传感器与检测技术(一)

传感器与检测技术陈浩使用教材：郁有文、常健、程继红编著，《传感器原理及工程应用》，西安电子科技大学出版社参考书籍：1、赵玉刚、邱东主编，《传感器基础》，中国林业出版社，北京大学出版社

2、祝诗平主编，《传感器与检测技术》，中国林业出版社，北京大学出版社

3、陈杰、黄鸿编著，《传感器与检测技术》，高等教育出版社教学内容和重点：

传感器的基本概念及其基本特性（静态、动态特性）；

各类传感器的转换原理;特性分析;测量电路;实际应用；

实验。考核方法：

平时成绩(作业)15%+实验15%+期末考试60%+考勤10%第1章传感器与检测技术的理论基础1.1测量概论信息时代,需要了解和掌握各种信息,获取数据,因此需要测量传感器是感知、获取和检测信息的窗口,是测量的首要环节1.1.1测量测量是以确定被测量的值或获取测量结果为目的的一系列操作。也就是将被测量与标准量比较，确定被测量的数。其中：x–被测量

u—标准量

n—比值，含有测量误差由测量所获得的被测量的量值叫测量结果。测量结果表示：数值表示（数值表格）、曲线或图形表示。测量结果仅仅是被测量的最佳估计值，并非真值，所以还应该给出测量结果的质量，即测量结果的可信程度。完整的表述应包括：估计值、测量单位和测量不确定度。国际标准单位

国际单位制的辅助单位量的名称单位名称单位符号定义长度米m光在真空中1/299792458秒的时间间隔内所经过的距离。质量千克（公斤）kg质量单位，等于国际千克原器的质量。铂铱合金制成，保存在巴黎的国际计量局总部。时间秒s铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9192631770个周期的持续时间。电流安[培]A一恒定电流，若保持在处于真空中相距1米的两无限长而圆截面可忽略的平行直导线内，则此两导线之间产生的力在每米长度上等于2×10-7牛顿。热力学温度开[尔文]K水三相点热力学温度的1／273.16。物质的量摩[尔]mol一系统的物质的量，该系统中所包含的基本单元数与0.012千克碳-12的原子数目相等。在使用摩［尔］时应指明基本单元，可以是原子、分子、离子、电子及其它粒子，或是这些粒子的特定组合。发光强度坎[德拉]cd发射出频率为540×1012赫兹单色辐射的光源在给定方向上的发光强度，而且在此方向上的辐射强度为1/683瓦特每球面度国际单位制中具有专门名称的导出单位

被测量值和比值等都是测量过程的信息，这些信息依托于物质才能在空间和时间上进行传递。被测量作用到实际物体上，使其某些参数发生变化，参数就承载了信息而成为信号，选择适当的参数作为测量信号。例如：热电偶温度传感器的工作参数是热电偶的电势，差压流量传感器中的孔板工作参数是压差Δp。

测量过程：就是传感器从被测对象获取被测量的信息，建立起测量信号，经过变换、传输、处理而获得被测量的过程。1.1.2测量方法实现被测量与标准量比较得出比值的方法称为测量方法。测量方法的不同分类：根据获得测量值的方法可分为直接测量、间接测量和组合测量；根据测量方式可分为偏差式、零位式和微差式测量；根据测量条件不同可分为等精度测量与不等精度测量；根据被测量变化快慢分为静态测量与动态测量;以及接触式和非接触式测量，主动式和被动式测量等。1.直接测量、间接测量与组合测量

直接测量：测得值直接与标准量进行比较，直接得到被测量的数值

y=x

简单迅速，精度不易达很高

间接测量：被测量是一个或几个测得值的函数

y=f

(x1,x2,…,xn)(例如测长方体密度：)

测量手续多、费时，用于直接测量不方便场合

组合测量：被测量须经求解联立方程组求得

x1=f1(y1,y2,…,ym)x2=f2(y1,y2,…,ym)其中,y1,y2,…,ym

是被测量

......x1,x2,…,xn

是直接测得值

xn=fn(y1,y2,…,ym)

