2024年黑龙江省省齐齐哈尔地区九年级中考数学预测卷（四）

2024年齐齐哈尔地区中考数学预测卷（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________考生注意：考试时间120分钟全卷共三道大题，总分120分题号一二三总分核分人得分一、单选题（共10小题，每小题3分，共计30分）1．5的相反数的绝对值是（）A．﹣5 B．5 C． D．2．下列2024年巴黎奥运会和残奥会运动项目的图标中，不是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．4．下列说法正确的是（

）A．调查中央电视台开学第一课的收视率，应采用全面调查的方式B．数据，，，，的中位数是C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖D．甲、乙两名射击运动员次射击成绩单位：环的平均数相等，方差分别为，，则甲的成绩比乙的稳定5．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点．若，则的长为（

）A． B． C． D．6．如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要（

）个小立方块．A．36 B．52 C．54 D．55（第5题图）（第6题图）7．小李去买套装色水笔和笔记本，若购买袋笔和本笔记本，他身上的钱还差元，若改成购买袋笔和本笔记本，他身上的钱会剩下元．若他把身上的钱都花掉，购买这两种物品(两种都买)的方案有（

）A．种 B．种 C．种 D．种8．如图1，在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为（

）A． B． C． D．（第8题图）（第10题图）9．若是整数，且关于的方程有整数根，则的值是（

）A．3或5 B．或5 C．或3 D．或10．如图，拋物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在和两点之间（不包含端点）．则下列结论中：①；②；③；④一元二次方程的两个根分别为，；⑤（其中）．正确的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个二、填空题（共7小题，每小题3分，共计21分）11．新京报讯，2月15日晚，第二十五届哈尔滨冰雪大世界正式闭园，共计运营61天，累计接待游客万人次，将数据万用科学记数法表示为．12．如图，相交于点O，，要证明，还需添加的一个条件是．

