高中数学常用公式及常用结论大全1

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高中数学常用公式及常用结论

1.元素与集合的关系

xwA=Cb.A,XECUA=xgA.

2.德摩根公式

Cu(AnB)^CuA\jCuB-,Cu(A\jB)^CuAnCuB.

3.包含关系

AC\B=A^A\JB=BoAuBoCuB^CuA

=4口。8=中=CUAUB=R

4.容斥原理

card{AU8)=cardA+cardB-card{AAB)

card(AU8UC)=cardA+cardB+cardC-card{AAB)

—card(AC\—card(BC\C)—card(CC\A)+card(AOBr\C).

5.集合｛%,4，…，4,｝的子集个数共有2"个；真子集有2"-1个；非空子集有2"-1个；非空的真子集

有2〃-2个

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)—■般式/(x)=ax2+bx+c(aH0);

(2)顶点式f(x)-a(x-h)~+A(aHO);

⑶零点式f(x)=a(尤一丹)(x-x2)(a*0).

7.解连不等式N</(x)<M常有以下转化形式

N<f(X)<MQ"(x)-M]"(x)-N]<0

,,,、M+N,M-N把奇。

o"(x)-一l<-^—=

=-------->-------.

f（x）—NM-N

8.方程/（x）=0在（勺，七）上有且只有一个实根,与/（匕）/（k2）<0不等价,前者是后者的一个必要而不是

充分条件.特别地，方程这2+以+，=0（。。0）有且只有一个实根在（匕,七）内，等价于/（匕）/（丛）<0,或

£/1、c口]bk[+k[f£,]、门口h+hb,

/(&])=0且攵]<——<—-—,或f(k2)=。且—~—<——<22・

2a222a

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数/(x)=ax2+bx+c{a*0)在闭区间[p,司上的最值只能在x=-二处及区间的两端点处取得，具

2a

体如下：

/7h

⑴当a>0时，若无=一丁€上引,则/(》濡=/(一丁),/*)1rax=max{/(P)，/(4)}；

2a2a

X=~—^[。，司，/。，皿=max{/(P)，/⑷}，/(X)min=min{/(。)，/(4)}・

2a

ah

(2)当水0时，若x=--e[p,q],则/(x)min=min{/(p)J(q)},若x=-—^[p,q],则

2a2a

f(x)max=max{/(p)J(q)},/Wmin=min{/(p),/(^)}.

i

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10.一元二次方程的实根分布

依据:若/(〃?)/(〃)<(),则方程/(x)=0在区间(加,〃)内至少有一个实根.

设/(x)=x2+px+q,贝!]

p2-4^>0

(1)方程/(%)=0在区间(〃2,+8)内有根的充要条件为/(m)=0或，n；(2)方程/(x)=0在

--->m

I2

/(m)>0

/(〃)>0

=°或“〃)=0

区间(外〃)内有根的充要条件为/(机)/(〃)<0或<p2-4^>0或.

W(〃)>o叭加)>0'

p

m<---<n

2

p2-4q>0

(3)方程/。)=0在区间(-8,")内有根的充要条件为/(〃?)<0或♦

~—<m

2

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

⑴在给定区间(-8,+8)的子区间L(形如[&£],(一8,川，[a,+8)不同)上含参数的二次不等式

/(XJ)20(/为参数)恒成立的充要条件是>0(xgL).

(2)在给定区间(-8,+8)的子区间上含参数的二次不等式/(x,f)?oC为参数)恒成立的充要条件是

40(x《L).

o>0

a<0

⑶/(X)=4+疗+c>0恒成立的充要条件是b>o^<

b2—4ac<0

c>0

12.真值表

pq非Pp或qp且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常见结论的否定形式

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有n个至多有(〃一1)个

小于不小于至多有n个至少有(〃+1)个

对所有X,存在某X,

成立不成立p或q-ip且一

对任何X,存在某X,

不成立成立P且q-1〃或一1g

2

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14.四种命题的相互关系

15.充要条件

(1)充分条件：若P=■q,则P是<7充分条件.

(2)必要条件：若qnp,则p是q必要条件.

(3)充要条件：若pnq,且qnp,则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

(1)设$•々eHx2那么

(x1-x2)[/(x1)-/(x2)]>0=3匕9>0=/(x)在上是增函数；

(x,-x2)[f(x,)-f(x2)]<0^/区)1/(々)<0o/(x)在L,“上是减函数.