复杂费时，多用于科学实验或特殊场合2.偏差式测量、零位式测量与微差式测量偏差式测量：用仪表指针的位移（即偏差）决定被测量的值事先用标准量具对仪表刻度进行校准。特点：简单快速，精度不高零位式测量：用指零仪表的零位反映测量系统的平衡状态，用已知的标准量决定被测量的值。例如，天枰称重，电位差计测量电势等。特点：精度高，但复杂费时，不迅速微差式测量：偏差式测量与零位式测量的综合，它将被测量与已知的标准量相比较，取得差值后，再用偏差法测得此差值。

x=N+△N--标准量，△--微差量△<<N特点：精度高，反应快，特别适用于在线控制参数检测3.等精度测量与不等精度测量等精度测量：在整个测量过程中影响和决定误差大小的全部因素始终保持不变。不等精度测量：不同测量条件、不同精度仪表、不同测量方法、不同测量次数、不同测量者测量等。4.静态测量与动态测量静态测量：被测量在测量过程中固定不变动态测量：被测量在测量过程中是随时间不断变化被测对象传感器变送器传输通道信号处理环节显示装置图1-1测量系统组成框图1.1.3测量系统1.测量系统构成测量系统应具有检测、传输、处理和显示等功能,是传感器、变送器和其它变换装置的有机组合(参见图1-1)。传感器感受被测量(物理量,化学量,生物量等),输出可用信号。变送器将传感器输出的信号变换成便于传输和处理的标准信号(目前多为1～5V,4～20mA直流电流)。传输通道将测量系统各个环节间的输入,输出信号连接起来。信号处理环节，对信号进行放大、运算、线性化、数-模或模-数转换等，使信号便于显示、记录。显示装置将被测量信息变成人的感官能接受的形式，如显示屏显示，或打印出来。2.开环测量系统与闭环测量系统(1)开环测量系统:信息变换沿一个方向,由多个环节串联而成。输入输出关系：y=k1k2k3x

，k1、k2、k3为各环节的传递系数因系统由多个环节串联而成，系统的相对误差等于各环节相对误差之和，即：

式中，δ—系统的相对误差

δi—各环节的相对误差yx2x1x被测对象传感、变送k1放大k2显示k3

图1-2开环测量系统框图(2)闭环测量系统:有两个通道，一为正向通道，一为反馈通道。

其中,Δx为正向通道的输入量，β为反馈环节传递系数,有:

Δx=x1-xf

,

xf=βy

,

y=k2k3Δx=k(x1-xf)系统的输入输出关系：当k>>1时：输入输出关系由反馈环节特性决定。

Δx﹣+yx2x1x被测对象传感、变送k1放大k2显示k3

图1-3闭环测量系统框图反馈βxf1.1.4测量误差测量误差：测得值减去被测量的真值。由于真值未知，一般用约定真值代替真值。常用某量的多次测量结果来确定约定真值，或用精度高的仪器示值代替约定真值。1.测量误差的表示方法(1)

绝对误差式中：△

—绝对误差

△=x-Lx—测量值

L—真值修正值c

=-△

实际值x'=x+c(2)

