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文档简介
空间向量与例题几何目标检测设计一、单选题(本大题共7小题,共35.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)已知一直线经过点A(2,3,2),B(-1,0,5),下列向量中不是该直线的方向向量的为(
)A.a=(1,1,1) B.a=(-1,-1,1) C.a=(-3,-3,3)已知向量a=(2, -1,3)和b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量,则xA.-1 B.1或-1 C.-3 D.1已知平面α的法向量为u=(x,1,-2),平面β的法向量为v=(-1,y,12),若α//βA.154 B.174 C.3 设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是n,则“a⊥n”是“l//α”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则(
)A.AB与AC是共线向量 B.AB的单位向量是255,-55,0
C.AB与BC夹角的余弦值是55平面α经过三点O(0,0,0),A(2,2,0),B(0,0,2),则平面α的法向量可以是(
)A.(1,0,1) B.(1,0,-1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1→=A.12a+12b+12二、多选题(本大题共1小题,共5.0分。在每小题有多项符合题目要求)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是(
)A.若两条不重合的直线l 1,l 2的方向向量分别是a=(2,-2,-1),b=(-2,-2,1),则l 1//l 2
B.若直线l的方向向量是a=(1,1,2),平面α的法向量是n=(-2,-2,-4),则l⊥α
C.若直线l的方向向量是a=(0,2,0),平面α的法向量是n=(-2,0,2),则l三、解答题(本大题共3小题,共36.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)(本小题12.0分)如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD // BC,∠ABC=90∘,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1(1)求平面ABCD的一个法向量;(2)求平面SAB的一个法向量;(3)求平面SCD的一个法向量.(本小题12.0分)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D、E、F分别为线段A1C1、AB(1)DE//平面B(2)EF⊥平面B1(本小题12.0分)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5(1)求证:AC⊥BC(2)在线段AB上是否存在点D,使得AC答案和解析1.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查了立体几何中的直线的方向向量,属于基础题.
已知直线的一个方向向量为AB,而与AB共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量,由此即可得到答案.【解答】解:由题知,AB=(-3,-3,3),
则与向量AB共线的非零向量均为该直线的方向向量,
只有A不符合,
故选A.
2.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线的方向向量,考查分析与计算能力,属于基础题.
由题得a//b,即可得2-4【解答】解:∵向量a=(2,-1,3)和b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量,
则a//b,
即
3.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查面面垂直的向量表示形式,属于基础题.【解答】解:∵平面α的法向量u=(x,1,-2),
平面β的法向量v=(-1,y,12),α//β,
∴u=λv,即x=-λ1=λy-2=12λ,
4.【答案】B
【解析】【分析】本题考查平面法向量的概念,直线与平面平行与充要条件的判断,属于基础题.【解答】解:由l // α,得a⊥n,则“a⊥n”是“l // α”的必要条件;由a⊥n,得l // α或l⊂α,则“a⊥n”不是“
5.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查空间向量共线的判断,考查单位向量和向量的数量积运算,考查平面的法向量的求解,属于中档题.
可根据向量的相关概念和数量积运算、以及求法向量的方法逐一验证即可.
【解答】解:
AB=(2,1,0),
AC=(-1,2,1),
AB
≠
λ
AC,所以
AB与
AC不共线,所以A错误;
AB的单位向量为(
255,
55,0)或(-
255,-
55,0),所以B错误;
BC=(-3,1,1),所以
cos<AB→,BC→>=AB→⋅BC→|AB→||BC→|=-
6.【答案】D
【解析】【分析】本题考查平面的法向量的求法,考查平面的法向量等基础知识,是基础题.
设平面α的法向量n=(x,y,z),由n⋅OA【解答】解:∵平面α经过三点O(0,0,0),A(2,2,0),B(0,0,2),
∴OA=(2,2,0),OB=(0,0,2),
设平面α的法向量n=(x,y,z),
则n⋅OA=2x+2y=0n⋅OB=2z=0,
取x=-1,得
7.【答案】A
【解析】【分析】本题考查求直线的方向向量,考查空间向量的加减运算及数乘运算,属于中档题.
由题得四边形B1BDD1是平行四边形,【解答】解:∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面体,
∴B1B//D1D且B1B=D1D,
∴四边形B1BDD1是平行四边形,
8.【答案】BD
【解析】【分析】本题考查空间向量的应用,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
对于A,2-2≠-2-2,∴l1与l2不平行;对于B,n=-2a,从而l⊥α;对于C,a⋅n=0,从而【解答】解:对于A,两条不重合的直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,-2,-1),b=(-2,-2,1),
∵2-2≠-2-2,∴l1与l2不平行,故A错误;
对于B,直线l的方向向量是a=(1,1,2),平面α的法向量是n=(-2,-2,-4),
∵n=-2a,∴n//a,∴l⊥α,故B正确;
对于C,直线l的方向向量是a=(0,2,0),平面α的法向量是n=(-2,0,2),
∵a⋅n=0,
9.【答案】解:以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系:则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(12,0,0)(1)∵SA⊥平面ABCD,∴AS=(0,0,1)是平面(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,AB∩SA=A,AB,SA⊂平面SAB,
∴AD⊥平面SAB,∴AD=(1(3)在平面SCD中,DC=(12设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),
则n⊥DC→,得方程组1令y=-1,则z=1,x=2,
∴n所以n=(2,-1,1)是平面SCD
【解析】本题考查了平面的法向量的求法,属于较难题.以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系:(1)由法向量的定义可知,AS是平面ABCD的一个法向量;(2)可证AD⊥平面SAB,所以AD是平面SAB的一个法向量;(3)设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),根据n⊥DC10.【答案】解:根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,设A1则A(2,0,0),C(0,0,0),B1(0,2,2),D(1,0,2),E(1,1,0),所以CA=(2,0,0),DE=(0,1,-2),EF=(1,-1,1),C(1)显然CA=(2,0,0)是平面BC因为DE⋅所以DE⊥CA.因为DE⊄平面BCC所以DE//平面BCC(2)设平面B1CE的法向量为则n令z=-1,则y=1,x=-1,
即n=(-1,1,-1)显然EF//n,所以EF⊥平面
【解析】本题主要考察线面平行及线面垂直的判断定理,属于中档题.
11.【答案】.(1)【证明】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,∴由勾股定理知AC⊥BC,∴AC,BC,CC1两两垂直,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则C(0,0,0
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