充分条件与必要条件学案

【新教材】L4充分条件与必要条件

学案（人教A版）

学习目特

i知识目标

1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.

2.结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法.

3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.

2核心素瓶

k_______________

1.数学抽象：充分条件、必要条件与充要条件含义的理解；

2.逻辑推理：通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义，通过定义或集合关系进行充分条件、

必要条件、充要条件的判断；

3.数学运算：利用充分、必要条件求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组；

4.数据分析：充要条件的探求与证明：将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，

探求的过程同时也是证明的过程；

5.数学建模：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思

维能力。

重点难点

重点：充分条件、必要条件、充要条件的概念..

难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系.

学习过程

一、预习导入

阅读课本17-22页，填写。

1.充分条件与必要条件

命题真假“若0,则q”是真命题“若P，则g”是假命题

推出关系P._____qP.______q

条件关系P是q的_____条件。不是q的_____条件

。是。的_____条件0不是夕的_____条件

2.充要条件

一般地，如果既有p=>q,又有q=>p,就记作pQq.此时，我们说P是q的,简称.显

然，如果P是q的充要条件，那么q也是P的充要条件，即如果poq,那么P与q互为充要条件.

概括地说，(1)如果那么0与g条件.

(2)若月q,但#p,则称。是q的充分不必要条件.

(3)若gp,但晶q,则称p是q的必要不充分条件.

(4)若Ag,且#p,则称p是。的既不充分也不必要条件.

3.从集合角度看充分、必要条件

若AM,贝1」,是。的充分条件，若/_____B,则夕是1

的充分不必要条件€9

若BQA,则。是的必要条件，若B______A,则°是。

的必要不充分条件

若/_____B,则0,0互为充要条件

若/_____B,且^_____A,则。既不是g的充分条件，也

不是q的必要条件

•卜试牛刀

1.判断(正确的打“，错误的打“X”)

(1)若P是q的必要条件，则q是P的充分条件.()

(2)若(7是0的必要条件，则成立，。也成立.()

(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.()

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

⑴若P是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的条件.

(2)“a〉0,b>0”是“ab>0”的条件.

⑶“若p,则q”的逆命题为真,则p是q的条件.

3."x>2”是ax~3x+2>0"成立的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

自主探究

题型一充分条件、必要条件、充要条件的判断

例1指出下列各题中，0是。的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既

不充分也不必要条件”中选出一种作答).

(1)在△45C中，p-./给/B,q：BOAC-,

(2)对于实数x,y,p-.x+y^8,q：xW2或产S

(3)p-.(a—2)(a—3)=0,q-.a=3；

⑷「：a〈b,Q：­<1.

解题技巧：(充分条件与必要条件的判断方法)

(1)定义法

若P0q，q令P，则。是。的充分不必要条件；

若由q,q=p,则。是q的必要不充分条件；

若P0q,q=P，则°是q的充要条件；

若由q,q#p,则。是<7的既不充分也不必要条件.

(2)集合法

对于集合/={x|x满足条件",B={x|x满足条件小,具体情况如下：

若则。是g的充分条件；

若A?B,则是g的必要条件；

若A=B,则p是g的充要条件；

若想B,则。是g的充分不必要条件；

若医A,则。是g的必要不充分条件.

(3)等价法

等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等

价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断.

跟踪训练一

1.设a,6是实数，贝。“a乂”是«4〉侨'的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

题型二充要条件的探求与证明

例2(1)”/—4水0”的一个充分不必要条件为()

A.0<K4B.0<X2

C.x〉0D.JK4

(2)已知x,y都是非零实数，且x〉y,求证：勺充要条件是灯〉0.

解题技巧：(探求充要条件一般有两种方法)

⑴探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B),再证明B是A的充分条件，这

样就能说明A成立的充要条件是B,即从充分性和必要性两方面说明.

(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探

求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明.

跟踪训练二

2.(1)不等式x(x—2)〈0成立的一个必要不充分条件是()

A.xd(0,2)B.xG［—1,+8)

C.xd(0,1)D.xd(1,3)

(2)求证：关于x的方程af+6x+c=0有一个根是1的充要条件是a+6+c=0.

题型三利用充分、必要条件求参数的范围

例3已知°：f—8x—20W0,<7：/—2^+1—7»^0(/»>0),且0是g的充分不必要条件，则实数勿的取值

范围为

变式.［变条件］［例3］本例中“。是的充分不必要条件”改为“。是q的必要不充分条件”，其他条件

不变，试求0的取值范围.

解题技巧：(利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围)

(1)化简0、g两命题，

(2)根据。与g的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，

(3)利用集合间的关系建立不等关系，

⑷求解参数范围.

