高考数学一轮复习 第四章 平面向量 分层限时跟踪练25-人教版高三数学试题

分层限时跟踪练(二十五)(限时40分钟)eq\f([基础练],扣教材练双基)一、选择题1．(2015·宁夏模拟)如图4­2­2，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，图4­2­2给出下列向量组：①Aeq\o(D,\s\up10(→))与Aeq\o(B,\s\up10(→))；②Deq\o(A,\s\up10(→))与Beq\o(C,\s\up10(→))；③Ceq\o(A,\s\up10(→))与Deq\o(C,\s\up10(→))；④Oeq\o(D,\s\up10(→))与Oeq\o(B,\s\up10(→)).其中可作为该平面内其他向量的基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④【解析】Aeq\o(D,\s\up10(→))与Aeq\o(B,\s\up10(→))不共线，Ceq\o(A,\s\up10(→))与Deq\o(C,\s\up10(→))不共线，而Deq\o(A,\s\up10(→))与Beq\o(C,\s\up10(→))共线，Oeq\o(D,\s\up10(→))与Oeq\o(B,\s\up10(→))共线，由平面向量基底的概念知①③可作为该平面内其他向量的基底．【答案】B2．(2015·抚顺六校联考)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数xA．－2 B．0C．1 D．2【解析】由已知得a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，因为a＋b与4b－2a平行，则有3(4x－2)＝6(x＋1)，解得x＝2.【答案】D图4­2­33．(2015·龙岩模拟)如图4­2­3，A，B分别是射线OM，ON上的两点，给出下列向量：①Oeq\o(A,\s\up10(→))＋2Oeq\o(B,\s\up10(→))；②eq\f(1,2)Oeq\o(A,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)Oeq\o(B,\s\up10(→))；③eq\f(3,4)Oeq\o(A,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)Oeq\o(B,\s\up10(→))；④eq\f(3,4)Oeq\o(A,\s\up10(→))＋eq\f(1,5)Oeq\o(B,\s\up10(→))；⑤eq\f(3,4)Oeq\o(A,\s\up10(→))－eq\f(1,5)Oeq\o(B,\s\up10(→)).若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有()A．①② B．②④C．①③ D．③⑤【解析】在ON上取C使OC＝2OB，以OA，OC为邻边作▱OCDA，Oeq\o(D,\s\up10(→))＝Oeq\o(A,\s\up10(→))＋2Oeq\o(B,\s\up10(→))，其终点不在阴影区域内，排除选项A，C；取OA的中点E，作EF綊eq\f(1,3)OB，由于EF＜eq\f(1,2)OB，所以eq\f(1,2)Oeq\o(A,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)Oeq\o(B,\s\up10(→))的终点在阴影区域内，排除选项D，故选B.【答案】B4．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3eq\r(5)，则b等于()A．(－3,6) B．(3，－6)C．(6，－3) D．(－6,3)【解析】法一：设b＝(x，y)，由已知条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＝3\r(5)，,\f(x－2y,\r(5)·\r(x2＋y2))＝－1，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝45，,x－2y＝－15，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝6，))∴b＝(－3,6)．法二：设b＝(x，y)，由已知条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＝3\r(5)，,y＋2x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－6))(舍去)，∴b＝(－3,6)．法三：∵|a|＝eq\r(5)，∴eq\f(1,|a|)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(5))，－\f(2,\r(5))))，则b＝－3eq\r(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|a|)a))＝(－3,6)．【答案】A5．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且Beq\o(C,\s\up10(→))＝3Ceq\o(D,\s\up10(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若Aeq\o(O,\s\up10(→))＝xeq\o(AB,\s\up10(→))＋(1－x)Aeq\o(C,\s\up10(→))，则x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))【解析】依题意，设Beq\o(O,\s\up10(→))＝λeq\o(BC,\s\up10(→))，其中1＜λ＜eq\f(4,3)，则有Aeq\o(O,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Beq\o(O,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋λeq\o(BC,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋λ(Aeq\o(C,\s\up10(→))－Aeq\o(B,\s\up10(→)))＝(1－λ)Aeq\o(B,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→)).