X]—x2

(2)设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果/'(x)>0,则/(x)为增函数；如果/'(x)<0,则/(x)为

减函数.

17.如果函数/(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数/(x)+g(x)也是减函数；如果函数

y=/&)和〃=g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y=/[g(x)]是增函数.

18.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那

么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.

19.若函数y=/(x)是偶函数，贝ij/(x+a)=/(—x—a)；若函数y=/(x+a)是偶函数，则

f(x+a)=f(-x+a).

20.对于函数y=/(x)(xe/?),/(x+a)=/Q-x)恒成立,则函数/(x)的对称轴是函数x=巴笠；两

个函数y=/*+4)与)，=f(h-x)的图象关于直线》=区?对称.

21.若/。)=一/(一x+a),则函数y=/(x)的图象关于点弓,0)对称；若/(x)=，贝！I函数

期为2a的周期函数.

22.多项式函数P(x)=anx"++…+劭的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数=P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数QP(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数y=/(x)的图象的对称性

(1)函数y=/(x)的图象关于直线x=。对称=/(a+x)=/(a—x)

Q/(2a-％)=/(%).

3

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(2)函数y=/(x)的图象关于直线x=g且对称=f(a+mx)-f(b-mx)

=f(a+b-mx)-f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.

(2)函数y=f(mx—a)与函数)，=/(0-〃?x)的图象关于直线x=-对称.

2m

(3)函数〉=/(幻和)，=/T(X)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y=/(x)的图象右移。、上移b个单位，得到函数y=/(x-a)+b的图象；若将曲线

/(x,y)=O的图象右移a、上移b个单位，得到曲线/(x—a,y—6)=0的图象.

26.互为反函数的两个函数的关系

f(a)=bof-'(b)=a.

27.若函数y=/(乙+》)存在反函数,则其反函数为y="/T(x)-勿，并不是、=[0|(依+与，而函数

K

y=[/t(履+6)是y=-[fW-b]的反函数.

K

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数/(x)=ex,f(x+y)=f(x)+/(y),/(l)=c.

(2)指数函数/(x)=优，f(x+y)=/(x)/(y),/(l)=a*0.

(3)对数函数/(x)=logax,/(xy)=/(x)+/(y),/(a)=l(a>0,aH1).

(4)幕函数f(x)=xa,f(xy)=/(x)/(y),/'⑴=a.

(5)余弦函数/(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx,/(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)>

I。X

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

(1)/(x)=/(x+a),则/(x)的周期T=a；

(2)/(x)=f(x+a)=0,

或f(x+a)=—J--(/(x)H0),

/(x)

^f(x+a)=—^—(/(x)AO),

f(x)

或g+J/(x)-〃(x)=/(x+«),(/(x)e[0,1])，则f(x)的周期T=2a；

(3)/(x)=l-----(〃x)N0),则/(x)的周期T=3a；

f(x+a)

(4)/(x,+x2)=且/⑷=l(/(x)HLO<1%一Zl<2。)，则/(x)的周期T=4a；

1-/(七)/(*2)

(5)/a)+/a+o)+/(x+勿)/(%+⑦)+/(%+而)

=f(x)f(x+a)f(x-\-2a)f(x+3d)f(x+4a),则/(x)的周期T=5a；

(6)/(x+〃)=f(x)-f(x+a),则/(x)的周期T=6a.

30.分数指数累

竺1

(1)an-,——(,aN,且〃>1).

yja,n

4

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-里1

(2)a〃=—(a>O,m,neN*,且〃>1).

an

31.根式的性质

(1)(Vfl)"=a.

(2)当〃为奇数时，=

当〃为偶数时，W1=\a\=\

-a,a<0

32.有理指数塞的运算性质

(1)ar-a'=ar+s(a>O,r,seQ).

(2)(ar)s=ar'(a>O,r,seQ).

(3)(ab)r=arbr(a>O,b>Q,reQ).

注：若a>QP是一个无理数，则寸表示一个确定的实数.上述有理指数募的运算性质，对于无理数指数

舌BB

33.指数式与对数式的互化式

log«N=/?Qa"=N(a>O,a^l,N>0).

34.对数的换底公式

iOSN

log„N-—(a>0,且awl,m>0,且〃？Hl,N>0).

log,”a

Yl

推论logbn=—log”。(a>0,且。>1,机,〃>0,且加w1,〃w1,N>0).

am

35.对数的四则运算法则

若a>0,aWLM>0,N>0,贝!!

