线性代数与概率论（第五版） 课件 4.2 加法公式

第二节加法公式本节主要学习目标：[知识目标]

了解任意两个事件的和事件概率。

理解特殊情况的加法公式。

[能力目标]

能熟练计算两事件和的加法公式。2和事件概率考虑任意两个事件A,B,它们的和事件A+B发生的概率与它们本身发生的概率之间有什么关系?在试验E中,设长方形桌面Ω的面积为S,区域A的面积为SA,区域B的面积为SB,区域A与B交集A∩B的面积为SAB,区域A与B并集A∪B的面积为SA+B这时有关系式SA+B=SA+SB-SAB,如图加法公式3

加法公式4于是得到加法公式

=P(A)+P(B)-P(AB)这个公式说明:任意两个事件的和事件发生的概率等于这两个事件发生概率的和,再减去这两个事件的积事件发生的概率.例15某商店销售的某种商品只由甲厂与乙厂供货,历年供货统计资料表明,甲厂按时供货的概率为0.8,乙厂按时供货的概率为0.7,甲、乙两厂都按时供货的概率为0.6,求此种商品在该商店货架上不断档的概率解:设事件A表示甲厂按时供货,事件B表示乙厂按时供货,从而积事件AB表示甲、乙两厂都按时供货例16由题意得到概率P(A)=0.8P(B)=0.7P(AB)=0.6此种商品在该商店货架上不断档,意味着甲厂按时供货或乙厂按时供货,即事件A发生或事件B发生,可用和事件A+B表示根据加法公式,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.7-0.6=0.9所以此种商品在该商店货架上不断档的概率为0.9例27设A,B为两个事件,已知概率P(A)=0.2,P(B)=0.3,若概率P(A+B)=0.4,则概率P(AB)=_______

解:根据加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)得到概率P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)

=0.2+0.3-0.4=0.10.1特殊情况的加法公式8考虑特殊情况下的加法公式:如果事件A与B互斥,意味着事件A,B不可能同时发生,从而积事件AB是不可能事件,即AB=⌀这时有概率P(AB)=P(⌀)=0于是加法公式化为P(A+B)=P(A)+P(B)它说明:在两个事件互斥的条件下,两个事件的和事件发生的概率等于这两个事件发生概率的和特殊情况的加法公式9

特殊情况的加法公式10于是加法公式化为

即概率

或概率

它说明:任意一个事件发生的概率等于数1减去对立事件发生的概率.特殊情况的加法公式11若一个事件包括情况比较多,从而计算其发生的概率比较麻烦,这时它的对立事件一定包括情况比较少,当然计算其发生的概率比较简单于是应该先计算对立事件发生的概率,然后数1减去对立事件发生的概率,就得到所求事件发生的概率特殊情况的加法公式12特殊情况下的加法公式可以推广,它对于n个事件也是适用的如果事件A1,A2,…,An两两互斥,则有概率P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)例313产品分一等品、二等品及废品三种,若一等品率为0.71,二等品率为0.26,并规定一等品或二等品为合格品,求产品的合格品率解:设事件A1表示一等品,事件A2表示二等品,事件A表示合格品.由题意得到概率P(A1)=0.71P(A2)=0.26由于一等品或二等品为合格品,从而说明事件A为事件A1与A2的和事件,即事件A=A1+A2例314由于在任意一次抽取中所取到的一件产品不可能既是一等品又同时是二等品,说明事件A1与A2不可能同时发生,即事件A1与A2互斥根据加法公式的特殊情况,得到概率P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.71+0.26=0.97例415口袋里装有6个黑球与4个白球,任取4个球,求其中至少有1个白球的概率

例416

根据加法公式的特殊情况与§1.1古典概型计算概率的公式,得到概率

例517

根据加法公式的特殊情况,得到概率

0.7例618已知某射手射击一次中靶8环、9环、10环的概率分别为0.37,0.25,0.16,求该射手在一次射击中至少中靶8环的概率.解:设事件A1表示中靶8环,事件A2表示中靶9环,事件A3表示中靶10环,事件A表示至少中靶8环.由题意得到概率P(A1)=0.37P(A2)=0.25P(A3)=0.16例619由于事件A发生意味着事件A1发生或事件A2发生或事件A3发生,从而事件A为事件A1,A2,A3的和事件,即事件A=A1+A2+A3由于在任何一次射击中,事件A1,A2,A3中的任意两个事件都不可能同时发生,说明它们两两互斥根据加法公式特殊情况的推广,得到概率P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)

=0.37+0.25+0.16

=0.78加法公式总结20加法公式对于任意两个事件A,B,都有概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)加法公式总结21加法公式的特殊情况(1)如果事件A,B互斥,则有概率P(A+B)=P(A)+P(B)(2)对于任意事件A,都有概率

加法公式总结22加法公式特殊情况的推广如果事件A1,A2,…,An两两互斥,则有概率P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)加法公式总结23在应