实际相对误差式中：

δ—实际相对误差，用百分数表示

△

—绝对误差

L—真值

标称相对误差：由于真值无法知道，实际测量时用测量值x代替真值L(或精度高一级标准器具测量值x来代替)，其相对误差称标称相对误差：(3)引用误差（满量程相对误差）

式中：γ—引用误差△

—绝对误差

仪表精度等级根据最大引用误差来确定。国家标准GB776-76《点测量指示仪表通用技术条件》规定，测量指示仪表的精度等级G分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0七个等级。例如，0.5级仪表引用误差最大不超±0.5%，1.0级仪表引用误差最大不超±1%。(4)基本误差：在规定的标准条件下所具有的误差。标准条件一般是指:电源电压220V±5V,电网频率50±2Hz,环境温度20±5℃,湿度60±5%RH。基本误差由系统误差和随机误差两部分组成。仪表精度等级就是由基本误差决定的，用其量程内的最大基本误差与满量程输出之比的百分数表示：(5)附加误差：偏离规定条件下出现的误差。例如，温度附加误差,频率附加误差,电源电压波动附加误差,倾斜放置附加误差等。把基本误差和附加误差统一起来考虑，即可给出测量仪表的额定工作条件范围。例如，在电源电压是220V±22V，温度范围0℃～50℃，仪表可过载运行条件范围等条件范围内工作，可以知道测量仪表的总误差不超过多少。(6)与仪表性能有关的常用术语①零点误差：当输入为0时输出的误差。一般用满量程的百分数表示零点误差。②量程误差：仪表输出的理想量程与实际量程之差。可用满量程的百分数表示：

α=(Δ/A)×100%③线性度、灵敏度等下章介绍。2.测量误差的性质(1)随机误差:在相同测量条件下,多次测量被测量时,其绝对值和符号以不可预知方式变化着的误差称为随机误差。ISO定义：式中：xi

—被测量的测量值

x∞—重复性条件下无限多次的

(n→∞)测量值的平均值实际测量只能测量有限次，实用中的随机误差只是一个近似估计值。随机误差服从一定的统计规律，不能简单地修正。(2)系统误差在同一测量条件下，多次测量被测量时，如果误差按照一定规律出现，则把这种误差称为系统差。式中：L为被测量的真值实用中通过有限次测量的平均值x与L的约定真值近似地得出系统误差，称为系统误差的估计，可用其对测量结果进行修正,但由于系统误差不能完全获知,因此只能对系统误差做有限程度的补偿。系统误差出现的原因，主要有下列几项：①工具误差(又称仪器误差或仪表误差)：指由于测量仪表或仪表组成元件本身不完善所引起的误差，例如，测量仪表中所用标准量具的误差，仪表灵敏度不足的误差,仪表刻度不准确误差，变换器、衰减器、放大器本身的误差等，是最常见的误差，只有不断提高仪表及组成元件本身的质量来减小。②方法误差:指由于对测量方法研究不够而引起的误差。例如,用电压表测量电压时，没有正确估计电压表的内阻对测量结果的影响。③定义误差：指由于对被测量的定义不够明确而形成的误差。例如，在测量一个随机振动的平均值时,测量的时间间隔Δt取值不同得到的平均值就不同。即使在相同的时间间隔下，由于测量时刻不同得到的平均值也会不同。④理论误差：由于测量理论本身不够完善而只能进行近似的测量所引起的误差。例如，测量任意波形电压的有效值，理论上应该实现完整的均方根变换，但实际上通常以折线近似代替真实曲线，故理论本身就有误差。⑤环境误差：由于测量仪表工作的环境(温度、气压、湿度等)不是仪表校准时的标准状态，而是随时间在变化，从而引起的误差。⑥安装误差：由于仪表的安装或放置不正确所引起的误差。例如，应该严格水平放置的仪器，未调好水平位置；电气测量仪表误放在有强电磁干扰的地方或温度变化剧烈的地方等。⑦个人误差：是指由于测量者本人不良习惯或操作不熟练引起的误差。例如，读刻度指示值时视差太大(总是偏左或偏右)；动态测量读数时，对信息的记录超前或滞后等。(3)粗大误差超出规定条件下预期的误差称为粗大误差(又称疏忽差)。含粗大误差的测量值为坏值，数据处理时测量值不应包含有粗大误差，坏值应当剔除。这类误差的发生往往是由于测量者疏忽大意，测错、读错或环境条件突然变化等引起。1.2测量数据的估计和处理从实际测量实践可知，测量数据中含有系统误差、随机误差，有时还含有粗大误差。它们的性质各不相同，对测量结果的影响及处理方法也不同。对不同情况的测量数据，先要分析研究，判断情况，分别处理，再综合整理，得出合乎科学的测量结果。1.2.1随机误差的统计处理