(1)log”(MN)=log.M+log,N;

M

⑵log„—=logaM-loga^;

(3)logaM"=nlognM(neR).

36.设函数f(x)=log,,,(ax2+bx+c)(aH0),记△=/-4ac.若/(x)的定义域为R,则。>0,且A<0;

若/(x)的值域为R,则a>0,且ANO.对于a=0的情形,需要单独检验.

37.对数换底不等式及其推广

若。>0,b>0,x>0,X。,，则函数y=log“1Sx)

a

⑴当a>b时,在(0」)和(L+8)上y=logav(bx)为增函数.

aa

.(2)当a<b时,在(0,-)和(-,+oo)上y=log〃r(bx)为减函数.

aa

推论:设〃>加>1，p>0><7>0>且“Hl，贝！I

⑴log,“+0(〃+P)<log,”〃・

,、，,,m+n

(2)log“租log,,〃<log。2——.

38.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有)，=N(l+p),.

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

5

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,，n=l

1c(数列｛%｝的前n项的和为s“=1+%+-+%).

sn-sn_vn>2

40.等差数列的通项公式

an=a]+(〃—l)dN")；

其前n项和公式为

=〃(％+%)n(n-l)

=na4-----------

212x

d2,1八

=­/?~+(<2|——d)n.

41.等比数列的通项公式

="可'(〃€N*)；

q

其前n项的和公式为

,q±1

i-q’

叫,q=1

a「ci〃q

,q±l

=<1—q

叫，q=1

42.等比差数列｛a“｝:an+x=qan+d,a1=b(qH0)的通项公式为

b+(n-l)d,q-]

a„=\bq"+(d-b)qn-'-d

,gH1

.q-i

其前n项和公式为

nb+n(n=1)

if"

(b—(q*1)

\—qq—\l-q

43.分期付款(按揭贷款)

每次还款x=元(贷款a元,“次还清，每期利率为b).

(1+/>)-1

44.常见三角不等式

JI

(1)若xw(0,—),则sinx<x<tanx.

2

⑵若元£(0,乙)，贝！JI<sinx+cosx〈收,

2

(3)Isinxl4-lcosxl>l.

45.同角三角函数的基本关系式

f)

22win

sin+cos0=19tan^=-------,tan0-cotO=1.

cos。

46,正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)

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.产兀、(-l)2sina,(n为偶数)

sin(—+a)=〈

2"1

(一1)2cosa,(n为奇数)

(n为偶数)

兀、(-1户cosa,

cos(-^-+a)=<〃+i

(n为奇数)(-1)2sina,

47.和角与差角公式

sin(a±4)=sinacos/?±cosasin尸；

cos(a=cosacos[3+sincrsin/3;

/,0、tan6z±tanB

tan(a±夕)=----------.

l+tanatanft

sin(a+/?)sin(a-7?)=sin2a-sin?0(平方正弦公式);

cos(a+1)cos(a一夕)=cos2nr-sin20.

〃sina+/?cosa=J?7P_sin(a+9)(辅助角夕所在象限由点(a/)的象限决定，tan^9=—).

a

48.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2a-sin2a=2COS2a-l=l-2sin?a.

2tana

tan2a=

1-tan2a

49.三倍角公式

sin3。=3sin8-4sirP8=4sin0sin(y-6)sin(y+8).

兀兀

cos3。=4cos36-3cos8=4cos0cos(——6)cos(—+8)

3tan6-tan，8八，兀八、，兀八、

tan36---------；----=tan0tan(---6)tan(—+6).

l-3tan2^33

50.三角函数的周期公式

函数丁=5也（公1+*）,*£区及函数》=<：0$（5+夕）衣£1?（儿3,夕为常数，且AW0,3>0）的周期r=—；

CD

jrTT

函数y=tan（69x+8）,x丰k/r+—,keZ（A,“，（p为常数,且AWO,3>0）的周期T=—.

2（D

51.正弦定理

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=h2+c2-2bccosA;

b~=c~a1-2cacosB;

c2=a2+b2-2abcosC.

53.面积定理

(1)S=—ah=—bh=—ch(h、%、也分别表示a、b、c边上的高).

2a20h2ca"c

(2)S=—absinC=—besinA=—casinB.

222

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22

(3)Ss0AB=|yl(\OA\\OB\)-(OAOB).

54.三角形内角和定理

在AABC中，有A+8+C=〃C=万一(A+B)

=色=生—A+—02C=2〃-2(A+B).

