2021年全国高考乙卷数学（文）试题（解析版）

绝密★启用前

河南省2021年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知全集。={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则加(MuN)=()

A.{5}B.{1,2}c.{3,4}D.{1,2,3,4}

【答案】A

【解析】

【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.

【详解】由题意可得:MUN={1,2,3,4},则说(MUN)={5}.

故选：A.

2.设iz=4+3i,则z=()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

【答案】C

【解析】

【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.

【详解】由题意可得：z=^3=(4+')'=^^=3-4i.

i/—1

故选：C.

3.已知命题〃：Hx£R,sinxv1；命题/VxeR,>j,则下列命题中为真命题的是()

A.B.-PMC.P人fD.-i(pv^)

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦函数的有界性确定命题”的真假性，由指数函数的知识确定命题9的真假性，由此确定正

确选项.

【详解】由于sinO=O,所以命题。为真命题；

由于>=，在R上为增函数，国20,所以d"Ne°=l，所以命题4为真命题：

所以。八夕为真命题，—p^q、pzf、为假命题.

故选：A.

YX

4.函数/(x)=sin：+cos方的最小正周期和最大值分别是()

A.37t和&B.3兀和2C.6兀和0D.6兀和2

【答案】C

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简/(X)，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.

XX1—(y/2Xx/2X、/—(X71\z、

【详解】由题，/(x)=sin-+cos-=V2—sin-+—cos-V2sin-+—,所以/(x)的最小正

JDDNJy\J*J

2P

周期为一丁一“，最大值为0.

3

故选：C.

x+y>4,

5.若满足约束条件则z=3x+y的最小值为()

、y43,

A.18B.10C.6D.4

【答案】C

【解析】

【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为y=-3x+z,数形结合即可得解.

【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示,

y

x+y=4/、

由《:可得点A(l,3),

[y=3

转换目标函数z=3x+y为y=-3x+z,

上下平移直线y=-3x+z,数形结合可得当直线过点A时,z取最小值,

此时Zmin=3xl+3=6.

故选：C.

2兀25兀/、

6.COS'---COS'—=()

1212

A.1B.叵C.也D.3

2322

【答案】D

【解析】

JT5■TT-TT-TT

【分析】由题意结合诱导公式可得cos2——cos2==cos2=—Sil?再由二倍角公式即可得解.

12121212

2105万217

【详解】由题意，cos---cos—=cos----cos

121212

71

-cos—=

6

故选：D.

7.在区间（o,g随机取1个数，则取到的数小于;的概率为（

321

A.-B.-C.—D.

33

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.

【详解】设口="区间（o,g）随机取1个数”，对应集合为：p|O<x<|L区间长度为:，

A="取到的数小于g”，对应集合为：区间长度为;,

--0

所以9/、）二'（篇A）32

-3

--0

2

故选：B.

【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确

3

求出.

8.下列函数中最小值为4的是（）

A.y=f+2x+4

C.j=2r+22-XD.^=lnx+—

Inx

【答案】c

【解析】

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得

出民。不符合题意，C符合题意.

【详解】对于A,^=X2+2X+4=（X+1）2+3>3,当且仅当x=—l时取等号，所以其最小值为3,A不

符合题意；

'=卜"^+1台"2翡=4,当且仅当卜'目=2时取等号，等号取不到,

对于B,因为。（卜

所以其最小值不为4,B不符合题意;

对于C,因函数定义域为R,而2'〉0,=2V+22'A'=2X>274=4,当且仅当2、=2,即x=l

时取等号，所以其最小值为4,C符合题意;

对于D,y=\nx+-^—,函数定义域(O,l)U(l,+°°)，而InxeR且InxHO，如当lnx=-l,y--5,

Inx

D不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数

的性质即可解出.

1—Y

9.设函数/(幻=——，则下列函数中为奇函数的是()

1+x

A.f(x—1)—1B./(x—1)+1C./(x+1)—1D.f(x+1)+1

【答案】B

【解析】

【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

1_V2

【详解】由题意可得了(无)=——=-1+——，

\+X1+X

2

对于A,=――2不是奇函数；

X

/、2

对于B,/(工一1)+1=-是奇函数；

x

2

对于C,/(x+l)-l=—^-2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D,++l=定义域不关于原点对称，不是奇函数.

x+2

故选：B

【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

10.在正方体ABC。—中，P为耳。中点，则直线尸3与所成的角为()

兀兀兀兀

A.-B.-C.-D.一

2346

【答案】D

【解析】

【分析】平移直线4A至BG，将直线m与所成的角转化为P3与BG所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接BG，PC1,P8,因为AO1〃8G，

所以NPBQ或其补角为直线PB与所成的角,

因为8片J.平面A4G2,所以又PJLBQi，BBiCBiR=Bi，

所以PG_L平面PBB1,所以PG"LP8，

设正方体棱长为2,则BC,=2V2,PG=g,

sinZPBC,=^-=1,所以NPBG=f.

故选：D

11.设B是椭圆C:1-+y2=i的上顶点，点P在C上，则1PBi的最大值为（）

A.IB.76C.V5D.2

【答案】A

【解析】

【分析】设点P（如为），由依题意可知，3（0,1）,日+需=1，再根据两点间的距离公式得到|PB『，然

后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值.