多次等精度地重复测量同一被测量值时，得到一系列不同的测量值，即使剔除了坏值，消除了系统误差，然而每个测量值数据各异，还含有误差，这些误差的出现没有确定的规律，具有随机性，所以称为随机误差(或偶然误差)。注意：只有尽量保持测量条件不变和系统误差已经减小到可以忽略程度的前提下，对同一被测量进行一系列多次重复测量所得到的读数x1,x2,···,xn才可以看成是随机变量x可能取的数值，并且它服从正态分布，这时才能对多次重复测量数据进行统计处理。1.正态分布大多数随机误差服从正态分布，正态分布理论是研究随机误差的基础。随机误差几个性质：①对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等；②有界性：在一定测量条件下的有限测量中，随机误差的绝对值不会超过一定的界限；③单峰性：绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的次数多；④抵偿性：对同一量值进行多次测量，其误差的算术平均值随测量次数的增加趋近于零。抵偿性是随机误差的一个重要特征，凡具有抵偿性的，原则上都可以按随机误差来处理。对某一被测量多次重复测量，测量值为xi，设被测量真值为L,则随机误差δi

为:

δi=xi-L

i=1,2,···,n

正态分布的概率分布密度f(δ)为：2.随机误差的数字特征(1)算术平均值：算术平均值与被测量的真值最为接近，随着测量次数增加，算术平均值趋近于真值。由于真值未知,可用算术平均值代替。n个测量值的算术平均值为：

(1-21)

残余误差(简称残差)：

可以证明,用算术平均值作标准来求残余误差vi的值为最小，即如以别的值A代替求残余误差viA，则一定有。所以，为被测量的最佳估计值。(2)标准偏差σ(标准差或均方根误差)

标准偏差σ反映总体的分散程度。

为什么要用标准差σ？例如：对同一物理量，若用两台仪表进行n次测量，得到两组数据(系统误差小到可以忽略)如下：

A仪表第一组：x1-L=Δx1,x2-L=Δx2,…,

xn-L=Δxn

B仪表第二组：y1-L=Δy1,y2-L=Δy2,…,

yn-L=Δyn如何判别那台仪表测量质量高呢？若采用比较误差Δxi和Δyi的代数平均值,根据随机误差的性质,当测量次数n→∞时，。可见因为随机误差的抵偿性,用残差代数平均值的方法不能判别测量质量高低.

为了解决上述矛盾，可对Δxi和Δyi求均方根：如果σx<σy,说明A仪表比B仪表测量质量高。

σ的物理意义是随机误差出现在-σ～+σ范围的概率是68.3%。

随机误差决定了测量的精密度，随机误差越小，测量结果的精密度越高。若系统误差很小，则测量的准确度高。如果一个测量数据的准确度和精密度都很高，就说明此测量的精确度很高。以下图打靶为例,(a)的弹着点很分散，精密度低(σ大);(b)的弹着点集中偏向一方,精密度高(σ小),但准确性低(系统误差大)(c)的弹着点集中靶心，精确度高(σ小，系统误差小)。标准差的估计值σs：由于真值不能得到，用算术平均值代替,有:

式中：

xi—第i次测量值

—n次测量值的算术平均值

vi

—残余误差算术平均值标准差：对被测值进行m组多次测量，所得算术平均值各不相同，也是随机变量,但收敛于期望值。算术平均值的可靠性指标用算术平均值的标准差来评定，它与标准差的估计值σs的关系为：

(1-25)

实际测量中，n达到一定次数后的减小就变得缓慢。如图1-6所示。3.正态分布随机误差的概率计算正态分布曲线所包围的面积等于1：随机变量落在任意区间（a，b)的概率为：Pa称为置信概率。置信区间常表示成σ的倍数，如kσ,在±kσ区间的概率为：式中，k为置信系数，±kσ为置信区间。