222

55.简单的三角方程的通解

sinx=a=x=&%+(-1)"arcsino(kGZ,la\<l).

cosx=a<^>x=2k7T±arccosa(kGZ,\a\<1).

tanx=a=x=k兀+arctana(ksZ,awR).

特别地,有

sina=sin夕=a=1+㈠？0(kwZ).

cosa=cos(3=a=2k兀±/3(kwZ).

tana-tana=k7r+°(keZ).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinx>a(\a\<l)xe(2左乃+arcsina,2k兀+九一arcsina),keZ.

sinx<a(\al<1)<=>xe(2k7r-TT-arcsina,2k兀+arcsina),keZ.

cosx>a(\a\<l)<^>xeQk兀一arccosa,2k兀+arccosa),kwZ.

cosx<a(\a\<l)<^>xeQk兀+arccosa,2k兀+2〃-arccos«),keZ.

兀

tanx>a(aER)nXE(k兀+arctana,k兀+万)，KEZ.

兀

tanx<a(ae/?)=>XG(kn--,k7T+arctana),keZ.

57.实数与向量的积的运算律

设人、口为实数，那么

(1)结合律：入(ua)=(入口)a;

⑵第一分配律：(X+u)a=Xa+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

58.向量的数量积的运算律：

(1)a•b=b•a(交换律)；

(2)(Aa)•b=A(a•b)=Aa•b=a•(Ab);

(3)(Kb)•c=a•c+b•c.

59.平面向量基本定理

如果&、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数储、X

使得a=入iei+入2e2.

不共线的向量已、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

60.向量平行的坐标表示

设2=(%，%)，，且bWO,则ab(b^O)<=>x]y2-x2y}=0.

53.a与b的数量积(或内积)

a•b=|a||b|cos0.

61.a-b的几何意义

数量积a•b等于a的长度lai与b在a的方向上的投影Iblcos。的乘积.

62.平面向量的坐标运算

⑴设a=(百，%)，b二(%,%)，则a+b=(X+/，y+%)・

(2)设a=(%，弘)，b=(尤2,%)，贝Ua-b=(再一/，M一内).

⑶设AU，%),B(X2，>2)，则43=。6-。4=氏一王，为一力).

(4)设a=(x,y),/lcR,则/laX/b;,/!》),

8

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⑸设a=(x,,凶)，b=(々，%)，则a,b=(xtx2+y%)-

63.两向量的夹角公式

cos0=/「"；+)/*,但(再,％),b=(々,当))•

64.平面两点间的距离公式

dAB=\AB\^^ABAB

=J(X2-X|>+(%一%'(A(X],%)，B(x2,y2)).

65.向量的平行与垂直

设a=(x”y1),b=(X2，%),且b/0,则

A||bQb=入axxy2-x2y1=0.

a_Lb(aW0)<=>a•b=0ox{x2+y1y2=0.

66.线段的定比分公式

设[(不以)，鸟(芍，必)，P(x,y)是线段的分点，4是实数，且廉=4项,则

x+AX

x=}2

1+4丽+力配

<^OP=

X+而21+4

y=

1+4

Q而=f西+(1-。漉(，=—L).

1+/I

67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(X1,y)、B(x2,y2),C仪，y?),则△ABC的重心的坐标是

凡+々+》3X+%+%

G().

，3―

68.点的平移公式

x=x+hIx=x-h

<^OP=OP+PP

>,=y+k[y=yT

注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F上的对应点为尸(x,y),且PP的坐标为(人左).

69.“按向量平移”的几个结论

(1)点P(x,y)按向量a=(/z,Z)平移后得到点P'(x+，y+Jt).

(2)函数y=/(x)的图象C按向量a=(〃*)平移后得到图象C',则C的函数解析式为y=f[x-h)+k.

(3)图象C'按向量a=(/2,k)平移后得到图象C,若。的解析式y=/(x),则C'的函数解析式为

y=f(x+h)-k.

⑷曲线曲:f(x,y)=0按向量a=(〃,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(x-h,y-k)=O.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(力,A)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要条件

设。为A48c所在平面上一点，角A,8,C所对边长分别为“，仇c,则

---0--2—2

(1)。为AA8C的外心oO/T=。8一=。。二

(2)。为AA8C的重心=况+9+反=6.

(3)。为AA8C的垂心㈡方・丽=丽・瓦=瓦•雨.

