新教材高中数学第三章函数函数的应用一学案新人教B版必修第一册

3.3函数的应用（一）

（教师独具内容）

课程标准：1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在

实际情境中，能够运用已经学过的函数知识来解决实际问题，体会函数在解决实际问题中的

作用.

教学重点：用函数来解决实际问题.

教学难点：建立函数关系.

【情境导学】（教师独具内容）

现实生活中的许多实际问题可以用函数关系来表示，那么如何用我们已经学过的函数知

识来解决实际问题呢？这就是我们这节课要学习的内容.

【知识导学】

知识点解函数应用问题的基本步骤

第一步，但阅读理解，认真审题.

第二步，，引进数学符号，建立数学模型.

第三步，因利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果.

第四步，一转译成具体问题作出解答.

【新知拓展】

常见的函数

（1）一次函数：其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小.现实生活中很多

事例可以用该函数来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力

的关系等.

（2）二次函数：二次函数为生活中最常见的一种函数，因二次函数可求其最大值（或最小

值），故最优、最省等问题常常是二次函数问题.

（3）分段函数：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究

条件变化的实际问题，或者在某--特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.

1.判一判（正确的打“，错误的打"X"）

（1）在用函数解决实际问题时，得到的数学问题的解就是实际问题的解.（）

（2）现实生活中有很多问题都可以用分段函数来描述，如出租车计费，个人所得税

等.（）

⑶一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度与燃烧时间

f(h)的函数关系可以用一次函数来刻画.()

答案⑴X(2)V(3)V

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

⑴某人从/地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达6地，在8地停留2

小时，则汽车离开力地的距离y(单位：千米)是时间M单位：小时)的函数，该函数的解析

式是.

(2)有200m长的篱笆材料，如果利用己有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块

矩形菜地，那么矩形的长为m,宽为m时，这块菜地的面积最大.

801,0WLW2,

答案(Dy=(2)10050

160,2</W4

题型一一次函数的应用

例1一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30

元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)内有20天每

天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，

问应该从报社买进多少份报纸才能使每月所获得的利润最大，并计算最大利润是多少.

[解]设每天从报社买进报纸x份(250WxW400),每月所获得的利润为y元，列表分

析如下：

数量/份价格/元金额/元

买进30%0.206x

卖出20%+10X2500.306x+750

退回10(X-250)0.080.8x—200

所以y=[(6x+750)+(0.8A-200)]-6x=0.8x+550(250Wx<400).

因为y在xW[250,400]上是增函数，

所以当x=400时，y取得最大值870,

即每天从报社买进400份报纸时，才能使每月获得的利润最大，最大利润为870元.

金版点睛

一次函数应用题的解题方法

(1)建立一次函数时先求出自变量的取值范围；

(2)根据题目中的数量关系建立一次函数；

(3)利用一次函数的图像和性质求解、检验.

［跟踪训练1］某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本

40元，可获得利润22元，每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元.由于资金有

限，该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利最大，若按每月30天计算，应安排生产童

装和西服各多少天(天数为整数)？并求出最大利润.

解设生产童装的天数为*,则生产西服的天数为(30—*),每月生产童装和西服的套

数分别为200%和50(30-%),每月生产童装和西服的成本分别为40X200%元和

150X50X(30—x)元，每月生产童装和西服的利润分别为22X200x元和80X50X(30-^)

元，贝IJ总利润为y=22X200x+80X50X(30—力，化简得y=400x+120000.

注意到每月成本不超过23万元，则40X200x+150X50X(30—x)W230000,从而求出

x的取值范围是0WK10,且*为整数.显然当x=10时，赢利最大，最大利润是124000

元.

题型二二次函数的应用

例2某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯收益(己扣工资等)1

万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01

万元，但每年需付给下岗工人每位0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于

3

现有员工的『设该企业裁员X人后，年纯收益为y万元.

(1)写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；

(2)当140<aW280时，该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证

能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁员)

［解］(1)由题意，知尸(a—x)(1+0.Olx)—0.4k一击J+(儡一卷)x+a

31

因为a—在心所以后干

故x的取值范围是0,:上的自然数.

(2)因为尸一击x—(>7。)1+扰-7。)+a,且140<aW280,

所以当a为偶数时，x与一70,y取最大值；

当a为奇数时，7。(因为尽可能少裁员，所以舍去矛=等一70),y取最大值.

所以当员工人数为偶数时，该企业裁员住一70)人才能获得最大的经济效益；

当员工人数为奇数时，该企业裁员(毛工一70)人才能获得最大的经济效益.

金版点睛

二次函数应用问题的解题策略

(1)根据实际问题建立函数解析式(即二次函数关系式).

(2)利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值，从而解决实

际问题中的最值问题.

(3)解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图像.