表1-1正态分布的k值及其相应的概率超出置信区间的概率称为置信度，又叫显著性水平，用α表示：

α=1-PaPa与α的关系如图1-7所示：出现在-3σ～+3σ范围内的概率是99.73%，通常将这个误差称为极限误差δlim

δlim=±3σk0.675411.9622.5834Pa0.50.68270.950.95450.990.99730.999944.不等精度直接测量的权与误差(1)“权”的概念“权”可理解为各组测量结果相对的可信赖程度。权用p表示，有两种计算方法：①用各组测量列的测量次数n的比值表示②用各测量列的标准差平方的倒数的比值表示(2)加权算术平均值(3)加权算术平均值的标准差对同一个被测量进行m

组不等精度测量，加权算术平均值的标准差由下式计算：式中，vi为各测量列的算术平均值与加权算术平均值之差值。1.2.2系统误差的通用处理方法1.从误差根源上消除系统误差

有效地找出系统误差的根源，并减小或消除。

通常从下面几个方面考虑：①传感器、测量仪表或组成元件是否可靠；例如灵敏度是否满足。②测量方法是否完善；③传感器和仪表安装、调整或放置是否合理；④工作环境条件是否符合规定条件；⑤测量者操作是否正确等。2.系统误差的发现与判别

发现系统误差的一般方法：(1)实验对比法:如用高一级精度的测量仪表对比检测,发现固定系差。(2)残余误差观察法：根据残余误差的大小和符号的变化规律来判断。

注意，残余误差要按照测量值的先后顺序排列和作图。(3)准则检查法马利科夫判据:将残余误差前后各半分为两组，若“∑vi前”与“∑vi后”之差明显不为零，则可能有线性系统误差存在；阿贝检验法：检查残余误差是否偏离正态分布,若偏离,则可能有变化的系统误差存在：设A=v1+v2+···+vn

B=(v1-v2)2

+(v2-v3)2+···+(vn-1-vn)2

+(vn-v1)2若则可能含有变化的系统误差。

这些准则都有一定的适用范围。3.系统误差的消除(1)在测量结果中修正：找出误差的规律，在测量结果中修正；(2)消除系统误差的根源：测量前仔细检查仪表,正确调整和安装;(3)在测量系统中采用补偿措施：找出误差的规律在测量中自动消除；(4)实时反馈修正：利用自动化测量技术和微机自动修正测量结果。1.2.3粗大误差粗大误差在数据处理前应剔除。判断粗大误差的原则是看测量值是否满足正态分布。正态分布前提下，常用的几种判定粗大误差准则：1.3σ准则若残余误差的绝对值,则该测量值为坏值，应剔除。2.肖维勒准则若残余误差的绝对值,则该测量值为坏值，应剔除。实用中Zc<3，取值参见书中表1-3。3.格拉布斯准则若残余误差的绝对值,则该测量值为坏值，应剔除。

G值与重复测量次数n和置信概率Pa有关，参见表1-4。

1.2.4测量数据处理中的几个问题1.间接测量中的测量数据处理在测量中,有些物理量是能够直接测量的,如长度、时间等,有些物理量是不能够直接测量的,如电阻率、粘度等,需间接测量。(1)绝对误差和相对误差的合成若被测量y与直接测得值x1,x2,···,xn

之间关系为：

y=f(x1,x2,···,xn)

各测得值的绝对误差分别为Δx1,Δx2,…,Δxn,误差一般均很小,则被测量y的绝对误差可以表示为：相对误差表示为：当误差项数较多时，相对误差的合成按方和根合成比较符合统计值：(2)标准差的合成2.最小二乘法的应用最小二乘法原理：要获得最可信赖的测量结果，应使各测量值的残余误差平方和为最小。在组合测量中，设有线性函数方程组为式中，

