广东省深圳市葵涌中学高三数学理月考试题含解析

广东省深圳市葵涌中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m?α，m⊥β，则α⊥β D．若m?α，α⊥β，则m⊥β参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m∥β或m?β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m⊥与β相交、平行或m?β．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，α∥β，则m∥β或m?β，故B错误；在C中，若m?α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m?α，α⊥β，则m⊥与β相交、平行或m?β，故D错误．故选：C．2.已知集合，则（

）A.B.

C.

D.参考答案：B略3.复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（z﹣i）（2﹣i）=5，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z所对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由（z﹣i）（2﹣i）=5，得=，则z所对应的点的坐标为：（2，2），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1参考答案： D【考点】四种命题．【分析】根据逆否命题的定义，直接写出答案即可，要注意“且”形式的命题的否定．【解答】解：原命题的条件是““若x2＜1”，结论为“﹣1＜x＜1”，则其逆否命题是：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．故选D．5.集合,,若,则的值为A.

0

B.

1

C.

2

D.

4参考答案：D6.用“辗转相除法”求得和的最大公约数是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D7.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。这个问题中，甲所得为（

）A.钱 B.钱 C.钱 D.钱参考答案：B设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.8.已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[2，5] B．（﹣∞，2]∪[5，+∞） C．（﹣∞，3]∪[5，+∞） D．[3，5]参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OC的斜率最小，OA的斜率最大，由得，即A（1，5），此时OA的斜率k=5，由得，即C（2，4），此时OC的斜率k==2，即2≤≤5，则的取值范围是[2，5]，故选：A．9.有四个关于三角函数的命题：或；；；.其中真命题是（

）A．B．C．D．参考答案：D10.数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若平面上的三个不共线的向量满足且A、B、C三点共线，则S2006=

（

）

A．1003

B．1010

C．2006

D．2010参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为虚数单位），则＝

．参考答案：12.（5分）已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2﹣4）＜2，则实数x的取值范围．参考答案：（﹣，﹣2）∪（2，）【考点】：函数单调性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：解法一：不等式即ln（x2﹣4）+＜2，令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2①．令h（t）=lnt+2t，由函数h（t）的单调性可得x2﹣4＜1，从而求得x的范围．解法二：根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，f（1）=2，由不等式可得x2﹣4＜1，从而求得x的范围．解：解法一：∵函数f（x）=lnx+2x，∴f（x2﹣4）=ln（x2﹣4）+，∴不等式即ln（x2﹣4）+＜2．令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2①．令h（t）=lnt+2t，显然函数h（t）在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=2，∴由不等式①可得t＜1，即x2﹣4＜1，即x2＜5．由解得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜，故答案为：（﹣，﹣2）∪（2，）．解法二：由于函数f（x）=lnx+2x，∴f（1）=2，再根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，∴由f（x2﹣4）＜2可得x2﹣4＜1，求得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜，故答案为：（﹣，﹣2）∪（2，）．【点评】：本题主要考查函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．13.设等差数列{an}的公差是d，前n项和是Sn，若a1=1，a5=9，则公差d=

，Sn=

．参考答案：2，n2．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出公差，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{an}的公差是d，前n项和是Sn，a1=1，a5=9，∴a5=a1+4d=1+4d=9，解得公差d=2．∴=n+=n2．故答案为：2，n2．14.已知，，，且与垂直，则实数的值为

.参考答案：15.在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为

．参考答案：﹣考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：根据二项式展开式的通项公式，即可求出x的系数是什么．解答： 解：∵二项式（2x﹣）5展开式的通项公式是Tr+1=?（2x2）5﹣r?=（﹣1）r??25﹣r??x10﹣3r，令10﹣3r=1，解得r=3；∴T3+1=（﹣1）3??22??x；∴x的系数是﹣?22?=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础性题目．16.函数的导数为_

_______。参考答案：17.在△中，角所对的边分别为，已知，，．则=

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2＝4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|＝．(1)求椭圆C1的方程；(2)已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，顶点B、D在直线7x－7y＋1＝0上，求直线AC的方程．参考答案：(1)设M(x1，y1)，∵F2(1,0)，|MF2|＝．由抛物线定义，x1＋1＝，∴x1＝，∵y＝4x1，∴y1＝．∴M，∵M点在C1上，∴＋＝1，又b2＝a2－1，∴9a4－37a2＋4＝0，∴a2＝4或a2＝<c2(舍去)．∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆C1的方程为＋＝1.(2)∵直线BD的方程为7x－7y＋1＝0，四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设直线AC的方程为y＝－x＋m，则?7x2－8mx＋4m2－12＝0，∵A，C在椭圆C1上，∴Δ>0，∴m2<7.∴－<m<．设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝．y1＋y2＝(－x1＋m)＋(－x2＋m)＝－(x1＋x2)＋2m＝－＋2m＝．∴AC的中点坐标为，由ABCD为菱形可知点在直线BD：7x－7y＋1＝0上，∴7·－7·＋1＝0，m＝－1，∵m＝－1∈(－，)，∴直线AC的方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.19.已知函数恰有两个极值点，且.（1）求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）因为，依题意得为方程的两不等正实数根，∴，，令，，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，当时，，所以∴解得，故实数的取值范围是.（2）由（1）得，，，两式相加得，故两式相减可得，故所以等价于，所以所以，即，所以，因为，令，所以即，令，则在上恒成立，，令，①当时，所以在上单调递减，所以在上单调递增，所以符合题意②当时，所以在上单调递增故在上单调递减，所以不符合题意；③当时，所以在上单调递增，所以所以在上单调递减，故不符合题意综上所述，实数的取值范围是.20.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0．（1）求∠B；（2）设函数f（x）=﹣2cos（2x+B），将f（x）的图象向左平移后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间．参考答案：考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后再利用诱导公式、两角和的正弦公式变形，求出cosB的值，即可确定出∠B的大小；（2）根据三角函数图象平移法则、诱导公式求出g（x），再由正弦函数的单调递增区间、整体思想，求出函数g（x）的单调递增区间．解答：解：（1）由（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0及正弦定理得，（2sinA﹣sinC）cosB﹣sinBcosC=0，即2sinAcosB﹣sin（B+C）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，因为sinA≠0，所以cosB=，由B是三角形内角得，B=，（2）由（1）得，B=，则f（x）=﹣2cos（2x+B）=﹣2cos（2x+），所以g（x）=﹣2cos[2（x+）+]，=﹣2cos（2x+）=2sin2x，由得，，故函数g（x）的单调递增区间是：．点评：本题主要考查正弦定理，诱导公式、两角和的正弦公式，以及正弦函数的单调性的应用，属于中档题．21.某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．(1)上表是年龄的频数分布表，求正整数的值；

(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(3)在(2)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．参考答案：解：(1)由题设可知，，

.

(2)因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为：

第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．

(3)设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从六位同学中抽两位同学有：共种可能．其中2人年龄都不在第3组的有：共1种可能，所以至少有1人年龄在第3组的概率为．

略22.已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求函数的单调增区间；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，