253向量数量积的坐标表示利用数量积计算长与角课件4

向量数量积的坐标表示利用数量积计算长度与角度必备知识·自主学习平面向量数量积的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).【思考】由向量长度的坐标表示,能否得出平面内两点间的距离公式?提示:设A(x1,y1),B(x2,y2),那么=(x2-x1,y2-y1),由向量长度的坐标表示可得|AB|=||=【根底小测】1.辨析记忆(对的打“√〞,错的打“×〞)(1)假设两向量满足a·b<0,那么两向量的夹角θ一定是钝角; (

)(2)假设a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么向量a,b的夹角θ满足

(

)(3)假设A(1,0),B(0,-1),那么 (

)(4)假设△ABC是直角三角形,那么 (

)提示:(1)×.两向量满足a·b<0,两向量的夹角θ也可能是平角.(2)×.当a≠0且b≠0时,向量a,b的夹角θ满足即向量夹角公式的适用范围是a≠0且b≠0.(3)√.由两点间的距离公式,得(4)×.△ABC是直角三角形,三个角都有可能是直角,不一定就是角B.2.向量a=(-4,7),向量b=(5,2),那么a·b的值是 (

)

【解析】选D.因为a=(-4,7),b=(5,2),所以a·b=(-4,7)·(5,2)=-4×5+7×2=-20+14=-6.3.a=(,1),b=(-,1),那么向量a,b的夹角θ=________.

【解析】由题,所以θ=120°.答案:120°4.a=(2,-1),b=(1,x),且a⊥b,那么x=________.

【解析】由题意知a·b=2×1+(-1)×x=0,得x=2.答案:2关键能力·合作学习类型一向量数量积的坐标运算(数学运算,直观想象)【题组训练】1.假设向量a=(1,-1),b=(-1,2),那么(2a+b)·a= (

)

2.假设向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,那么x= (

)3.正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,点F在AD上,,那么

=________.

【解析】1.选C.方法一:因为a=(1,-1),b=(-1,2),所以|a|=,a·b=-3,从而(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.方法二:因为a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),从而(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.2.选C.因为a=(1,1),b=(2,5),所以8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3).又因为(8a-b)·c=30,所以(6,3)·(3,x)=18+3x=30,所以x=4.3.建立平面直角坐标系如下图,那么A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0),C(2,0),因为,所以F.所以=(2,1),-(2,0)=所以=(2,1)·=2×(-)+1×2=.答案:【解题策略】数量积的坐标运算方法(1)一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算.(2)二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据计算.图形中的数量积,如果图形适宜,就可以建立坐标系,采用坐标运算.【补偿训练】1.向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,那么k= (

)

【解析】选a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12.2.a与b同向,b=(1,2),a·b=10.(1)a的坐标为________;

(2)假设c=(2,-1),那么a(b·c)=________,(a·b)c=________.

【解析】(1)设a=λb=(λ,2λ)(λ>0),那么有a·b=λ+4λ=10,所以λ=2,所以a=(2,4).(2)因为b·c=1×2-2×1=0,a·b=10,所以a(b·c)=0a=0,(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10).答案:(1)(2,4)

(2)0

(20,-10)类型二向量模的计算(数学运算)【典例】设平面向量a=(1,1),b=(0,2).求a-2b的坐标和模的大小.【思路导引】利用向量的坐标运算求得a-2b的坐标表示,然后求模.【解析】因为a=(1,1),b=(0,2),所以a-2b=(1,1)-2(0,2)=(1,-3),所以【变式探究】1.将例题中的条件不变,假设c=3a-(a·b)b,试求|c|.【解析】a·b=x1x2+y1y2=2,所以c=3(1,1)-2(0,2)=(3,-1),所以|c|=.2.将例题中的b=(0,2)改为b=(0,-2),其他条件不变,假设ka-b的模等于,试求k值.【解析】因为ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),因为ka-b的模等于,所以