X1,X2,…,Xm为被测量

Y1,Y2,…,Yn为直接测得值

n>m根据最小二乘法原理,在直接测得值有误差的情况，欲求被测量最可信赖的值，应使残余误差的平方和最小，即：

若x1,x2,…,xm

是被测量X1,X2,…,Xm

最可信赖的值,则相应的估计值亦有下列函数关系：

设l1,l2,…,ln为带有残余误差的实际直接测得值，残余误差方程组为：

按最小二乘法原理,残余误差平方和为最小,根据极值条件应使：将上述偏微分方程式整理后写成：

(1-39)

上述方程称为重复性测量的线性函数最小二乘估计的正规方程，式中：正规方程是一个m元线性方程组，当其系数行列式不为零时有唯一的解。

用矩阵表示上述关系，讨论有许多方便之处。误差方程：式中，系数矩阵为：被测量估计值矩阵为：直接测得值矩阵为：残余误差矩阵为：残余误差平方和最小条件的矩阵形式为：即或将正规方程(1-39)用残余误差表示，可改写成

(1-41)写成矩阵形式

(1-42)即有

(1-43)此即为最小二乘估计的矩阵解。3.用经验公式拟合实验数据—回归分析

当经验公式为线性函数时

y=b0+b1x1+b2x2+…+bnxn

这种回归分析称为线性回归分析，实用中常用。当独立变量只有一个时,函数关系为:

y=b0+bx

称这种回归为一元线性回归，是一种直线拟合。

设有对测量数据（xi,yi），用一元线性回归方程拟合，实际上就是求b0、b的值。通常求解拟合方程未知系数b0、b的方法有以下几种：①理论拟合：理论拟合中拟合直线为传感器的理论特性,与实际测试无关。这种方法简单，但一般具有较大的非线性误差；②端点拟合：将测量数据中的两个端点，即起点和终点的连线作为拟合直线。若两端点的测量值为(x1,y1)和(xn,yn)，代入方程y=b0+bx,则b和b0分别为：这种拟合的非线性误差比较大，但计算简单，用在精度要求不高的场合。③平均法拟合：将全部n个测量值(xn,yn)分成数目大致相同的两组，前半组k个(k=n/2左右)，后半个组n-k个，两组数据都有自己的“点系中心”，其坐标为：通过这两个“点系中心”(x1,y1)和(x2,y2)的直线即为拟合直线。该方法计算较复杂，非线性误差比前两种小很多。④求b0、b的值，最常用的方法是利用最小二乘法原理，即使各测量数据点与回归直线的偏差平方和为最小。误差方程组为式中，分别为x1,x2,···,xn