(4)。为AA8C的内心Q“方+b而+c衣=0.

(5)。为AABC的NA的旁心Q“厉=匕而+。0?.

71.常用不等式：

9

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(1)a,beR=>a2+b2>2ab(当且仅当a=b时取“="号).

(2)色也？而(当且仅当a=b时取“=”号).

2

(3)a3+b3+c3>3abc(a>0,b>0,c>0).

(4)柯西不等式

(o2+/>2)(c2+J2)>(ac+bd)2,a,b,c,deR.

(5)|a|—|Z?|<|a+Z?|<|a|+|b|.

72.极值定理

已知都是正数，则有

(1)若积盯是定值p,则当x=y时和x+y有最小值

(2)若和x+y是定值s,则当x=y时积盯有最大值上/.

4

推广已知贝ij有(x+y)?=(x-y)2+2孙

(1)若积盯是定值，则当lx-yl最大时，Ix+yl最大；

当Ix-yI最小时，Ix+yI最小.

(2)若和lx+yl是定值，则当lx-yl最大时，I盯I最小；

当lx-yl最小时，I到I最大.

73.一元二次不等式办2+云+0>0(或<0)(aW0,A=/-4ac>0),如果。与o?+/+,同号，则其

解集在两根之外；如果。与a?+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之

间.

玉<X<々=(X—X))(x—x2)<0(X]<x2);

X<X],或X>%2=(X-X])(X-X2)>°(玉<X2).

74.含有绝对值的不等式

当a>0时，有

|x|<a<=>%2<«'<=>-a<x<a.

N>a=/>=》〉a或％<_a.

75.无理不等式

/W>0

(1)"(X)>Jg(x)=,g(x)20.

J(x)>g(x)

(2)J/(x)>g(x)={g(x)20或《.

l/(x)>[g(x)]2,15g(x)<0

f/U)>0

(3)<g(x)=<g(x)>0.

J(x)<[g(x)『

76.指数不等式与对数不等式

(1)当a>l时,

af<x>>a*'"0/(x)>g(x);

7(x)>0

log„/(x)>log,,g(x)=<g(x)>0

/(x)>g(x)

io

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(2)当0<。<1时，

小)>/")=/(x)<g(x);

7«>0

log”/(X)>log”g(x)Q,g(x)>0

/(x)<g(x)

77.斜率公式

k=—~~—(4Q,%)、P2(x2,y2)).

X2—X]

78.直线的五种方程

（i）点斜式=&（%_%）（直线/过点片（冷弘），且斜率为左）.

（2）斜截式y=H+b（b为直线/在y轴上的截距）.

（3）两点式」~~（X。（4（X］，X）、鸟（%2，%）（玉，工2））.

为一X々一玉

（4）截距式±+g=l（a、8分别为直线的横、纵截距，a、b^O）

ab

(5)一般式Ar+3y+C=0(其中A、B不同时为0).

79.两条直线的平行和垂直

(1)若/i:y=%1X+仿，/,:y-k2x+b2

①/iII4ok】=k”b产b,；

②(皿a"?=T・

(2)若4:A[X+Ay+G=0,4：AzX+BzV+G=0,且Ai、A2>B(>B?都不为零,

②；

LII2<^A,A2+BIB2=o

80.夹角公式

(1)tana=1-~—I.

l+k2k.

(/,:y=kxx+b],l2-.y=k2x+b2,ktk2H-l)

(2)tana=1^1.

44+B2

(/,：A]x+B]y+C1=0,/2:Ax+B2y+C2=O,AtA2+B]B2HO).

TT

直线4时，直线乙与，2的夹角是

81.4到4的角公式

(/]:y=A|X+a，4：y=&x+H，k#2H-l)

(/,：A]x+B1y+Cl=0,/2:A^+2?2)-+C,=0,44+B[B?HO).

TT

直线时，直线/i到L的角是。.

2

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82.四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程:经过定点乙(%,%)的直线系方程为y-y0=k(x—%)(除直线x=x0),其中A是待定

的系数；经过定点兄(为,右)的直线系方程为4%-/)+8(〉一用)=°，其中A,8是待定的系数.

(2)共点直线系方程：经过两直线/1：Ax+B|)，+G=0,/2：A2X+B2)'+C2=O的交点的直线系方程为

04科+与)，+0+/1(人工+82)，+。2)=0(除/2)，其中人是待定的系数.

