北京市2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：数列

北京市2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练数列一、选择、填空题1、（海淀区2018届高三上学期期中考试）已知数列满足，则 （）（A） （B） （C） （D）2、（朝阳区2019届高三上学期期中）将正奇数数列依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：,称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的位于分组序列中A.第组B.第组C.第组D.第组3、（海淀区2019届高三上学期期中）在等差数列中，，，则公差的值是()（A）（B）（C）（D）4、（海淀区2019届高三上学期期中）已知等比数列的前项和为，下表给出了的部分数据：1……则数列的公比首项5、（通州区2019届高三上学期期中）设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为A． B． C． D．6、（朝阳区2019届高三上学期期末）已知数列为等差数列，为其前项的和.若，，则_______.7、（东城区2019届高三上学期期末）若等差数列和等比数列满足，，试写出一组满足条件的数列和的通项公式：，.8、（丰台区2019届高三上学期期末）已知等差数列中，，.若，则数列的前5项和等于（A）30 （B）45 （C）90 （D）1869、（石景山区2019届高三上学期期末）设为等差数列的前项和，，则其通项公式______．10、（昌平区2019届高三5月综合练习（二模））设数列的前项和为，且.请写出一个满足条件的数列的通项公式．11、（房山区2019届高三第二次模拟）设为等差数列的前项和，，，则=.12、（丰台区2019届高三5月综合练习（二模））已知等差数列的前项和为，能够说明“若数列是递减数列，则数列是递减数列”是假命题的数列的一个通项公式为____．13、（海淀区2019届高三5月期末考试（二模））若数列的前项和，则满足的的最小值为14、（海淀区2019届高三一模）已知等差数列满足，则中一定为零的项是(A)(B)(C)(D)15、（怀柔区2019届高三一模）若是等比数列，且公比,，则__________．16、（门头沟区2019届高三一模）等比数列中，则数列的通项公式.17、（石景山区2019届高三一模）等比数列的首项，，则其前项和_______．18、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））在等比数列中，若，，则=A．32 B．16 C．8 D．19、（西城区2019届高三一模）在等比数列中，，，则数列的前n项和____．20、（延庆区2019届高三一模）已知等比数列的公比为，若，则_____.二、解答题1、（海淀区2018届高三上学期期中考试）已知是等比数列，满足，，数列满足，且是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．2、（朝阳区2019届高三上学期期中）数列（）是各项均为正数的等比数列，且，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求.3、（海淀区2019届高三上学期期中）设是等比数列，为其前项和，且，.(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若，求的最小值.4、（通州区2019届高三上学期期中）已知数列的前项和满足，数列满足．（Ⅰ）求数列和数列的通项公式；（Ⅱ）令，若对于一切的正整数恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）数列中是否存在，使成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．5、（朝阳区2019届高三上学期期末）已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：①是的倍数；②.（Ⅰ）若，，写出满足条件的所有的值；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）求所有可能取值中的最大值.6、（大兴区2019届高三上学期期末）设有限数列，定义集合为数列的伴随集合．（Ⅰ）已知有限数列和数列．分别写出和的伴随集合；（Ⅱ）已知有限等比数列，求的伴随集合中各元素之和；（Ⅲ）已知有限等差数列，判断是否能同时属于的伴随集合，并说明理由7、（东城区2019届高三上学期期末）对给定的记由数列构成的集合.（Ⅰ）若数列，写出的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合，若.求证：存在整数，使得对中的任意数列，整数不是数列中的项；（Ⅲ）已知数列，记的前项和分别为.