高考数学一轮复习 第十章 概率 分层限时跟踪练53-人教版高三数学试题

分层限时跟踪练(五十三)(限时40分钟)eq\f([基础练],扣教材练双基)一、选择题1．从6个男生2个女生中任选3人，则下列事件中必然事件是()A．3个都是男生 B．至少有1个男生C．3个都是女生 D．至少有1个女生【解析】因为只有2名女生，所以选出的3人中至少有1名男生．【答案】B2．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5cm～170.5cm之间的概率约为()A.eq\f(2,5)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,3)【解析】从已知数据得，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5cm～170.5cm之间的学生有8人，频率为eq\f(2,5)，故可估计在该校高二所有学生中任取一人，身高在155.5cm～170.5cm之间的概率为eq\f(2,5).【答案】A3．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10)D.eq\f(1,12)【解析】由袋中随机取出2个小球的基本事件总数为10，取出小球标注数字和为3的事件为1,2，取出小球标注数字和为6的事件为1,5或2,4，所以取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为P＝eq\f(1＋2,10)＝eq\f(3,10).【答案】A4．(2015·湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石B．169石C．338石D．1365石【解析】设1534石米内夹谷x石，则由题意知eq\f(x,1534)＝eq\f(28,254)，解得x≈169.故这批米内夹谷约为169石．【答案】B5．(2015·抚宁模拟)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件【解析】由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．【答案】D二、填空题6．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．【解析】1－0.42－0.28＝0.30,21÷0.42＝50,50×0.30＝15.【答案】157．(2015·潍坊模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________.【解析】m可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的基本事件个数依次为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，故两次向上数字之和等于7时对应的事件发生的概率最大．【答案】78．下列四个命题中，真命题的序号为________．①将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”．则事件A与事件B是对立事件；②在命题①中，事件A与事件B是互斥事件；③在10件产品中有3件是次品，从中任取3件．事件A：“所取3件中最多有2件是次品”．事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．④两事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件．【解析】抛掷两次硬币，共有四种情况，所以A、B不是对立事件，但是互斥的，①不对；②正确；③中事件A、B可以同时发生，不互斥；④正确．【答案】②④三、解答题9．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数012345人及以上概率0.10.16xy0.2z(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y、z的值．【解】(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0．1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0．96＋z＝1，∴z＝0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋0.04＝0.44，∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.10．(2015·陕西高考)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期12345678910天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴日期11121314151617181920天气阴晴晴晴晴晴阴雨阴阴日期21222324252627282930天气晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．【解】(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为eq\f(26,30)＝eq\f(13,15).(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为eq\f(7,8).以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为eq\f(7,8).eq\f([能力练],扫盲区提素能)1．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙胜的概率为eq\f(1,3)，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为()A.eq\f(1,6)，eq\f(1,6) B.eq\f(1,2)，eq\f(2,3)C.eq\f(1,6)，eq\f(2,3) D.eq\f(2,3)，eq\f(1,2)【解析】“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).设“甲不输”为事件A，可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).或设“甲不输”为事件A，可看做是“乙胜”的对立事件，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).【答案】C2．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))【解析】由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜PA＜1，,0＜PB＜1，,PA＋PB≤1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜2－a＜1，,0＜4a－5＜1，,3a－3≤1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜a＜2，,\f(5,4)＜a＜\f(3,2)，,a≤\f(4,3)))⇒eq\f(5,4)＜a≤eq\f(4,3).【答案】D3．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．【解析】甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，基本事件总数为3×3＝9.设“甲、乙心有灵犀”为事件A，则A的对立事件B为“|a－b|＞1”，即|a－b|＝2包含2个基本事件，∴P(B)＝eq\f(2,9)，∴P(A)＝1－eq\f(2,9)＝eq\f(7,9).【答案】eq\f(7,9)4．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝eq\f(4,x)，P(B)＝eq\f(1,y)，且x＞0，y＞0，则x＋y的最小值为________．【解析】由题意得eq\f(4,x)＋eq\f(1,y)＝1，则x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)＋\f(1,y)))＝5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4y,x)＋\f(x,y)))≥9，当且仅当eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝2y时等号成立．【答案】95．袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黄球的概率是eq\f(5,12)，得到黄球或绿球的概率也是eq\f(5,12).(1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率；(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率．【解】(1)从袋中任取一球，记事件A为“得到红球”，B为“得到黑球”，C为“得到黄球”，D为“得到绿球”，则事件A，B，C，D两两互斥．由已知P(A)＝eq\f(1,3)，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(5,12)，∴P(B∪C∪D)＝1－P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).∵B与C∪D，B∪C与D也互斥，∴P(B)＝P(B∪C∪D)－P(C∪D)＝eq\f(2,3)－eq\f(5,12)＝eq\f(1,4)，P(D)＝P(B∪C∪D)－P(B∪C)＝eq\f(2,3)－eq\f(5,12)＝eq\f(1,4)，P(C)＝1－P(A∪B∪D)＝1－(P(A)＋P(B)＋P(D))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,4)＋\f(1,4)))＝1－eq\f(5,6)＝eq\f(1,6)故得到黑球、得到黄球、得到的绿球的概率分别是eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,4).(2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球，∴得到的球是红球或黄球，即事件A∪C，∴P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)，故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为eq\f(1,2).6．(2015·榆林模拟)如图10­1­1所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：图10­1­1所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．【解】(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)设A1，A2分别