),

故B正确;X,为不一定关于y轴对称，故为+为=0不一定成立.故选ABC.

三、填空题

13.答案-3

解+析易知函数Hx)为奇函数，

.•.r(-i)=-r(D=-3.

14.答案{-2}

解+析当行2吐f(x)=-4,值域是{-4},不符合题意,故舍去;

当aW2时,f(x)W0,

口fa-2<0,

人Ld=4(a-2)2+16(a-2)解得<a--2.

=0,

综上,满足条件的实数a组成的集合是{-2}.

15.答案［-1,1］

解+析)"(x)是定义在［-1,1］上的奇函数,

当X,吊£[-1,1],且荀+为W0时，

/(X1)+/(X2)^Q等价于/(/■)-/(一久2)〉0

Xi+%2?

・••Mx)在[-1,1]上单调递增.

vr(1)=2,.."(x)min=A-i)=-AD=-2.

f{x}2"—24k5对任意e[-1,1],aE[T,1]恒成立，即-22

加J2a疗5对任意aS[T,1]恒成立，

.,./-2azzr3W0对任意[T,1]恒成立.设g(a)=/-2azzr3,

贝加(-1)=m2+2m-3<0,

、1g⑴=m2-2m-3<0,

即...tw辰1,

1-1<m<3,

•••实数"的取值范围是「1,1].

16.答案2V2；y

解+析由F(x)=匕三得f{x)=-+2x,

XX

因为(0,1],所以F(x)」+2x22I-«2x=242,当且仅当二二2工即

X7XX

产子时取等号,所以Hx)的最小值为2V2.

因为r(^+D=|/(^),

所以F(x):#(xT),

因为当(0,1]时,/'(X)='叱金[2V2,+8),

%

所以当x£(l,2]时,『1£(0,1],

33x~l3Lx_lJ3

当XQ(2,3]时，xTe(1,2],^-2e

(0,1],f(x)=-r(^-l)=-AJV-2)=-\—+2(x-2)l;

399LX-2J9

当Xw(3,4]时，尸1e(2,3],T-2e(1,2],e

(0,1],2)=《f(x-3)=《一吃+2(k3)等.

J7乙/乙/人«J乙/

因为乎>粉噂,所以当xW(3,4]时，方七+2(%-3)]=^,解得A=y.

若对任意xR(0,zz?](zz?>0),都有f(x)恒成立,则mWR

o13

所以实数力的最大值为

四、解答题

17.解+析(1)函数Hx)的定义域为R,关于原点对称，(1分)

对于任意的X,=-(-A)2+21-入|=-*+21x|二力»,故f(x)是偶函数.

(3分)

(2)当x20时，f(x)=-*+2|引=-*+2用其图象为开口向下，对称轴为

直线尸1的抛物线的一部分;

当*0时,Mx)=-*+2|x|=-*-2区其图象为开口向下,对称轴为直线

L1的抛物线的一部分.故刈七：；；,鼠十(5分)

作图如下:

（7分）

由图象可知，函数的单调递增区间为(-8,一1),(0,1),单调递减区间

为(-1,0),(1,+8).(10分)

18.解+析⑴设/0,则r>0,

f(-x)=~x--+l,(2分)

X

,."(X)是R上的奇函数，=-/l(»/(0)=0,

/.当JT<0时，f{x)=^+--1;

X

当产0时，f(0)=0.(5分)

%+|+1,%>0,

0,%=0,(6分)

%+--1,%<0.

(%

⑵函数在(0,1)内单调递减.(7分)

证明：在(0,1)内任取为，Xz,且为〈为，

则fU)"⑴=(莅+户)-(%2+41)

二荀一汽一Xi-%2

Xi%2

二"）.累，（8分）

当0〈8〈为〈1时，为一为〈0,x为一1〈0,

无为>0,(10分)

所以/(^1)-/(^2)>0,即f(x»f(xD,

所以函数在(0,1)内单调递减.(12分)

19.解+析⑴由题意可得，当0WxW20时，Mx)=100.(2分)

当20<^<220时，设u(x)=Hx+6(aW0),

则”20)=20a+b=100,解得,=-3，但分)

tv(220)=220a+b=0,lb=110,

MOO,0<%<20,

所以“(叫-。+110,20<%<220.(6分)

I2

⑵由⑴得F(x)=x・v(x)=

,100%,0<%<20,

-/+no%20<%<220."分)

I2

当0WxW20时,f(x)=100x为增函数,所以f(x)的最大值为f(20)=2

000;(9分)

当20<JT<220时，”X)=-巳/+110户一巳(尸110)2+6050,则当产H0

时,Hx)取得最大值，且Hx)的最大值为/1(no)=6050.(n分)

综上所述,当车流密度为110辆汗米时,车流量最大,最大车流量为6

050辆/0寸.(12分)

20.解+析(1)令产0,得Ao+y)=r(o)+r(y),即Ay)=^(0)+r(y),

.•"(0)=0.(1分)

vr(3)=r(i+2)=r(D+r(2)=r(D+AD+AD=3AD=6,.*.r(i)=2.(3

分)

⑵令产-X,则[x+(-X)]=F(x)+F(-x)=0,(5分)

•，.f(-x)=-f(x),

函数f(x)是奇函数.(6分)

⑶'"(x)是奇函数,且fUx2)+f(2x-l)<0在才4,3]上恒成立，

/.f(kx)<Al-2jf)在倬，3]上恒成立,且HO)=0"⑴=2,

・••Mx)在R上是增函数，(8分)

.,.加2x在jre[1,3]上恒成立，

••・"〈O'G)在3]上恒成立，(10分)

令g("y"G)Gi)2T・

•T-

2

3X

g(x)min=g(l)=-1,

AK-l,

即实数k的取值范围为(-8,t).(12分)

21.解+析设f(^)=kx+b(kfO),贝I]^r(jr-l)+b=2x+a,