跟踪训练三

3.已知々{x|a—4〈x〈a+4},g{x|l<x<3},是0”的必要条件，求实数a的取值范围.

当堂桧iW

1.设。：x<3,q：—l<x<3,则。是q成立的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

2.如果/是6的必要不充分条件，8是C的充要条件，。是C的充分不必要条件，那么力是〃的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.下面四个条件中，使a>6成立的充分不必要条件是（）

A.a26+lB.a>b~1

C.a>l）D.a>l）

4.条件0：1—x〈0,条件g：x>a,若。是g的充分不必要条件，则a的取值范围是.

5.下列说法正确的是.（填序号）

①“x>0”是“x>l”的必要条件；

②"4/是“a>b”的必要而不充分条件；

③在△/回中，“a>6”不是“A>B”的充分条件；

6.下列命题中，判断条件。是条件。的什么条件.

（l）p：|x|=|y|,q：x=y；

（2）/2:△/宽是直角三角形，Q-.是等腰三角形；

（3）口四边形的对角线互相平分，g：四边形是矩形；

7.已知°：系一2k一3〈0,若一a<x—l〈a是p的一个必要条件但不是充分条件，求实数a的取值范围.

8.求关于x的方程af+2x+l=0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件.

答案

小试牛刀

1.答案：⑴V（2）X（3）X

2.（1）充分（2）充分（3）必要

3.A

自主探究

例1【答案】见解析

【解析】（1）在△力此中，显然有/给/『8。44所以夕是g的充分必要条件.

⑵因为x=2且y=60x+y=8,即"'户"，但"^>飞所以。是。的充分不必要条件.

⑶由(a—2)(a—3)=0可以推出a—2或a=3,不一定有a=3；由a—3可以得出(a—2)(a—3)=0.因此,

夕是0的必要不充分条件.

(4)由于aV8,当6V0时，微>1;

当8>0时，曰<1,故若不一定有?V1；

bb

当a>0,Z?>0,~<1时，可以推出a<b；

b

当a<0,6V0,弓VI时，可以推出a>b.

b

因此夕是。的既不充分也不必要条件.

跟踪训练一

1.【答案】D

例2【答案】(1)B(2)见解析

【解析】⑴由4/0得0</4,则充分不必要条件是集合｛x|0<水4｝的子集，故选B.

(2)法一：充分性：由灯〉0及x〉p,得匹〉2，即工<乙

xyxyxy

必要性：由*,W---<o,即二<o.

xyxyxy

因为x>%所以p—x<0,所以灯>0.

所以又与勺充要条件是盯>0.

Xy

y—x

由条件X>—p—*0,故由---<0=xp>0.

xy

所以一<,=xy>0,

xy

即乙,的充要条件是孙>0.

Xy

跟踪训练二

2.【答案】(1)B(2)见解析

【解析】(1)由x(x—2)<0得0〈水2,因为(0,2)是[—1,+8),所以“工£[—1,+8)”是“不等式

—2)<0成立”的一个必要不充分条件.

(2)证明假设夕：方程3火2+6匠+。=0有一个根是1,(7：a+b+c—Q.

①证明片?,即证明必要性.

x=1是方程ax+bx+(?=0的根，:.a•12+Z?•l+c=0,即a+b+c=Q.

②证明RR即证明充分性.

由a+b+c=Q,得c=~a—b.

*.*ax+bx~\-c=0,/.ax+bx-a—b=0,

即—1)+6(才-1)=0.故(x—l)(ax+a+6)=0.

・・・x=l是方程的一个根.

故方程ax+bx+c=0有一个根是1的充要条件是a+b+c=Q.

例3【答案】｛引力29｝(或[9,+8))

【解析】由/—8x—20W0,得一2W^^10,由f—2x+l-/W0(%>0),

得1—m勿(%>0).

因为,是°的充分不必要条件，所以尸且以夕.

即｛x|—2WxW10｝是｛x|1—/勿，%>0｝的真子集，

力>0,1一/W—2,

所以<1—加一2,或<力0,解得"29.

」+勿210〔1+%>10,

变式.【答案】见解析

【解析】由x2—8x—20W0得一2W^r^lO,由x?—2x~\~1—宫W0(%>0)得1—m(近0)

因为夕是1的必要不充分条件，所以及>夕，且局a

则｛x|1—/WxWl+%，%>0｝是｛x|—2W^^10｝

%>0

所以41—m2—2,解得0〈%W3.

/W10

即力的取值范围是(0,3].

跟踪训练三

3.【答案】见解析

【解析】因为“xRP'是的必要条件