又Aeq\o(O,\s\up10(→))＝xeq\o(AB,\s\up10(→))＋(1－x)Aeq\o(C,\s\up10(→))，且Aeq\o(B,\s\up10(→))，Aeq\o(C,\s\up10(→))不共线，于是有x＝1－λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，即x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).【答案】D二、填空题6．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为．【解析】Aeq\o(B,\s\up10(→))＝(a－1,3)，Aeq\o(C,\s\up10(→))＝(－3,4)，据题意AB∥AC，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－eq\f(5,4).【答案】－eq\f(5,4)7．(2016·冀州模拟)已知向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)．平面内任意向量c都可以唯一地表示为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则实数m的取值范围是【解析】由题意可知{a，b}为平面向量的一组基底，故a，b不共线．所以2m－3≠3m，所以m≠－3.【答案】{m|m≠－3}8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝.【解析】因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，结合余弦定理知，cosC＝eq\f(1,2)，又0°＜C＜180°，∴C＝60°.【答案】60°三、解答题9．如图4­2­4，以向量Oeq\o(A,\s\up10(→))＝a，Oeq\o(B,\s\up10(→))＝b为邻边作▱OADB，Beq\o(M,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)Beq\o(C,\s\up10(→))，Ceq\o(N,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)Ceq\o(D,\s\up10(→))，用a，b表示Oeq\o(M,\s\up10(→))，Oeq\o(N,\s\up10(→))，Meq\o(N,\s\up10(→)).图4­2­4【解】∵Beq\o(A,\s\up10(→))＝Oeq\o(A,\s\up10(→))－Oeq\o(B,\s\up10(→))＝a－b，Beq\o(M,\s\up10(→))＝eq\f(1,6)Beq\o(A,\s\up10(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，∴Oeq\o(M,\s\up10(→))＝Oeq\o(B,\s\up10(→))＋Beq\o(M,\s\up10(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.∵Oeq\o(D,\s\up10(→))＝a＋b，∴Oeq\o(N,\s\up10(→))＝Oeq\o(C,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)Ceq\o(D,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)Oeq\o(D,\s\up10(→))＋eq\f(1,6)Oeq\o(D,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)Oeq\o(D,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，∴Meq\o(N,\s\up10(→))＝Oeq\o(N,\s\up10(→))－Oeq\o(M,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.综上，Oeq\o(M,\s\up10(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，Oeq\o(N,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，Meq\o(N,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.10．(2015·郑州模拟)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设Aeq\o(B,\s\up10(→))＝a，Beq\o(C,\s\up10(→))＝b，Ceq\o(A,\s\up10(→))＝c，且Ceq\o(M,\s\up10(→))＝3c，Ceq\o(N,\s\up10(→))＝－2b.(1)求3a＋b－3c(2)求满足a＝mb＋nc的实数m、n的值；(3)求M，N的坐标及向量Meq\o(N,\s\up10(→))的坐标．