点上y的估计值。

按最小二乘法原理，应使最小，故由分别对b和b0求偏导数并令其等于零，即：从而求得b和b0：式中：在获得b和b0的值后代入式y=b0+b

x即可得到拟合直线，然后按式vi=yi-(b0+bx)求出残余误差最大值ΔLmax即为非线性误差。如果已知y和x满足线性关系，那么可以直接用上述最小二乘法得出回归方程y=b0+bx。如果还不能确定y和x的函数关系，还应当判断由上述拟合确定的线性回归方程是否恰当。这可以用下列相关系数r来判别，即式中：可以证明，|r|值总是在0和1之间。|r|值越接近1，说明实验数据点密集地分布在所拟合的直线近旁，用线性函数进行回归分析是合适的。|r|=1表示变量x,y完全线性相关，拟合直线通过全部实验数据点。|r|值越小，线性性越差,一般r|≥0.9时可以认为两个物理量之间存在较密切的线性关系，此时用最小二乘法直线拟合才有实际意义。求经验公式时，有时用图解分析法更方便、直观。4测量数据的表述方法：常用的测量数据表述方法有表格法、图示法和经验公式法。(1)表格法：表格法是根据测试的目的和要求，将测量数据制成表格，然后再进行其他的处理方法，是进一步处理数据的基础。表格法具有简单、方便、易于参考比较和发现问题等优点，缺点是不直观，不易看出数据变化的趋势。使用表格发时应注意以下几点：①各栏目均应注明所记录的物理量的名称(符号)和单位；②栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算顺序，力求简明、齐全、有条理；③表中的原始测量数据应正确反映有效数字，数据不能随便涂改，确实要修改时应将原来数据划条杠以备随时查验；④对于函数关系的数据表格，应按自变量由小到大或由大到小的顺序排列，以便于判断和处理。(2)图示法：图示法是利用曲线或图形表示数据之间的关系，从图形中能直观地反映出数据变化的趋势，如递增或递减性，周期性等规律。还可以获得如最大值、最小值、切线、曲线下包围的面积等，但图形不能进行数学分析。工程测试中，多采用直角坐标系绘制测量数据的图形，也可以采用对数坐标系，极坐标系等来描述。坐标比例的选取应注意以下几点：①原则上做到数据中的可靠数字在图上应该是可靠的，即坐标轴上的最小分度对应于实验数据的最后一位准确数字；②坐标比例的选取应以便于读数为原则，避免采用复杂的比例关系；③能够表示出极值的确切位置和曲线急剧变化的确切趋势。(3)经验公式法：用与图形相对应的数学公式来描述变量之间的关系的方法叫做经验公式法。将测量数据用一个公式来代替，不仅有紧凑扼要的优点，而且可以对公式进行必要的数学运算，以研究各自变量与函数之间的关系。用经验公式法建立公式的步骤如下：①描绘曲线：用图示法把测量数据点描绘成曲线；②根据描绘的曲线形状和特性进行分析，初步确定公式的形式和类型，若图形基本上是直线，就用一元线性回归方法确定直线方程，若不能用直线描述，则要根据曲线的特点判断曲线属于何种类型，如指数曲线、对数曲线、双曲线等；③曲线直化：如果测量数据描绘的曲线被确定为某种类型的曲线，则可先将该曲线方程变换为直线方程，然后按一元线性回归方法处理；例如，如果是双曲线，其经验公式为：令，则原方程转化为y=a+bx

;④确定线性方程中的常量，即常量a和b，然后再把经曲线化直线的方程还原为原来的函数形式；⑤检验所确定公式的准确性：将自变量代入经验公式，计算出函数值，判断函数值与测量值是否一致。若差别很大，则公式基本形式可能有错，应建立另外的经验公式；⑥如果曲线不能转换或不必转换为直线,可将其用多项式拟合。1.2.5测量不确定度测量完成报告结果时，必须对其质量给出定量的说明，以确定测量结果的可信程度。测量不确定度就是用于定量表征测量结果质量的，测量结果的可用性很大程度上取决其不确定度的大小。测量不确定度定义是：与测量结果联系在一起的一个参数，用以表征合理地赋予测量之值的分散性。测量不确定度一般包括若干分量，合成后为合成不确定度uc。正态分布时，测量不确定度可用标准差σ表示，称为标准不确定度，置信概率为68%。要求较高置信概率时，需要扩展不确定度U=kuc。测量结果的完整表示：y±U

不确定度A类评定：是用统计方法评定。不确定度B类评定：用非统计方法评定。例1-3某电压测量数据的处理(书17页）序号测量值Uivi1vi12×10-4vi1vi12×10-4120.42-0.0193.610.0111.21220.430.0298.410.0214.41320.40-0.0010.01-0.0090.81420.39-0.0111.21-0.0193.61520.410.0090.810.0010.01620.31-0.09182.81720.420.0193.610.0111.21820.39-0.0110.01-0.0193.61920.410.0190.010.0010.011020.40-0.0018.41-0.0090.811120.40-0.0010.01-0.0090.811220.430.0290.010.0214.41U1U220.40120.409Σ0.008Σ113.72Σ0.001Σ20.91①求算术平均值及标准差：②判断有无粗大误差由于测量次数少，采用格拉布斯准则，n=12，取置信概率Pa=0.095,得格拉布斯系数G=2.28，有：故U6应剔除，剔除后重新计算算术平均值和标准差：再次判断粗大误差，得格拉布斯系数G=2.23，有：所有vi2均小于Gσs2,故其它11个测量值中无坏值。③计算算术平均值的标准差：④最后测量结果可表示为：例1-4用手动平衡电桥测量电阻Rx（如图所示）。已知R1=100Ω,R2=1000Ω,RN=100Ω,各桥臂电阻的恒值系统误差分别为ΔR1=0.1Ω,ΔR2=0.5Ω,ΔRN=0.1Ω。求消除恒值系统误差后的Rx值。解：被测电阻Rx变化时，调节可变电阻RN的大小，是检流计指零，电桥平衡，此时有：

