高考数学一轮复习 第十一章 算法初步、推理与证明、复数 分层限时跟踪练59-人教版高三数学试题

分层限时跟踪练(五十九)(限时40分钟)eq\f([基础练],扣教材练双基)一、选择题1．(2015·山东高考)若复数z满足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋i【解析】由已知得eq\x\to(z)＝i(1－i)＝1＋i，则z＝1－i，故选A.【答案】A2．给出下列命题，其中正确的命题是()A．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数B．当a≠0时，b≠0时，a＋bi一定是虚数C．若z∈R，则z·eq\x\to(z)＝|z|不成立D.eq\f(4－3i,1－2i)的虚部为－1【解析】当z是一个复数时，若z2能够与实数比较大小，则z2是一个实数，则z一定是一个纯虚数，故A正确；当a是不为0的实数，b为纯虚数时，a＋bi为实数，故B不正确；当z＝1时，选项C不正确，eq\f(4－3i,1－2i)＝eq\f(4－3i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(10＋5i,5)＝2＋i，其虚部为1.故D不正确．故选A.【答案】A3．(2015·东北二模)i为虚数单位，复数z＝i2012＋i2015在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解析】i2012＝i503×4＝1，i2015＝i503×4＋3＝－i，∴复数z＝1－i在复平面上对应点为(1，－1)，位于第四象限．【答案】D4．已知f(x)＝x3－1，则复数eq\f(fi,2－i)的虚部为()A.eq\f(1,5)B．－eq\f(1,5)C.eq\f(3,5)D．－eq\f(3,5)【解析】∵f(i)＝i3－1＝－i－1，∴eq\f(fi,2－i)＝eq\f(－i－1,2－i)＝eq\f(－i－12＋i,2－i2＋i)＝eq\f(－1－3i,5)，其虚部为－eq\f(3,5).【答案】D5．(2015·南昌二模)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为eq\x\to(z)，则|(1－z)·eq\x\to(z)|＝()A.eq\r(10)B．2C.eq\r(2)D．1【解析】∵z＝－1－i，∴eq\x\to(z)＝－1＋i，∴(1－z)·eq\x\to(z)＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，∴|(1－z)·eq\x\to(z)|＝|－3＋i|＝eq\r(10).【答案】A二、填空题6．(2015·天津高考)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．【解析】由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.【答案】－27．在复平面内复数eq\f(1,1＋i)，eq\f(1,1－i)对应的点分别为M、N，若点P为线段MN的中点，则点P对应的复数是________．【解析】∵eq\f(1,1＋i)＝eq\f(1－i,2)，eq\f(1,1－i)＝eq\f(1＋i,2)，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，而P是MN的中点，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，故点P对应的复数为eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)8．(2015·重庆高考)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为eq\r(3)，则(a＋bi)(a－bi)＝________.【解析】∵|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3)，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.【答案】3三、解答题9．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.【解】∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R.z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R.∴a＝4，∴z2＝4＋2i.10．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．【解】如图，z1、z2、z3分别对应点A、B、C.∵eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))，∴eq\o(AB,\s\up12(→))所对应的复数为z2－z1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i，在正方形ABCD中，eq\o(DC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))，∴eq\o(DC,\s\up12(→))所对应的复数为－3－i，又eq\o(DC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→))，∴eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(DC,\s\up12(→))所对应的复数为z3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i，∴第四个顶点对应的复数为2－i.eq\f([能力练],扫盲区提素能)1．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2B．若z1＝eq\x\to(z)2，则eq\x\to(z)1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·eq\x\to(z)1＝z2·eq\x\to(z)2D．若|z1|＝|z2|，则zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)【解析】A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2，真命题；B，z1＝eq\x\to(z)2⇒eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2＝z2，真命题；C，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z1·eq\x\to(z)1＝z2·eq\x\to(z)2，真命题；D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然zeq\o\al(2,1)＝1，zeq\o\al(2,2)＝－1，即zeq\o\al(2,1)≠zeq\o\al(2,2)，假命题．【答案】D2．(2015·河南调研)复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是()A．[－1,1] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)，1))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)，7)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,16)，7))【解析】由复数相等的充要条件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2cosθ，,4－m2＝λ＋3sinθ，))化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(3,8)))2－eq\f(9,16)，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)，7)).【答案】C3．(2015·江苏高考)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为______．【解析】∵z2＝3＋4i，∴|z2|＝|z|2＝|3＋4i|＝eq\r(32＋42)＝5，∴|z|＝eq\r(5).【答案】eq\r(5)4．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝eq\r(3)，则eq\f(y,x)的最大值为______．【解析】∵|z－2|＝eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(3)，∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))max＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)5．复数z1＝eq\f(3,a＋5)＋(a2－10)i，z2＝eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i，若eq\x\to(z)1＋z2是实数，求实数a的值．【解】eq\x\to(z)1＋z2＝eq\f(3,a＋5)＋(a2－10)i＋eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a＋5)＋\f(2,1－a)))＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝eq\f(a－13,a＋5a－1)＋(a2＋2a－15)i.∵eq\x\to(z)1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.6．已知复数z，且|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取得最大值时的z.【解】法一设z＝x＋yi(x，y∈R)，∵|z|＝2，∴x2＋y2＝4，|z－i|＝|x＋yi－i|＝|x＋(y－1)i|＝eq\r(x2＋y－12)＝eq\r(4－y2＋y－12)＝eq\r(5－2y).∵y2＝4－x2≤4