(3)平行直线系方程：直线y=+b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线

41+3、+。=0平行的直线系方程是4》+8)，+/1=0(2^0),人是参变量.

(4)垂直直线系方程：与直线4x+8)，+C=0(AWO,BW0)垂直的直线系方程是Ay+4=0,人

是参变量.

83.点到直线的距离

=詈於胃(点直线/：

Ax+By+C=0).

84.4》+8)，+。>0或<0所表示的平面区域

设直线/:4x+6y+C=0,则4x+6)，+C>0或<0所表示的平面区域是：

若B/0,当8与Ax+By+C同号时，表示直线/的上方的区域；当B与Ax+By+C异号时，表示直线/

的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.

若5=0,当A与Ax+5)，+。同号时，表示直线/的右方的区域；当4与Ax+8)，+。异号时，表示直线/

的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.

85.(4犬+4y+G)(4x+层〉+。2)>°或<0所表示的平面区域

设曲线。：(4犬+31)，+6)(4工+冬)，+。2)=0(44802,0),则

(4x+Bxy+£)(4x+4)，+。2)>°或<°所表示的平面区域是：

(AR+4y+C,)(A2X+B2y+C2)>0所表示的平面区域上下两部分；

(A-X+B,y+G)(4x+B2y+C2)<0所表示的平面区域上下两部分.

86.圆的四种方程

(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-h)2=r.

(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F^0(,D2+E2-4F>0).

x=a+rcos0

(3)圆的参数方程

y=b+rsin0

(4)圆的直径式方程(x-X1)(x-X2)+(y-y)(y—%)=。(圆的直径的端点是A(%，M)、5(x2,y2)).

87.圆系方程

(1)过点A(X],y),8(X2,为)的圆系方程是

(%一%1)(工一%2)+。一%)0—%)+4[(十一无1)(%一%)一(。一%)(二一%2)]=0

=(x-X])(x-X2)+(y-M)(y-y2)+2(ax+by+c)=0,其中ax+by+c=o是直线AB的方程，入是待定的

系数.

(2)过直线/:Ax+By+C^0与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F^0的交点的圆系方程是

x2+y2+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)=0,X是待定的系数.

(3)过圆G:F+/++骂y+耳=0与圆G:犬+y?+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程是

2222

x+y+Dtx+Ety+Fx+A(x+y+D2x+E2y+F2)=0,入是待定的系数.

88.点与圆的位置关系

点P(Xo,光)与圆(x—a)?+(y-b)2=产的位置关系有三种

2

若d=\](a-x0)+(b-yoy,贝U

d>rQ点尸在圆外；d=r0点P在圆上；d<rQ点P在圆内.

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89.直线与圆的位置关系

直线Ax+力+C=0与圆。一a》+(y-6)2=>的位置关系有三种：

d>r=相离=△<()；

d=r=相切<=>△=();

d<r=相交q△>0.

|Aa+Bb+C|

其中d=

VA2+B2.

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为6,02,半径分别为n,n,|。|。2|=1

d>[+G=外离=4条公切线；

d=八+G=外切Q3条公切线；

,一々|<△<八+G0相交=2条公切线；

d=|八一与|=内切=1条公切线；

0cdeH-々|=内含=无公切线.

91.圆的切线方程

⑴已知圆x2+y2+Dx+Ey+F-0.

①若已知切点(x。,光)在圆上，则切线只有一条，其方程是

D(x+x)E(y+y)

+%y+—0—+-一0+夕=o.

P(X+X)£(y)

当(小,九)圆外时，xox+yoy+»+y+F=0表示过两个切点的切点弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0),再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不

要漏掉平行于y轴的切线.

③斜率为k的切线方程可设为y=fee+b,再利用相切条件求b,必有两条切线.

(2)已知圆/+y2=产.

①过圆上的4(/,%)点的切线方程为/彳+%/=/;

②斜率为人的圆的切线方程为y^kx±rVl+F.

92.椭圆与+1=1(。＞b〉0)的参数方程是'="cos.

ah[y=hs\nO

22

93.椭圆「+马=1(。＞b＞0)焦半径公式

ah

22

\PFy\=e(x+—),\PF2\=e(--x).

cc

94.椭圆的的内外部

2222

(1)点产(%,y0)在椭圆~y+二~=1(。＞6＞。)的内部="r+＜1•

aoo

2222

(2)点P(XO,%)在椭圆—7+^-7=1(。＞b＞0)的外部=-Y+＞1.