河北省石家庄市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含解析

石家庄市2022-2023学年度第二学期期末考试高一数学(时间120分钟，满分150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列两项调查适宜采用抽样方法依次是()①一项对“中兴事件”(2018年4月16日，美国对中兴通讯施行惩罚措施，引起国内关于国产芯片讨论)影响的调查中有10000人认为这是美国贸易保护主义，对世界经济会产生比较负面的影响；有9000人认为这只是一个孤立事件，对世界经济大格局不会产生太大影响；有1000人没有发表自己的看法．现要从这20000人中随机抽取200人做进一步调查．②从某中学高二年级的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．A.①简单随机抽样，②系统抽样B.①分层抽样，②简单随机抽样C.①系统抽样，②分层抽样D①②都用分层抽样3.一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，如图所示，水面恰好过AC、BC、、的中点，那么，当底面ABC水平放置时，水面高为()A.6 B.7 C.8 D.94.已知向量，，且，则实数等于()A.2 B.1 C.－1 D.－25.已知a、b表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是()A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为()A.5 B. C. D.7.已知，则的值是()A. B. C. D.8.在四面体中，平面，，，若四面体的体积，则四面体的外接球的表面积为()A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某中学举办数学运算比赛，下表是参赛学生成绩的频数分布表，若学生成绩的第80百分位数是85，则下列说法中正确的是()成绩(分)606568707376818387899293频数57910111354a443A. B.学生成绩的众数是76C.学生的成绩的平均分大于76 D.学生成绩的极差为3310.函数的部分图象如图所示，则()A.B.C.图象的对称中心为D.图象的对称轴方程为11.在△ABC中，M，N分别是线段，上的点，CM与BN交于P点，若，则()A B.C. D.12.如图，在棱长为6的正方体中，点G为线段上的一个动点，则下列说法正确的有()A.线段长度的最小值为B.的最大值为C.点G在线段上运动时，始终有面D.的最小值为第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学的天桥”，据此公式可得________．14.已知，，且，则________．15.在正方体中，､分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.16.已知中，，，点P是外接圆圆周上的一个动点，则取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数，复数与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，(1)求；(2)若复数，且，求．18.从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．在中，，，所对边分别为a，b，c，且________．(1)求角B的大小；(2)若，，求的面积．注：若选多个条件分别解答，则按所选的第一个解答计分．19.已知，，函数．(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数在区间上的值域．20.某中学为普及学生的法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，进行法律常识考试，随机抽出100名学生成绩，将其成绩分成5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，已知在的人数等于在和的人数的算术平均数．(1)求a，b的值(结果保留三位小数)；(2)估计这100名学生的中位数和平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替，成绩取整数)；(3)已知该校高一学生共1200人，估计高一年级法律常识考试成绩在90分及以上有多少人？21.四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形．(1)点为棱上一点，若平面，，求实数的值；(2)若，求点到平面的距离．22.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点．”某街角公园计划对园内的一块草坪进行改建，这块草坪是由一个半径为的圆的一段优弧与此圆弧上一条长为的弦AB围成，改建计划是在优弧上选取一点C，以AC、BC、AB为边向外作三个等边三角形，其外心依次记为、、，在区域内种植观赏花卉．(1)设、，用a、b表示的面积；(2)要使面积最大，C点应选在何处？并求出面积最大值．