13．如图，从一个直径为4的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为．（第12题图）（第13题图）（第14题图）（第16题图）14．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴交反比例函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，则．15．函数中，自变量x的取值范围为．16．如图，在中，，，，为的中点，F为上的动点，将沿直线折叠得到，若与的边垂直，则的长是．17．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧；是以点C为圆心，为半径的圆弧；是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心，按上述作法得到的曲线…称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是．三、解答题（共7小题，共计69分）18．（1）（6分）计算：（2）（4分）因式分解：；19．（5分）解方程：．20．（10分）我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图根据图中信息解答下列问题：(1)本次被调查的学生有人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为；(2)请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有人；(3)从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．21．（8分）如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．22．（10分）在同一条公路上有A、B、C三地，C地在A，B两地之间．早上8点甲、乙两车同时出发匀速行驶．甲车从C地出发先到A地接人（接人时间忽略不计），然后原路原速到达B地停止行驶；乙车从B地出发经过C地到达A地后停止．如图所示，两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间函数关系．(1)甲车速度为__________千米/时．__________；__________．(2)求两车相遇后y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．(3)直接写出两车相距180千米的时刻．23．（12分）综合与实践动手操作利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．如图1，点为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为．思考探索（1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，如图2．①点在以点为圆心，_________的长为半径的圆上；②_________；③为_______三角形，请证明你的结论．拓展延伸（2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上．①面积的最大值为____________；②连接，点为的中点，点在上，连接，则的最小值为____________．24．（14分）如图，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点，直线与轴交于点，与轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点为抛物线上一点，且点与点关于对称轴对称，求四边形的面积．(3)点为直线上方抛物线上一动点．连接、，设直线交线段于点，求的最大值；过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的，若存在，请直接写出点的坐标．参考答案：1．B【分析】根据相反数与绝对值的性质，列出代数式进行化简即可．【详解】解：5的相反数为：﹣5，而﹣5的绝对值为：|﹣5|＝5，即5的相反数的绝对值是5，故选B．【点睛】本题主要考查了绝对值与相反数的表示，正确用式子表示出：“+5的相反数的绝对值”，是解题关键．2．D【分析】本题考查了中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此逐一判断即可得到答案．【详解】解：A、B、C选项中的图形都能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；D选项中的图形不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．故选：D．3．B【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用完全平方公式，同底数㜴的乘法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，即可解答．【详解】解：A、，故A不符合题意；B、，故B符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D不符合题意；故选：B．4．D【分析】本题考查了概率公式、调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义等知识，解题的关键是了解统计的有关知识，难度不大．利用调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A．调查中央电视台开学第一课的收视率，应采用抽样调查的方式，故错误，不符合题意；B．数据，，，，的中位数是，故错误，不符合题意；C．一个抽奖活动中，中奖概率为，抽奖次可能有次中奖，也可能不中奖，故错误，不符合题意；D．甲、乙两名射击运动员次射击成绩单位：环的平均数相等，方差分别为，，则甲的成绩比乙的稳定，正确，符合题意．故选：D．5．C【分析】本题考查了尺规作图—作角的平分线，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．过点作于点，由作法知平分，从而可得，得到，再证明是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出的长．【详解】解：如图，过点作于点，由作法知平分，，，，，，是等腰直角三角形，，．故选：C．6．C【分析】本题考查了三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图判断小立方块的数量，再求出搭成一个大正方体需要的最少数量，即可得到答案．【详解】解：由三视图易得最底层有7个小立方体，第二层有2个小立方体，第三层有1个小立方体，那么共有个几何体组成．若要搭成一个大正方体，共需个小立方体，所以还需个小立方体，故选：C．7．C【分析】设1袋笔的价格为x元，1本笔记本的价格为y元，根据“若购买4袋笔和6本笔记本，他身上的钱还差22元，若改成购买1袋笔和2本笔记本，他身上的钱会剩下34元”，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出结论，再设可购买a袋笔和b本笔记本，根据总价=单价×数量可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出结论．【详解】设1袋笔的价格为x元，1本笔记本的价格为y元，依题意，得：4x+6y-22=x+2y+34，∴3x+4y=56，即y=14-x．∵x，y均为正整数，∴，，，．设可购买a袋笔和b本笔记本．①当x=4，y=11时，4x+6y-22=60，∴4a+11b=60，即a=15-b，∵a，b均为正整数，∴；②当x=8，y=8时，4x+6y-22=58，∴8a+8b=58，即a+b=，∵a，b均为正整数，∴方程无解；③当x=12，y=5时，4x+6y-22=56，∴12a+5b=56，即b=，∵a，b均为正整数，∴；④当x=16，y=2时，4x+6y-22=54，∴16a+2b=54，即b=27-8a，∵a，b均为正整数，∴，，．综上所述，共有5种购进方案．故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．8．C【分析】本题考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、勾股定理，当时，点在点处，此时，则，当时，，求出，由勾股定理得出，求出，再由计算即可得解．【详解】解：当时，点在点处，此时，则，当时，，，则，，，，故选：C．9．A【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程，用含m的代数式表示x，根据整数的意义可得m的值．解题的关键是将分式方程转化为整式方程，求出方程的解．【详解】解：去分母得：化简得：当时，方程有整数根，的值是整数，当时，，方程的根；当时，，方程的根（增根，舍去）；当时，，方程的根；当时，，方程的根（增根，舍去）．故选：A．10．C【分析】根据题干和图像可得，该抛物线的对称轴是，即；点的对称点坐标是；．将代入该抛物线解析式可判断结论①；根据和将代入抛物线解析式得到的，联立可求得、的数量关系，根据可求的范围，以此判断结论②；将顶点代入抛物线解析式得到，等量替换后得到与的关系再判断范围，以此判断结论③；综合和、和的数量关系式，解一元二次方程即可判断结论④；结合二次函数图象中可得，二次函数最小值为，则当时，有，结合、与数量关系式即可判断结论⑤．【详解】解：依题得：该抛物线的对称轴是，即；点的对称点坐标是；．时，有，即，①错误；，，又将代入抛物线解析式中得，，即，又，，，②正确；将顶点坐标代入抛物线解析式中得，即，，又，，则，③正确；一元二次方程即，即，可解得，，④一元二次方程的两个根分别为，正确；时，在该抛物线中有，，，，⑤（其中）正确；综上，②③④⑤正确，故正确的个数为个．故选：．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、解一元二次方程、不等式，解题关键是熟练掌握二次函数的图形与性质，运用数形结合思想分析问题．11．【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可．【详解】解：∵万故答案为：12．（答案不唯一）【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，添加结合根据即可证明．【详解】∵添加结合根据即可证明，故答案为：（答案不唯一）．13．【分析】考查圆锥的计算；用的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于圆锥的底面周长；难点是得到扇形的半径．圆的半径为2，那么过圆心向引垂线，利用相应的三角函数可得的一半的长度，进而求得的长度，利用弧长公式可求得弧的长度，圆锥的底面圆的半径圆锥的弧长．【详解】解：作于点，连接，，，，，圆锥的底面圆的半径．故答案为：14．【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用．相似三角形的判定和性质．过点D作于点E，则，设点C的坐标为，则，可得点A的坐标为，点B的坐标为，再求出直线的解析式，联立可得点D的横坐标为，从而得到，再由，即可求解．【详解】解：如图，过点D作于点E，则，设点C的坐标为，则，∵轴，轴交反比例函数的图象于点，∴点A的坐标为，点B的坐标为，∴，设直线的解析式为，把点，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，联立得：，整理得：，解得：，∴点D的横坐标为，∴，∵，∴，∴，∴∴．故答案为：15．且【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列式计算．【详解】解：由题意得，，解得，且，故答案为：且．16．4或或【分析】由直角三角形的性质和勾股定理可得，，，分三种情况：当时，设垂足为；当时，作交于；当时，分别进行计算即可得到答案．【详解】解：在中，，，，，是的中点，，如图1，当时，设垂足为，