,化简得k2+2k-3=0,解得k=1或k=-3.【解题策略】向量模的计算方法1.设a=(x,y),那么|a|2=x2+y2,或2.向量a与b的数量积为a·b=cos<a,b>,通过数量积和夹角可以计算a或b的模.【跟踪训练】1.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且a⊥c,b∥c,那么|a+b|= (

)

【解析】选D.因为a⊥c,b∥c,所以有2x-4=0且2y+4=0,解得x=2,y=-2,即a=(2,1),b=(1,-2).所以a+b=(3,-1),|a+b|=.2.假设平面向量a与b的夹角为,a=(2,0),|a+2b|=2,那么a·b= (

)【解析】选C.因为平面向量a与b的夹角为,a=(2,0),|a+2b|=2,所以=2,a·b=2·cos=-,=12,即为a2+4a·b+4b2=4-4+4=12,解得=2(-1舍去),那么a·b=-2.类型三向量的夹角与垂直(数学运算)角度1求两向量的夹角或夹角的余弦值

【典例】如图,在平面直角坐标系xOy中,O是原点.点A(16,12),B(-5,15).试求∠OAB的度数.【思路导引】先由坐标求向量的模,再代入夹角公式得余弦值,最后求角.【解析】由=(16,12),=(-5-16,15-12)=(-21,3),得所以cos∠OAB=cos<,>=其中=-(16,12)·(-21,3)=-[16×(-21)+12×3]=300,故cos∠OAB=.所以∠OAB=45°.角度2夹角求参数的值或范围

【典例】(2021·全国Ⅰ卷)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),假设a⊥b,那么m=________.

【思路导引】根据向量垂直,结合题中所给的向量的坐标,利用向量垂直的坐标表示,求得结果.【解析】由a⊥b可得a·b=0,又因为a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),所以a·b=1·(m+1)+(-1)·(2m-4)=0,即m=5.答案:5角度3向量坐标背景下的垂直关系

【典例】在△ABC中=(2,3),=(1,k),假设△ABC是直角三角形,求k的值.【思路导引】三个角A,B,C都有可能是直角,根据垂直时向量的数量积为零建立方程.【解析】因为=(2,3),=(1,k),所以=(-1,k-3).假设∠A=90°,那么=2×1+3×k=0,所以k=-;假设∠B=90°,那么=2×(-1)+3(k-3)=0,所以k=;假设∠C=90°,那么=1×(-1)+k(k-3)=0,所以k=.故所求k的值为-或或.【解题策略】1.利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积;(2)再运用|a|=求出两向量的模;(3)由公式计算cosθ的值;(4)在[0,π]内,由cosθ的值确定角θ.2.垂直关系的坐标运算:(1)判断两个向量是否垂直,只需计算其数量积是否为0;(2)假设两向量垂直,那么可利用数量积的坐标表示建立有关参数的方程,进而求解.【题组训练】1.向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+xb与-b垂直,那么x的值为(

)

【解析】选A.因为a+xb=(3,4)+x(2,-1)=(3+2x,4-x),-b=(-2,1),且(a+xb)⊥(-b),所以-2(3+2x)+(4-x)=0,得x=-.2.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,那么m等于 (

)【解析】选D.因为a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),所以a·c=m+4+2(2m+2)=5m+8,b·c=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20.因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以解得m=2.3.设向量a,b的夹角为θ,且a=(5,5),2b-a=(-1,1),那么cosθ=________.

【解析】因为a=(5,5),所以2b=(5,5)+(-1,1)=(4,6).即b=(2,3).又|a|=5,|b|=,且a·b=(5,5)·(2,3)=25.所以答案:【补偿训练】1.向量a=(1,3),b=(2,1),那么a·b=________;a与b夹角的大小为________.

【解析】因为向量a=(1,3),b=(2,1),由向量数量积的坐标运算得a·b=1×2+3×1=5,设a与b的夹角为θ,由向量的夹角公式得:

因为θ∈[0,π],所以θ=答案:5

2.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).假设(a+c)⊥b,那么|a|=________.