2

【详解】设点P（Xo，%），因为8（0,1），a+才=1，所以

=x；+（%-I）?=5（l-y：）+（%T）2=-4%一2%+6=-410一；）+等，

而一所以当为=g时，|PB|的最大值为g.

故选：A.

【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数

的性质即可解出.易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的

长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量

的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值..

12.设若x=a为函数/(x)=a(x—a)2(x—的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【解析】

【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对。进行分

类讨论，画出/(.V)图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若。=6,则/(x)=a(x—a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故疝b.

.•.〃力有》=。和兀=。两个不同零点，且在》=。左右附近是不变号，在；1=。左右附近是变号的.依题意,

x=a为函数/(x)=—</)(,v-b)的极大值点，，在x=。左右附近都是小于零的.

当"0时，由x>b,〃x)WO,画出/(x)的图象如下图所示：

由图可知b<a,a<0,故出?〉".

当a>()时，由x>〃时，/(x)>0,画出/(x)的图象如下图所示:

由图可知b>〃，tz>0»故ab〉片.

综上所述，〃/?>/成立.

故选：D

【点睛】本小题主耍考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量Q=(2,5)石=(4,4),若a//b，则4=.

Q

【答案】-

【解析】

【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于2的方程，解方程即可求得实数/I的值.

【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4—4x5=0,

Q

解方程可得：2=-.

Q

故答案为：—.

22

14.双曲线二一上=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.

45

【答案】非

【解析】

【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.

【详解】由已知，c=寿=，帝=3,所以双曲线的右焦点为(3,0),

|3+2xO-8|5后

所以右焦点（3,0）到直线x+2y-8=0的距离为心”=忑=".

故答案为：V5

15.记AABC的内角A,B,C的对边分别为a",c,面积为百，8=60。，a2+c2=3ac，贝

【答案】20

【解析】

【分析】由三角形面积公式可得4=4,再结合余弦定理即可得解.

【详解】由题意，S.,,r=—acsinB-ac--73>

△A6c24

所以ac=4,/+c2=12,

所以/=a2+c2-2accosB=12-2x4x；=8,解得人=2近（负值舍去）.

故答案为：2日

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧

视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

图④图⑤

【答案】③④

【解析】

【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.

【详解】选择侧视图为③，俯视图为④,

如图所示，长方体ABC。—AgC12中，A8=6C=2,B4=1,

民尸分别为楼SC，BC的中点，

则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥七一AQE.

故答案为：③④.

【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关

系.

三、解答题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一

台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.01029.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为1和亍，样本方差分别记为S：和S；.

⑴求X,y,S：,S；；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果歹-亍22,则认为

新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

【答案】（1）工=10,亍=10.3,S：=0.036,S；=0.04；⑵新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有

显著提高.

【解析】

【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.

(2)根据题目所给判断依据，结合(1)的结论进行判断.

™…、-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7，八

［详解］⑴x=--------------------------------------------------=10,

10

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5…

y=--------------------------------------------------------=10.3,

0.2*2+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32

=0.036,

0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22…

=--------------------------------------------------------=0.04•

210

(2)依题意，y-x=0.3=2x0.15=2>/0.152=270.025-2J0-03^0-04=2^0.0076.

,所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

\10

18.如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PD_L底面ABC。，M为8C的中点，且

（1）证明：平面_1_平面P8E）；

（2）若PD=DC=1,求四棱锥。一ABC。的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）注.

3

【解析】

【分析】（1）由PD_L底面4BCO可得P£>_LA〃，又由线面垂直的判定定理可得AM,平

面PBD,再根据面面垂直的判定定理即可证出平面E4"_L平面PBD；

（2）由（1）可知，AM±BD^由平面知识可知，ADAB〜AABM，由相似比可求出AO，再根据四棱

锥P-ABCD的体积公式即可求出.

【详解】（1）因为P£>_L底面ABC。，AMu平面ABC。，

所以PDLAM，

又QBLAW，PBC\PD=P,

所以AMI.平面P8£>,

而AMu平面，

所以平面处M_L平面正比».

（2）由（1）可知，AM,平面所以AA/

从而AZHB〜△A8M，设=AD=2x,

RMARb

则F=F，即2f=l，解得X=在，所以AO=J5-

ABAD2

因为P£>_L底面ABC。，

故四棱锥P—ABCD的体积为V=gx（lx血）xl=*.

【点睛】本题第一问解题关键是找到平面或平面PBD的垂线，结合题目条件PBLAA/，所以垂线

可以从PRAM中产生，稍加分析即可判断出AM，平面P3D,从而证出；第二问关键是底面矩形面积

的计算，利用第一问的结论结合平面几何知识可得出ADW〜&48以，从而求出矩形的另一个边长，从而

求得该四棱锥的体积.

19.设｛4｝是首项为1的等比数列，数列｛2｝满足包=等.已知外,3%，9%成等差数列.