若求证：.10、（昌平区2019届高三5月综合练习（二模））对于集合，，..集合中的元素个数记为.规定：若集合满足，则称集合具有性质．（I）已知集合，，写出，的值；（II）已知集合，为等比数列，，且公比为，证明：具有性质；（III）已知均有性质，且，求的最小值.11、（朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模））对于由有限个自然数组成的集合,定义集合,记集合的元素个数为.定义变换，变换将集合变换为集合.（Ⅰ）若,求;（Ⅱ）若集合有个元素，证明:“”的充要条件是“集合中的所有元素能组成公差不为的等差数列”;（Ⅲ）若且，求元素个数最少的集合.12、（丰台区2019届高三5月综合练习（二模））在数列中，记(且).（Ⅰ）若对任意的且，都有，则称数列具有性质．①请写出具有性质的一个数列的前四项；②设数列具有性质，证明：；（Ⅱ）若存在常数，对任意的且，都有，则称数列是Ω数列．设是数列的前项和，且是Ω数列，证明：数列是Ω数列．13、（丰台区2019届高三一模）设且，集合.（Ⅰ）写出集合中的所有元素；（Ⅱ）设，，证明：“”的充要条件是“”；（Ⅲ）设集合，求中所有正数之和.14、（海淀区2019届高三一模）首项为O的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②(Ⅱ)请直接写出的所有可能值；(Ⅱ)记，若对任意成立，求的通项公式；(Ⅲ)对于给定的正整数，求的最大值．15、（怀柔区2019届高三一模）设集合W由满足下列两个条件的数列构成：=1\*GB3①；=2\*GB3②存在实数，使（n为正整数）.（Ⅰ）在只有5项的有限数列、中，其中=3，，；，试判断数列、是否为集合W中的元素；（Ⅱ）设是等差数列，是其前n项和，，证明数列；并写出的取值范围；（Ⅲ）设数列，且对满足条件的常数M，存在正整数k，使．求证：.16、（门头沟区2019届高三一模）给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”.（Ⅰ）已知数列，的通项公式分别为，试判断数列，是不是“指数型数列”；（Ⅱ）已知数列满足，判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；（Ⅲ）若数列是“指数型数列”，且，证明数列中任意三项都不能构成等差数列.17、（石景山区2019届高三一模）若项数为的单调递增数列满足：①；②对任意（，），存在（，）使得，则称数列具有性质.（Ⅰ）分别判断数列和是否具有性质，并说明理由；（Ⅱ）若数列具有性质，且，（ⅰ）证明数列的项数；（ⅱ）求数列中所有项的和的最小值．18、（房山区2019届高三一模）若数列满足：，且，则称为一个数列.对于一个数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列.（Ⅰ）若数列中，写出其伴随数列中的值；（Ⅱ）若为一个数列，为的伴随数列.①证明：“为常数列”是“为等比数列”的充要条件；②求的最大值.参考答案：一、选择、填空题1、D2、A3、A4、，45、D6、257、（答案不唯一）8、C9、10、（答案不唯一）11、3512、满足（答案不唯一）13、514、A15、16、17、18、A19、20、二、解答题1、解：（Ⅰ）设数列的公比为，则 ……2分解得， ……3分 所以， ……5分 令，则 ……7分 ……9分（Ⅱ） …13分2、解：（Ⅰ）设的首项为，公比为，则依题意解得.所以的通项公式为，.…….7分（Ⅱ）因为，所以……………….13分3、4、解：（Ⅰ）根据题意,数列满足,当时,.1分当时,,，即．2分所以数列是首项为，公比为的等比数列．3分所以，；4分又由已知，得．5分（Ⅱ）依题意得，．6分因为，7分所以当时，取得最大值．8分因为对于一切的正整数恒成立，所以．9分解得或，所以实数的取值范围是；10分（Ⅲ）假设存在，使成等差数列，则，即．11分两边同时除以，得①．12分因为为偶数，为奇数，这与①矛盾．13分所以不存在，使成等差数列．14分5、（Ⅰ）的值可取..…………3分（Ⅱ）由，对于任意的，有.当时，，即，即.则成立.因为是的倍数，所以当时，有成立.若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为.则,成立，因为是的倍数，故.由,得.因此当时，.…………8分（Ⅲ）由上问知，因为且是的倍数，所以满足下面的不等式：，.则,,,,,,,,,,当时，这个数列符合条件.故所求的最大值为85.………13分6、解：（Ⅰ）数列的伴随集合为，数列的伴随集合为．……3分（两个集合都对3分，只写对一个集合给2分．）（Ⅱ）先证明对任意或，则．假设．当且，因为，则，即，所以，与矛盾．同理，当且时，也不成立．……1分当且时，不妨设，因为，则，所以，……2分左边为奇数，右边为偶数，所以，……3分综上，对任意或，则所以求集合中各元素之和时，每个均出现次，……4分所以．……5分（Ⅲ）假设同时属于数列的伴随集合．设数列的公差为，则即……1分②-①得，，③-①得，，两式相除得，，……2分因为，所以，，……3分所以．