石家庄市2022-2023学年度第二学期期末考试高一数学(时间120分钟，满分150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用除法运算可得，然后根据复数的几何意义即得.【详解】由题可知，所以其在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.2.下列两项调查适宜采用的抽样方法依次是()①一项对“中兴事件”(2018年4月16日，美国对中兴通讯施行惩罚措施，引起国内关于国产芯片的讨论)影响的调查中有10000人认为这是美国贸易保护主义，对世界经济会产生比较负面的影响；有9000人认为这只是一个孤立事件，对世界经济大格局不会产生太大影响；有1000人没有发表自己的看法．现要从这20000人中随机抽取200人做进一步调查．②从某中学高二年级的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．A.①简单随机抽样，②系统抽样B.①分层抽样，②简单随机抽样C.①系统抽样，②分层抽样D.①②都用分层抽样【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样及简单随机抽样的概念结合条件分析即得.【详解】由题可知对①，此项抽查的总体数目较多，而且差异很大，符合分层抽样的适用范围；对②，从某中学高二年级的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，此项抽查的总体个数不多，而且差异不大，符合简单随机抽样的适用范围；所以宜采用的抽样方法依次是：①分层抽样，②简单随机抽样．故选：B.3.一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，如图所示，水面恰好过AC、BC、、的中点，那么，当底面ABC水平放置时，水面高为()A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.【详解】设面积为a，底面ABC水平放置时，水面高为h，由题可知侧面水平放置时，水的体积为，当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得，所以当底面水平放置时，水面高为12.故选：D.4.已知向量，，且，则实数等于()A.2 B.1 C.－1 D.－2【答案】A【解析】【分析】先求出，然后利用向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】由题意可得：，又因为，所以，解得：，故选：A.5.已知a、b表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是()A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则【答案】C【解析】【分析】举例说明判断ABD；推理判断C作答.【详解】在长方体，令平面是平面，对于A，若平面为平面，直线为直线，直线为直线，显然，，，此时直线是异面直线，A错误；对于B，若平面为平面，直线为直线，直线为直线，显然，，，此时平面与相交，B错误；对于D，若平面为平面，直线为直线，直线为直线，显然，，，此时直线相交，D错误；对于C，在直线上取点，过作直线，相交直线确定平面，由知，与相交，令交线为，显然，由，，得，而，于是，又，从而，而，所以，C正确故选：C6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为()A.5 B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，最后结合正弦定理即可得结果.详解：根据三角形面积公式得，，得，则，即，，故正确答案为C.点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一.7.已知，则的值是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.【详解】.故选：B8.在四面体中，平面，，，若四面体的体积，则四面体的外接球的表面积为()A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据锥体的体积公式求出，再求出底面外接圆的直径，从而求出外接球的半径，即可得解.【详解】依题意，，所以，又底面为直角三角形，所以外接圆的直径即为斜边，设四面体的外接球的半径为，则，即，所以外接球的表面积.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某中学举办数学运算比赛，下表是参赛学生成绩的频数分布表，若学生成绩的第80百分位数是85，则下列说法中正确的是()成绩(分)606568707376818387899293频数57910111354a443A. B.学生成绩的众数是76C.学生的成绩的平均分大于76 D.学生成绩的极差为33【答案】ABD【解析】【分析】根据百分位数的概念结合条件可得，然后根据众数，极差及平均数的概念结合条件即得.【详解】因为学生成绩的第80百分位数是85，，又，所以，即，故A正确；所以参赛学生的人数为80，学生成绩的众数是76，学生成绩的极差为33，故BD正确；学生的成绩的平均分为，故C错误.故选：ABD.10.函数的部分图象如图所示，则()A.B.C.图象的对称中心为D.图象的对称轴方程为【答案】AD【解析】【分析】由图知且求，根据五点法求参数，即可得的解析式，再由正弦型函数的性质求对称中心、对称轴方程，即可判断各选项的正误.【详解】由图可得：且，∴，则，A正确；由，则()，得，，又，所以，B错误；所以，有，由，，得，所以函数图象的对称中心为，C错误；由，，得，，即函数图象的对称轴方程为，D正确.故选：AD.11.在△ABC中，M，N分别是线段，上的点，CM与BN交于P点，若，则()A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据平面向量的基本定理及三点共线的向量表示得解.【详解】设，，由，可得，．因为C，P，M共线，所以，解得．因为N，P，B共线，所以，解得．故，，即，．故选：AD．12.如图，在棱长为6的正方体中，点G为线段上的一个动点，则下列说法正确的有()A.线段长度的最小值为B.最大值为C.点G在线段上运动时，始终有面D.最小值为【答案】BCD【解析】【分析】根据垂直时线段最短判断A，由直角三角形中的余弦值及A选项判断B，根据面面平行的性质判断C，由展开图利用余弦定理计算判断D.【详解】对A，连接，如图，当时，最短，由正方体棱长为6，所以，所以，可得，故A错误；对于B，连接，如图，由正方体可知平面，又平面，所以，故，由A知，的最小值为，故的最大值为，故B正确；对于C，连接，如图，在正方体中，∥，平面，平面，所以∥平面，同理可得∥平面，又，平面，所以平面∥平面，又平面，所以面，故C正确；对于D，把平面沿展开到平面所在平面，如图，连接交于，此时最小，最小值为,在中，，由余弦定理得，故D正确.