R1·RN=R2·Rx

即

不考虑R1、R2、RN

存在误差时有由于存在误差，因此测量电阻也将产生系统误差，利用前面误差合成的关系式（1-33）可得：消除ΔR1、ΔR2、ΔRN的影响，即修正后的电阻Rx应为：例1-5最小二乘法应用举例(书23页)

铜电阻的电阻值R与温度t之间关系为Rt=R0(1+αt),在不同温度下，测得的电阻如下表所示。试估计0℃时的铜电阻值R0的电阻温度系数α

。解：列出误差方程

rti-r0(1+αti)=vi

i=1,2,∙∙∙,7

式中，rti为温度ti下测得的铜电阻电阻值。令x=r0,y=αr0,则误差方程可以写为：ti/℃19.125.030.136.040.045.150.0rti/Ω76.377.879.7588.8082.3583.9085.10其正规方程为：于是有：代入上式有：解得：x=70.8Ω

y=0.288Ω/℃即：r0=70.8Ω

小结本章主要讲述测试系统中测试数据的误差分析和数据处理的问题,分别从测量误差的基本概念、误差分类、测量数据处理、测量结果的表述方法等方面介绍了误差理论的基本知识。

(1)在测量的基本概念中给出了测量误差的定义，测量误差的表示方法及测量误差的来源。

(2)按误差的性质不同可将其分为系统误差、随机误差和粗大误差三类，各有自己不同的性质和特点，合理地认识和区分误差是为消除误差做准备。测量精度是从另一个方面描述测量误差的量，系统误差小，准确度好；随机误差小，精密度好。

(3)为得到精确的测量结果，需要对测量数据进行处理。测量数据需要经过系统误差的发现和消除,粗大误差的发现和消除，随机误差统计处理，才能得到可信的测量结果。引入不确定度的概念是为了合理地给出测量结果的可信度。第一章作业：4、5、6、12、151.系统误差的传递

设有函数y=f(x1,x2,···,xn)，y由x1,x2,···,xn各直接测得值决定。令Δx1,Δx2,…,Δxn

分别表示x1,x2,···,xn的系统误差，Δy表示由Δx1,Δx2,…,Δxn

引起的y的系统误差，则有：将其泰勒级数展开，略去高次项，得到：故可得到绝对误差传递公式：相对误差传递公式：2.随机误差的传递若被测量y与直接测得值x1,x2,···,xn之间关系为：

y=f(x1,x2,···,xn)

在测量中，设进行了m次重复测量，则可算出m个y值：每次测量的随机误差为：将等式两端平方后再求和，有：根据正态分布的随机误差概率特性，当m→∞时，正负误差项出现次数相等，上式中右侧只有平方项保留下来。取它的均方根，有：随机误差的等传递原则：在间接测量中，若预先给定间接测量的误差，各个直接测量量所能允许的最大误差应是多少？回答是当直接测量量不只一个时，在数学上的解是不定的。在实际测量中，常用所谓等传递原则，即假定各直接测量对于间接测量所引起的误差均相等。故：系统误差的统计处理：在进行系统误差综合时，可有两种办法。当局部系统误差的数目较少，并且在它