【解】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)设O为坐标原点，∵Ceq\o(M,\s\up10(→))＝Oeq\o(M,\s\up10(→))－Oeq\o(C,\s\up10(→))＝3c，∴Oeq\o(M,\s\up10(→))＝3c＋Oeq\o(C,\s\up10(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．又∵Ceq\o(N,\s\up10(→))＝Oeq\o(N,\s\up10(→))－Oeq\o(C,\s\up10(→))＝－2b，∴Oeq\o(N,\s\up10(→))＝－2b＋Oeq\o(C,\s\up10(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴Meq\o(N,\s\up10(→))＝(9，－18)．eq\f([能力练],扫盲区提素能)1．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A．(1，－1)B．(－1,1)C．(－4,6)D．(4，－6)【解析】4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－8,18)，设向量c＝(x，y)，依题意得4a＋(3b－2a)＋c＝0，所以4－8＋x＝0，－12＋18＋y＝0，解得x＝4，y＝－6.【答案】D2．(2015·青岛模拟)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】由已知，得a＋b＝(2,2＋m)．若m＝－6，则a＋b＝(2，－4)，a∥(a＋b)成立；若a∥(a＋b)，则eq\f(2,－1)＝eq\f(m＋2,2)，解得m＝－6，所以“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.【答案】A3．已知向量Oeq\o(A,\s\up10(→))＝(3，－4)，Oeq\o(B,\s\up10(→))＝(6，－3)，Oeq\o(C,\s\up10(→))＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是．【解析】因为Oeq\o(A,\s\up10(→))＝(3，－4)，Oeq\o(B,\s\up10(→))＝(6，－3)，Oeq\o(C,\s\up10(→))＝(5－m，－3－m)，所以Aeq\o(B,\s\up10(→))＝(3,1)，Beq\o(C,\s\up10(→))＝(－m－1，－m)．由于点A，B，C能构成三角形，所以Aeq\o(B,\s\up10(→))与Beq\o(C,\s\up10(→))不共线，而当Aeq\o(B,\s\up10(→))与Beq\o(C,\s\up10(→))共线时，有eq\f(3,－m－1)＝eq\f(1,－m)，解得m＝eq\f(1,2)，故当点A，B，C能构成三角形时实数m满足的条件是m≠eq\f(1,2).【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠\f(1,2)))))4．(2015·成都二诊)在如图4­2­5所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则eq\f(x,y)的值为．图4­2­5【解析】设e1，e2为水平方向(向左)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a＋\f(5,2)b))，则eq\f(x,y)的值为eq\f(6,5).【答案】eq\f(6,5)5．(2016·莱芜模拟)如图4­2­6，已知△OCB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D是将Oeq\o(B,\s\up10(→))分为2∶1两部分的一个内分点，DC和OA交于点E，设Oeq\o(A,\s\up10(→))＝a，Oeq\o(B,\s\up10(→))＝b.图4­2­6(1)用a和b表示向量Oeq\o(C,\s\up10(→))，Deq\o(C,\s\up10(→))；(2)若Oeq\o(E,\s\up10(→))＝λeq\o(OA,\s\up10(→))，求实数λ的值．【解】(1)由题意知，A是BC的中点，且Oeq\o(D,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)Oeq\o(B,\s\up10(→)).由平行四边形法则，得Oeq\o(B,\s\up10(→))＋Oeq\o(C,\s\up10(→))＝2eq\o(OA,\s\up10(→)).∴Oeq\o(C,\s\up10(→))＝2eq\o(OA,\s\up10(→))－Oeq\o(B,\s\up10(→))＝2a－b，Deq\o(C,\s\up10(→))＝Oeq\o(C,\s\up10(→))－Oeq\o(D,\s\up10(→))＝(2a－b)－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.(2)如题图，Eeq\o(C,\s\up10(→))∥Deq\o(C,\s\up10(→)).又∵Eeq\o(C,\s\up10(→))＝Oeq\o(C,\s\up10(→))－Oeq\o(E,\s\up10(→))＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，Deq\o(C,\s\up10(→))＝2a－eq\f(5,3)b，∴eq\f(2－λ,2)＝eq\f(－1,－\f(5,3))，∴λ＝eq\f(4,5).6．如图4­2­7，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．图4­2­7(1)设Peq\o(G,\s\up10(→))＝λeq\o(PQ,\s\up10(→))，将Oeq\o(G,\s\up10(→))用λ，Oeq\o(P,\s\up10(→))，Oeq\o(Q,\s\up10(→))表示；(2)设Oeq\o(P,\s\up10(→))＝xeq\o(OA,\s\up10(→))，Oeq\o(Q