（1）求｛4｝和｛%｝的通项公式；

C

⑵记S,,和T,分别为｛4｝和｛4｝的前〃项和.证明：Tn<^-.

Irj

【答案】（1）a“=,b„=—；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】利用等差数列的性质及q得到9/一6。+1=0,解方程即可；

利用公式法、错位相减法分别求出S“,7；,再作差比较即可.

【详解】因为｛4｝是首项为1的等比数列且为,3%,9%成等差数列，

所以6a2=q+9%，所以6qg=q+9a闻？，

即9/-64+1=0,解得q=；,所以q

J。

nan_n

所以勿~=3"

1x(1--)々,

(2)证明：由(1)可得S“=-----白一=一(1一一)，

“123"

1-----

3

„12n-1n

北方+?+…+尹+/①

1_12n-1n人

/=?+式丁+诃，②

①一⑨得21111n.”一7n_1ri1x〃

r-(1-)r，

①②得/-§+?+于+•••+京-诃一丁一一F2F-F

3

31n

所以『丁下)-百，

MITS31n31、n

所以----——(1----)---------(1----)—-----

"243"2-3"43n2-3n

q

所以1〈寸

【点晴】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运

算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关

键是要看如何消项化简的更为简洁.

20.已知抛物线Uy?=2px(p>0)的焦点尸到准线的距离为2.

(1)求C的方程；

(2)已知。为坐标原点，点尸在C上，点Q满足用=9万，求直线。。斜率的最大值.

【答案】(1)y?=4x；(2)最大值为

3

【解析】

【分析】(1)由抛物线焦点与准线的距离即可得解;

(2)设。(%,%),由平面向量的知识可得尸(10%-9,10%)，进而可得％=28。再由斜率公式及

基本不等式即可得解.

【详解】(1)抛物线0：/=22K。>0)的焦点尸耳,0),准线方程为》=一个

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为勺P=2,

所以该抛物线的方程为V=4x；

（2）设。（如%），则而=9/=（9一9』,一9%）,

所以。（10/一9,10%），

由尸在抛物线上可得（10%y=4（10x0-9）,即/=259,

k%一1°>。

08

所以直线。。的斜率x0所y；+925邸+9,

10

当先=0时，kOQ—0；

k10

当犷。时，。厂25%+9，

%

QIQ~

当%>0时，因为25%+—22、25%-=30,

%V%

193

此时0<&o°4—,当且仅当25%=—，即为=2时，等号成立；

当先<0时，%<0；

综上，直线OQ的斜率的最大值为1.

3

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用平面向量的知识求得点。坐标的关系，在求斜率的最值时要

注意对方取值范围的讨论.

21.已知函数/（X）=/-X?+0C+1.

（1）讨论了（X）的单调性；

（2）求曲线y=〃x）过坐标原点的切线与曲线y=/（x）的公共点的坐标.

【答案】⑴答案见解析；⑵（1M+1）和（一1,一1一。）.

【解析】

【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；

(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.

【详解】⑴由函数的解析式可得：/'(%)=3f-2x+a,

导函数的判别式△=4—12。，

当△="时，/'(力20,/(%)在R上单调递增，

当A=4-12a>O,a<g时，/'(x)=0的解为：玉=匕斗三

(]一3a)

当xe-00,―丹——时，/(x)>oj(x)单调递增；

("S—3a1+J1-3alL〃、，、上…

当xw—、——,一、——时，/[x)<0,/(x)单调递减;

133,

当xe1+。；-3。,+8时，/，(x)>0j(x)单调递增；

综上可得：当a2；时，/(x)在R上单调递增，

l-Jl-3a1+J1—3a

3

ha1+J1-3。

单调递增，在上单调递减.

(2)由题意可得：/(不)=%-x：+<zXo+l,/'(/)=3片-2x(j+a,

x-

则切线方程为：y-(x；~o+"o+1)=(3x；2x0+a)(x—x0),

切线过坐标原点，贝I：0-(A^+ar0+1)=(3A^-2X0+<2)(O-XO),

整理可得：2x：—x；—1=0,即：(x0—1乂2%+与+1)=0,

解得：x0=l,则/(x0)=/(l)=l_l+a+l=a+l,/'(Xo)=/'(l)=l+a

切线方程为：y=(a+l)x,

与/(x)=x'—x~+ax+1联立得/—X?+依+1=(a+l)x,

化简得丁一--x+l=0,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是/——x+i的一个因

式，，该方程可以分解因式为（x—D（d—1）=0,

解得玉=1,工2=-1,

综上，曲线y=/（x）过坐标原点的切线与曲线y=/（x）的公共点的坐标为（1M+I）和（―1,—1一a）.

【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注

意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时,

要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点（交点），要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解

时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考

压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.

（-）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一

题计分.

［选修4-4:坐标系与参数方程］

22.在直角坐标系尤0y中，OC的圆心为C（2,l）,半径为1.

（1）写出OC的一个参数方程；

（2）过点F（4,l）作OC的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线

的极坐标方程.

X=2+COSCTTr-TTr-

【答案】（1）\,（a为参数）；（2）22cos（6+—）=4-6或22（：05（。——）=4+V3.

y=1+sina3