又因为，所以，，……4分所以，与矛盾，所以不能同时属于数列的伴随集合．……5分7、解：（Ⅰ）由于数列，即，由已知有，所以，，将代入得的所有可能取值为..............................4分（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列:①当时，，因此时结论成立.②假设当时结论成立，即存在整数，使得成立.当时，，，或所以当时结论也成立.由①②可知，若数列具有的形式.由于具有的形式，以及，可得不是的整数倍.故取整数，则整数均不是数列中的项..............................9分（Ⅲ）由可得：所以有以上各式相加可得，即当时，有由于所以，于是.............................14分10、解：（I）….4分（II）要证具有性质，只需证明，若，则.假设上式结论不成立，即若，则.即，即，，.因为上式的右边为的倍数，而上式的左边为的倍数，所以上式不成立.故假设不成立，原命题成立.….10分（III）由题意，集合具有性质，等价于任意两个元素之和均不相同.如，对于任意的，有，等价于，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同.令，所以具有性质.因为集合均有性质，且，所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值为.….14分11、解：（Ⅰ）若集合,则.….3分（Ⅱ）令.不妨设.充分性：设是公差为的等差数列.则且.所以共有个不同的值.即.必要性：若.因为，.所以中有个不同的元素：.任意()的值都与上述某一项相等.又，且，.所以，所以是等差数列，且公差不为0.….8分（Ⅲ）首先证明:.假设,中的元素均大于,从而,因此,,故,与矛盾,因此.设的元素个数为,的元素个数至多为,从而的元素个数至多为.若,则元素个数至多为,从而的元素个数至多为,而中元素至少为26,因此.假设有三个元素,设,且,则从而.若,中比大的最小数为,则,与题意矛盾,故.集合中最大数为,由于,故,从而.(i)若且.此时,,则有,在22与28之间可能的数为 .此时23,24,25,26不能全在中,不满足题意.(ii)若且.此时,,则有,若,则或解得或.当时,,不满足题意.当时,满足题意.故元素个数最少的集合为………….13分12、解：（Ⅰ）①1,2,3,4.………………3分②假设()是数列中，使得成立的最小的项，则所以，所以，这与矛盾，所以假设不成立．所以.………………8分（Ⅱ）因为是𝛀数列，所以存在常数，对于任意的且，都有，因为是数列的前n项和，所以所以，因为=．所以数列是𝛀数列．………………13分13、解：（Ⅰ）因为，所以，所以中的元素有.（Ⅱ）先证充分性因为对于任意的，都有，所以．再证必要性因为，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以．假设存在，使得．所以或．若，不妨设，则，因为，．所以，，这与矛盾．所以．当时，必有．所以对于任意，都有．综上所述，“”的充要条件是“”．（Ⅲ）因为，所以为正数，当且仅当．因为对于任意的正整数，或，所以集合中，元素为正数的个数为，所以所有的正数元素的和为.14、解：（Ⅰ）的值可以取（Ⅱ）因为，因为对任意成立，所以为单调递增数列，即数列的偶数项是单调递增数列根据条件，所以当对成立下面我们证明“数列中相邻两项不可能同时为非负数”假设数列中存在同时为非负数因为，若则有，与条件矛盾若则有，与条件矛盾所以假设错误，即数列中相邻两项不可能同时为非负数此时对成立，所以当时，，即所以，所以即，其中即，其中又，所以是以，公差为的等差数列，所以（Ⅲ）记由（Ⅱ）的证明知，不能都为非负数当，则，根据，得到，所以当，则根据，得到，所以所以，总有成立当为奇数时，，故的奇偶性不同，则当为偶数时，当为奇数时，考虑数列：，可以验证，所给的数列满足条件，且所以的最大值为当为偶数时，考虑数列：，，-，，可以验证，所给的数列满足条件，且所以的最大值为15、解：(Ⅰ)对于数列{}，当n=1时，=，显然不满足集合W的条件①，故不是集合W中的元素。对于数列{}，当nÎ{1,2,3,4,5}时，不仅有，，，而且有，显然满足集合W的条件①②，故是集合W中的元素。-----------------5分(Ⅱ)∵是等差数列，是其前n项和，，设其公差为d，∴，∴d=-2∴,∵，∴；∵，∴的最大值是,即。∴，且M的取值范围是[20,+∞)---------------------------------------------------10分(Ⅲ)证明：∵，∴，整理，∵，∴，∴；又∵，∴，∴.--------------------------------------------------------------------------14分16、解：（Ⅰ）数列,,所以数列不是“指数型数列”。，所以数列是“指数型数列”（Ⅱ）数列是“指数型数列”，所以是等比数列，，所以数列是“指数型数列”（Ⅲ）若数列是“指数型数列”，由定义得：假设数列中存在三项成等差数列，不妨设则，得：