［跟踪训练2］某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万

2

元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为48x4-8000,已知此生产线

□

年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以

获得最大利润？最大利润是多少？

解设可获得总利润为"(x)万元，

XX1

贝ij"(x)=40x-y=40x-=+48x-8000=一言+88%—8000=—三(X-220)2+

□□O

1680(0^x^210).

R®在［0,210］上是增函数，，x=210时，

"(不)皿=-《(210-220),+1680=1660(万元).

O

.•.年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元.

题型三分段函数的应用

例3某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115

元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元,

则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.

旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金

x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入.(日净收入即一日中出租的所有自行

车的总收入减去管理费用后的所得)

(1)求函数y=f(x)的解析式；

(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元?

［解］⑴当后6时，y=50%—115,

令50*—115>0,解得x>2.3.

又因为x《N,所以3WxW6,月.x£N.

当6<x<20,且x£N时，

y=［50-3(x-6)］%-115=-3/+68%-115,

综上可知y=f(x)

50kli5,3Wx$6,x£N,

—<

-3y+68%-115,6cxW20,xGN.

(2)当3WxW6,且xdN时，

因为y=50x—115是增函数，

所以当x=6时，%„*=185元.

当6<xW20,且x6N时，

所以当x=ll时，%«=270元.

综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元.

金版点睛

分段函数应用题的解法

分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各

段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值.

［跟踪训练3］学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发

现其在40min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图的

图像，当xG(0,12］时,图像是二次函数图像的一部分,其中顶点水10,80),过点6(12,78)；

当xG［12,40］时，图像是线段8G其中C(40,50).根据专家研究，当注意力指数大于62

时，学习效果最佳.

(1)试求y=f(x)的函数关系式；

(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.

解⑴当x《(0,⑵时，

设f(x)=a(x—10”+80(a#0).

因为该部分图像过点6(12,78),

将6点的坐标代入上式，得a=一/

所以/-(A)=-1(X-10)2+80.

当xW[12,40]时,设f(x)=kx-0).

因为线段8c过点6(12,78),C(40,50),将它们的坐标分别代入上式，得方程组

124+8=78,[k=-1,

解得

40A+Z?=50,〔力=90,

所以f(x)=—%+90.

故所求函数的关系式为

—Wx—'+80,xG,12],

f(x)=2

〔x+90,xG,40].

(0〈xW⑵

(2)由题意，得12,。八”

--X-J+80>62

“2<xW40,

或.

—x+90>62,

解得4〈后12或12<X28,即4<x<28.

故老师应在(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.

题型四利用均值不等式解应用题

例4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热

层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建

筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：

(OWxWlO),若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设/Xx)为隔热层建造费用与20

年的能源消耗费用之和.

(1)求4的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用/'(x)达到最小？并求最小值.

k

[解](1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)=「=,由C(0)=8,得4=40.

40

因此C(x)=3三.

3x+5

又因为建造成本费用为G(x)=6x,

所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

40

f(x)=20C(x)+G(x)=20X-——+6x

3x+5

800.一7、

=丁工7+6X(0WXW10).

3x+5

⑵,3=黑+2X（3X+5）T°

800

22Xx+—10

3x+5

=2X40-10=70.

当且仅当了==2X(3x+5),即x=5时，等号成立.

"十b

当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.

金版点睛

在应用均值不等式解决实际问题时，应注意的思想和方法

(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数.

(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.

(3)在定义域内求出函数的最大值或最小值.

(4)正确写出答案.

［跟踪训练4］某单位在国家科研部门的支持下，能够把二氧化碳转化为一种可利用的

化工产品.已知该单位每月的二氧化碳处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本

y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=p-200%+80000,且每处理一

吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补

贴多少元才能使该单位不亏损？

解(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为』=4x+笆晒一

x2x

200^2AT：X•80000—200=200,当且仅当800°°,即x=400时等号成立，故该单位

\12x2x

月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为每吨200元.

⑵不获利.

设该单位每月获利为S元，则

S=100x-y=100A—{^x-200^+80000j

=一#+300彳―80000=一和一300）2-35000,因为xd[400,600],所以SC[-80000,

-40000],

故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损.

1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，

由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（）

A.310元B.300元

C.390元D.280元

答案B

解析由图像知，该一次函数的图像过（1,800）,（2,1300）,可求得解析式y=500x+

300（40）,当x=0时，y=300.

2.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y=

4x%<10,xGN+,

«2*+x<100,xGN+,

,1.5x*2100,x《N+,

其中x代表拟录用人数，y代表面试人数.若面试人数为60,则该公司拟录用人数为

（）

A.15B.40

C.25D.130

答案C

解析令尸60,若4x=60,则x=15>10,不符合题意；若2x+10=60,则x=25,

满足题意；若1.5x=60,则x=40<100,不符合题意.故该公司拟录用25人.

3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件

时的生产成本为C（x）+2x+20（万元）.一万件售价是20万元，若该企业生产的这种商

品能够全部售出，那么为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为（）