故选：BCD第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学的天桥”，据此公式可得________．【答案】【解析】【分析】由已知公式直接计算即得.【详解】，.故答案为：.14.已知，，且，则________．【答案】3【解析】【分析】先求出向量的坐标，再利用模的坐标运算列方程求解即可.【详解】由已知得，，，解得.故答案为：3.15.在正方体中，､分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.【答案】##【解析】【分析】取的中点，连、、，利用平行四边形可得，可得是异面直线与所成角(或所成角的补角)，然后用余弦定理可得结果.【详解】在正方体中，取的中点G，连、、，，依次是和的中点，，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，是异面直线与所成角(或所成角的补角)，设正方体的棱长为2，则，，．异面直线与所成角的余弦值为．故答案为：．16.已知中，，，点P是外接圆圆周上的一个动点，则取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理可知外接圆的半径，设为的中点，根据向量的线性表示及数量积的运算可得，然后根据圆的性质可得，进而即得.【详解】设外接圆的半径为，由正弦定理可得，所以，如图设外接圆的圆心为，为的中点，连接则，所以，因为，所以，由圆的性质可知，即，所以，即取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数，复数与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，(1)求；(2)若复数，且，求．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根据复数的运算可得，结合条件可得；(2)根据复数的运算及复数相等的条件可得，然后利用模长的求法即得.【小问1详解】由已知复数,因为复数与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，所以；【小问2详解】因为，所以，整理得，所以，解得，，所以复数，所以，故．18.从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．在中，，，所对的边分别为a，b，c，且________．(1)求角B的大小；(2)若，，求的面积．注：若选多个条件分别解答，则按所选的第一个解答计分．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)利用正余弦定理，三角恒等变换及特殊角的三角函数结合条件即得；(2)利用余弦定理及三角形面积公式即得.【小问1详解】选①因为，由正弦定理，得,所以,因为，所以,所以,又因为，所以；选②因为，由正弦定理，得，所以，即，因为，，所以，又因为，所以；选③因为，由正弦定理，得，所以，即，因为，，所以，又因为，所以；【小问2详解】由余弦定理得，解得，故．19.已知，，函数．(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数在区间上的值域．【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】(1)根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得，然后根据正弦函数的性质即得；(2)根据三角函数的图形和性质结合条件即得.【小问1详解】因为，，所以,令，则，，所以函数的单调递减区间为，．【小问2详解】因为，所以，所以，所以函数在区间上的最大值为，最小值为，即在区间上的值域为．20.某中学为普及学生的法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，进行法律常识考试，随机抽出100名学生成绩，将其成绩分成5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，已知在的人数等于在和的人数的算术平均数．(1)求a，b的值(结果保留三位小数)；(2)估计这100名学生的中位数和平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替，成绩取整数)；(3)已知该校高一学生共1200人，估计高一年级法律常识考试成绩在90分及以上有多少人？【答案】(1)，；(2)中位数为72，平均成绩73；(3)60人．【解析】【分析】(1)根据直方图可得，，之间的人数，结合条件可得，的人数，进而即得；(2)利用直方图结合中位数，平均数的计算方法即得；(3)由题可得学生成绩在内的频率为0.05，然后根据高一学生人数即得.【小问1详解】由频率分布直方图，之间的人数为，与之间的人数均为，所以在，的人数共50人，因为在的人数等于在，的人数的算术平均数．设在的人数为x，则，解得，所以，的人数分别为30，20，所以，的频率分别为0.3，0.2，所以，．【小问2详解】由(1)可知，学生成绩在内的频率为0.45，在内的频率为0.75，设学生成绩中位数为，则：，解得，故：估计这100名学生的中位数为72，平均成绩为：．【小问3详解】因为学生成绩在内的频率为0.05，而该校高一学生共1200人，所以估计高一年级法律常识考试成绩在90分及以上人数为：人．21.四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形．(1)点为棱上一点，若平面，，求实数的值；(2)若，求点到平面的距离．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)本题首先可以通过证出，再通过得知四边形