，由折叠可知，，，，，，，，，，，，；如图2，当时，

，则，由折叠可知：，，，，，，在中，，，，，，作交于，则，，是等腰直角三角形，，设，则，，，，即，解得：，，在中，，，；如图3，当时，

，由折叠的性质可得：，，，，，，，，，，，综上所述：的长为4或或，故答案为：4或或．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．17．【分析】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是罗列出部分点的坐标找出坐标规律．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合画弧的方法以及部分点的坐标寻找出来点的排布规律是关键．根据画弧的方法以及罗列部分点的坐标发现：点Ax的坐标满足“(n为正整数)，(n为自然数)，(n为自然数)，(n为自然数)”，根据这一规律即可得出点的坐标．【详解】解：观察，找规律∶，，，，，，，，，，，，，，，…，∴(n为正整数)，(n为自然数)，(n为自然数)，(n为自然数)．∵，∴的坐标为．故答案为：．18．（1）；(2)【详解】（1）解：原式．（2）解：；19．，．【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键，先将所给的一元二次方程整理后，分别找到二次项系数、一次项系数、常数项，利用一元二次方程的求根公式计算即可．【详解】解：方程整理得：，则，，,∵，∴，解得：，．20．(1)200；(2)见解析；90(3)【分析】本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用树状图法求概率．（1）由选择C专业的人数除以所占百分比即可求出总数，由乘以选择A（旅游管理）专业的人数所占的比例即可得出扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数；（2）求出B专业的人数，补全条形统计图即可，根据该中学选择“信息技术”专业意向的学生所占比例估计实际人数；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】（1）本次被调查的学生有：（人），故答案为：100；（2）扇形统计图中，A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：，故答案为：200；；（2）条形统计图中，B（信息技术）专业的人数为：（人），补全条形统计图如下：若该中学有300名学生有培训意向，估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有（人），故答案为：90；（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．21．(1)见详解(2)【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；（2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案．【详解】（1）证明：连接，∵是的直径，∴，∴，又∵，∴，又∵．∴，即，∴是的切线；（2）解：∵，∴，在中，，，，，，，，设，则，又，即，解得(取正值)，．22．(1)100；4.5；5(2)(3)两车相距180千米的时刻为1.5小时和3.5小时【分析】（1）根据图形，可知设甲车速度为m千米/时,乙车速度为n千米/时，可列出方程：m-n=20，m+n=180，可求得m、n，由此即可求出a、b；（2）利用待定系数法进行求解析式即可，注意取值范围；（3）分两种情况进行讨论，两车相距180千米时，出现在BC、CD两段，根据题意对两种情况进行分析求解．【详解】（1）解：设甲车速度为m千米/时,乙车速度为n千米/时，由AB段可知：m>n，则：，即：m-n=20①，由BC段可知：，即：m+n=180②，联立①、②得：m=100，n=80，∴甲车速度为100千米/时,乙车速度为80千米/时，有CD段可知：，解得：a=4.5，由DE可知，此时甲车已到达B地，此段为乙车单独行驶，即：，解得：b=5，故答案为：100；4.5；5；（2）由图可知，两车相遇时，为图中C点，相遇之后分为CD、DE两段，设CD段函数表达式为：，DE段函数表达式为：，将（2.5,0），（4.5,360）代入得：，解得：，∴CD段函数表达式为：，将（4.5,360）、（5,400）代入得：，解得：，∴DE段函数表达式为：，∴两车相遇后y与x之间的函数关系式为：；（3）由图可知，两车相距180千米时，出现在BC、CD两段，在BC段时，两车相距180千米时刻为：2.5-=1.5（小时），在CD段时，两车相距180千米时刻为：2.5+=3.5（小时），∴两车相距180千米的时刻为1.5小时和3.5小时．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解图象中每段所代表的意义，并结合函数进行解题．23．（1）①；②；③等边，证明见解析；（2）①3；②．【分析】（1）①利用圆的基本性质，即可求解；②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解；③利用勾股定理，求得B′D=，即可求解；（2）①由题意知点B'在以点E为圆心，半径长为2的圆上，△ABB'的面积要最大，只要以AB为底的高最长即可，此时当B'E⊥AB时，△ABB'的面积最大；②当E、B′、C三点共线时，B'C+EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，且最小值为