专题之应用题（2）-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）

专题：应用题(★★★)教学目标了解解应用题的一般思路与程序掌握各种模型应用题的解法知识梳理1.解应用题的一般思路可表示如下2．解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果.典例精讲【例题由学生先做，如果做对了，巩固练习可以不做】类型一：不等式模型（★★）旋客在车站候车室排队等候检票，并且排队旅客按一定速度在增加，设检票速度一定，当车站开放一个检票口时，需30分钟，可将待检旅客全部检票进站；当同时开放两个检票口时，只需10分钟，便可将旅客全部检票进站，现有一班增开列车过境载客，必须在5分钟内让旅客检票进站，问车站此时最少要同时开放几个检票口？分析与答案：（1）读题，寻找题意中的数量：检票速度；初始旅客人数；旅客增加速度；检票口的个数。（2）把有关的数量用符号表示出来：设检票速度为x人/分钟，初始旅客人数为y人，每分钟旅客增加z人，开放n个检票口，可使全部旅客在5分钟进站。（3）分析数量关系，列出关系式：开放一个检票口时，30分钟内旅客总人数等于经过检票口的人数，即y+30z=30x；开放两个检票口时，10分钟内旅客总人数等于经过检票口的人数，即y+10z=20x；开放n个票口时，要求5分钟检票完毕，则（4）解决数学问题：求最小的自然数n，使其满足 可见，最少开放4个检票口才能满足要求。巩固练习（★★） 某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为千米（忽略内、外环线长度差异）.当列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为分钟，求内环线列车的最小平均速度；新调整的方案要求内环线列车平均速度为千米/小时，外环线列车平均速度为千米/小时.现内、外环线共有列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过分钟，问：内、外环线应名投入几列列车运行？答案：(1)20千米/小时(2)10例2.（★★★）甲乙两地相距S公里，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度ｖ（千米／时）的平方成正比，并且系数为b，固定部分为a元．（1）将全程运输成本y表示成v的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车以多大速度行驶?-------------4分故所求函数及其定义域为.-------------5分(Ⅱ)依题意知S,a,b,v都为正数,故有.因为c-v≥0,且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,也即当v=c时,全程运输成本y最小.巩固练习（★★）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后，从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。（A、B孔的面积忽略不计）分析与解答：该题以污水处理为背景，考查了建立函数模型求最小值的问题。数，欲求y的最小值，只需求ab的最大值。∴当a=6米，b=3米时，经该箱沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。类型二：函数模型例3．（★★★）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(Ⅲ)是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。巩固练习（★★）某人定制了一批地砖．每块地砖（如图1所示）是边长为米的正方形，点E、F分别在边BC和CD上，△、△和四边形均由单一材料制成，制成△、△和四边形的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1．若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形．（1）求证：四边形是正方形；（2）在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？图1图1图2图2答案：（1）图2是由四块图1所示地砖绕点按顺时针旋转后得到，△为等腰直角三角形，∴四边形是正方形．…………4分（2）设，则，每块地砖的费用为，制成△、△和四边形三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a（元），…………6分…………11分由，当时，有最小值，即总费用为最省．答：当米时，总费用最省．…………14分类型三：数列模型例4．（★★★）关于某港口今后20年的发展规划，有如下两种方案：方案甲：按现状进行运营。据测算，每年可收入760万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递增20万元。方案乙：从明年起开始投资6000万元进行港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力。港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营．据测算，开始改造后港口第一年的收入为320万元，在以后的4年中，每年收入都比上一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第5年的水平上。从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？（收益＝收入－投资）解：（1）设从明年开始经过第n年，方案乙的累计总收益为正数。在方案乙中，前4年的总收入为eq\f(320(1-1.54),1-1.5)=2600<6000,故n必定不小于5，则由2600+3201.54(n-4)>6000，解得n>6eq\f(8,81),故n的最小值为7，答:从明年开始至少经过7年，方案乙能收回投资。（2）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1,y2万元，则y1=760n-[50n+eq\f(1,2)n(n-1)·20]=-10n2+720n,当n≤4时，则y1>0,y2<0,可得y1>y2.当n5时，y2=2600+3201.54(n-4)-6000=1620n-9880，令y1<y2,可得1620n-9880>-10n2+720n,即n(n+90)>998,由10(10+90)>998,9(9+90)<998,可得n的最小值为10.答：从明年开始至少经过10年，方案乙的累计总收益超过方案甲。巩固练习（★★★）如图，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减落后输出。（I）输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过r0，问冷轧机至少需要多少对轧辊？（II）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为160mm，若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Lk，为了便于检修，请计算L1、L2、L3，并填入下表，（轧钢过程中，带钢厚度不变，且不考虑损耗）分析：本题关键是正确理解轧钢过程中，带钢每经过一个轧辊的厚度变化规律，若考查连续几对轧辊，发现带钢厚度的值成等比数列。（I）厚度为α的带钢经过减薄率为r0的第一对轧辊后，厚度变为α（1－r0），再经过第二对轧辊后，其厚度变为α(1－r0)2，因此经过第n对轧辊后，带钢厚度为。（II）第k对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两个疵点之间带钢体积为而在冷轧机出口处两疵点之间的带钢体积为用带钢宽度相等，且无损耗，由体积相等，得类型四：解析几何模型例5．（★★★）如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，其中在距离O地5a（a为正数）公里北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中sinβ=现有110指挥部紧急征调离O地正东p公里的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时.（1）求S关于p的函数关系；（2）当p为何值时，抢救最及时.解：（1）以O为原点，正北方向为y轴建立直角坐标系，则设N（x0，y0），又B（p，0），∴直线BC的方程为：由得C的纵坐标，∴（2）由（1）得∴，当且仅当时取等号，∴当公里时，抢救最及时.巩固练习（★★★）小李真是个马大哈，一不小心把手机丢了，这可是花了整整3000元买的多功能手机呀，小李心急如焚，立即报告了相距的两个派出所，而那位拾手机者迫不及待地使用了手机，A、B两个派出所的监听仪器听到手机发声的时间差为6秒．且B处的声强是A处声强的4倍(设声速为声强与距离的平方成反比)，请你帮助小李确定持手机者的位置.解析：如图，以A、B中点为原点，直线AB为轴建立坐标系，则A、B的坐标为由于A、B两派出所监听器听到手机发声的时间差为6秒，可知持手机P在双曲线,又由于B处声强是A处声强的4倍，故点P又在圆上．故持手机者P在两图形的交点上．联立解方程组：,得,知持手机者P到AB中点的距离|OP|为而的正切值是，那么由|OP|及能很快找到拾手机者．【说明：本题利用坐标法将实际问题转化为数学问题，借助双曲线和圆的方程使实际问题得到解决．请同学们想一想，双曲线和圆的方程是怎样建立起来的?是利用题目中哪些已知条件建立起来的?】回顾总结【先由学生总结本堂课的收获，然后由老师补充需要注意的问题】1.高中数学中常见应用问题与数学模型？答案：（1）优化问题.实际问题