【解析】由题意知,a+c=(3,3m),(a+c)·b=3(m+1)+3m=0,解得m=-,即a=(1,-1),|a|=答案:类型四用数量积解决简单的平面几何问题(直观想象,数学运算)【典例】如下图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.【解题策略】利用向量解决垂直问题的方法和途径方法:对于线段的垂直问题,可以联想到两个向量垂直的条件,即向量的数量积为0;途径:可以考虑向量关系式的形式,也可以考虑坐标的形式.【跟踪训练】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.【解析】如图,分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系.设A(2a,0),B(0,2a),那么D(a,0),C(0,a),从而可求:=(-2a,a),=(a,-2a),不妨设的夹角为θ,那么故所求钝角的余弦值为.1.假设向量a=(x,2),b=(-1,3),a·b=3,那么x= (

)

C.

D.-【解析】选A.a·b=-x+6=3,故x=3.课堂检测·素养达标2.a=(-,-1),b=(1,),那么a,b的夹角θ= (

)A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】选D.,又因为0°≤θ≤180°,所以θ=150°.3.向量a=(1,n),b=(-1,n),假设2a-b与b垂直,那么|a|等于 (

)【解析】选C.因为(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0,所以n=±.所以4.向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3,那么b= (

)A.(-3,6)

B.(3,-6)

C.(6,-3)

D.(-6,3)【解析】选A.由题意,设b=λa=(λ,-2λ)(λ<0),由于|b|=3.所以|b|=,所以λ=-3,即b=(-3,6).5.a=(-3,-2),b=(-4,k),假设(5a-b)·(b-3a)=-55,试求b的坐标.【解析】因为a=(-3,-2),b=(-4,k),所以5a-b=(-11,-10-k).b-3a=(5,k+6),所以(5a-b)·(b-3a)=(-11,-10-k)·(5,k+6)=-55-(k+10)(k+6)=-55,所以(k+10)(k+6)=0,所以k=-10或k=-6,所以b=(-4,-10)或b=(-4,-6).二十一向量数量积的坐标表示利用数量积计算长度与角度【根底通关——水平一】(15分钟30分)1.设向量a=(2,0),b=(1,1),那么以下结论中正确的选项是 (

)A.|a|=|b|

B.a·b=C.(a-b)⊥b D.a∥b课时素养评价【解析】选C.因为a=(2,0),b=(1,1),所以|a|=2,|b|=,|a|≠|b|,故A错误;a·b=(2,0)·(1,1)=2×1+0×1=2,故B错误;因为a-b=(1,-1),所以(a-b)·b=(1,-1)·(1,1)=0,所以(a-b)⊥b,故C正确.因为2×1-0×1≠0,所以a与b不共线,故D错误.2.向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,那么实数k= (

)A.

D.【解析】选C.因为a=(k,3),b=(1,4),所以2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6).因为(2a-3b)⊥c,所以(2a-3b)·c=(2k-3,-6)·(2,1)=2(2k-3)-6=0,解得k=3.3.A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),那么△ABC的形状是________三角形(

)

A.直角 B.锐角 C.钝角 D.等边【解析】选A.由题设知=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),所以=2×8+(-4)×4=0,即,所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.4.a=(4,-3),b=(2,1),假设a+tb与b的夹角为45°,那么实数t=________.

【解析】因为a=(4,-3),b=(2,1),所以a+tb=(2t+4,t-3),所以(a+tb)·b=5t+5.又因为且(a+tb)·b=|a+tb||b|cos45°,所以整理得t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3,经检验知t=-3不成立,故t=1.答案:15.假设a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),假设a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),那么向量的模为________.

【解析】因为a∥b,所以x=4,所以b=(4,-2),所以a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y),因为(a+b)⊥(b-c),所以(a+b)·(b-c)=0,即6-3(-2-y)=0,所以y=-4,故向量=(-8,8),||=8.答案:86.a=(,-1),b=(1)求证:a⊥b;(2)是否存在实数k,使x=a-2b,y=-ka+b,且x⊥y,假设存在,求k的值;不存在,请说明理由.【解析】(1)因为a·b=所以a⊥b.(2)因为x=(,-1)-2

y=

假设存在k使x⊥y,所以x·y=化简得-4k-2=0,所以k=-即存在k=-满足条件.【能力进阶——水平二】(30分钟60分)一、单项选择题(每题5分,共20分)1.向量a=(-1,x),b=(2,-1),假设(a-2b)⊥b,那么a与b的夹角的余弦值为(

)

【解析】选B.因为向量a=(-1,x),b=(2,-1),所以a-2b=(-5，x+2).又b=(2,-1),(a-2b)⊥b,所以-10-(x+2)=0,即x=-12,所以2.向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,那么|b|= (

)【解析】选C.方法一:设b=(x,y),那么a·b=2x+y=10①,又a+b=(x+2,y+1),|a+b|=5,所以(x+2)2+(y+1)2=50

②,①与②联立得或所以|b|=方法二:由|a+b|=5得a2+2a·b+b2=50,即5+20+b2=50,所以b2=25,所以|b|=5.3.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),那么该四边形的面积为(

)【解析】选C.因为=(1,2)·(-4,2)=-4+4=0,所以,所以S四边形ABCD=

4.向量a=(sinα,-2),b=(1,cosα),且a⊥b,那么等于(

)

【解析】选A.因为a⊥b,所以sinα-2cosα=0,可得sinα=2cosα,因为sinα+cosα≠0,所以sinα=2cosα≠0,那么二、多项选择题(每题5分,共10分)5.=(4,2),=(k,-2),假设△ABC为直角三角形,那么k可取的值是

(

)【解析】选AD.当A=90°时,,那么4k-4=0,k=1;当B=90°时,所以4(k-4)+2×(-4)=0,解得k=6;当C=90°时,,那么k(k-4)+(-2)×(-4)=0,即k2-4k+8=0,无解.故k=1或6.6.假设向量i,j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+mj,且a与b的夹角为锐角,那么实数m可取的值有 (

)

D.【解析】选AC.由题意,因为a与b夹角为锐角,所以a·b=(i-2j)·(i+mj)=1-2m>0,且b,a不共线,所以m<.当a∥b时,可得m=-2,所以实数λ的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,),于是AC符合.三、填空题(每题5分,共10分)7.(2021·浙江高考)设e1,e2为单位向量,满足|2e1-e2|≤,a=e1+e2,b=3e1+e2,设a,b的夹角为θ,那么cos2θ的最小值为________.

【解析】(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ=(e1+e2)2(3e1+e2)2cos2θ=(2+2e1·e2)(10+6e1·e2)cos2θ=[(e1+e2)·(3e1+e2)]2=所以

(10+6e1·e2)cos2θ=8(1+e1·e2),(6cos2θ-8)e1·e2=8-10cos2θ,又因为-4e1·e2≤2,5-4e1·e2≤2,所以e1·e2≥,所以e1·e2=

所以cos2θ的最小值为.答案:

8.向量=(1,7),=(5,1)(O为坐标原点),设M为直线y=x上的一点,那么的最小值是________,此时M点的坐标为________.

【解析】设M,那么

所以当x=4时,取得最小值-8.答案:-8

(4,2)四、解答题(每题10分,共20分)9.a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)假设|c|=2,且c与a方向相反,求c的坐标;(2)假设|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.【解析】(1)设c=(x,y),由c∥a及|c|=2,可得所以或因为c与a方向相反,所以c=(-2,-4).(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,所以2|a|2+3a·b-2|b|2=0,所以2×5+3a·b-2×=0,解得a·b=-.所以又因为θ∈[0,π],所以θ=π.10.=(2,1),=(1,7),=(5,1),设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).(1)求使取到最小值时的;(2)对(1)中求出的点C,求cos∠ACB.【解析】(1)因为点C是直线OP上一点,所以向量与共线,设=t,那么

=(2t,t).=(1-2t,7-t),=(5-2t,1-t),=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t-2)2-8,当t=2时,