高中数学人教A版必修4课时跟踪检测（二十四）平面向量应用举例

课时跟踪检测（二十四）平面向量应用举例层级一学业水平达标1．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝()A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(－1,2) D．(1,2)解析：选D由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．2．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()A．v1－v2 B．v1＋v2C．|v1|－|v2| D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(v1,v2)))解析：选B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．3．已知四边形ABCD各顶点坐标是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，－2))，则四边形ABCD是()A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形解析：选A∵＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))，＝(3,4)，∴＝eq\f(2,3)，∴∥，即AB∥DC.又||＝eq\r(4＋\f(64,9))＝eq\f(10,3)，||＝eq\r(9＋16)＝5，∴||≠||，∴四边形ABCD是梯形．4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝eq\r(5)，·＝5，则的长为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B∵＝－＝eq\f(1,2)－，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－))2＝eq\f(1,4)－·＋，即eq\f(1,4)＝1.∴||＝2，即AC＝2.5．已知△ABC满足＝·＋·＋·，则△ABC是()A．等边三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形解析：选C由题意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，∴·＝0，∴⊥，∴△ABC是直角三角形．6．已知力F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则力F对物体所做的功是________．解析：∵＝(－4,3)，∴W＝F·s＝F·＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.答案：17．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N，则每根绳子的拉力大小为________N.解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10N.答案：108．已知A，B是圆心为C，半径为eq\r(5)的圆上的两点，且|AB|＝eq\r(5)，则·＝________.解析：由弦长|AB|＝eq\r(5)，可知∠ACB＝60°，·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－eq\f(5,2).答案：－eq\f(5,2)9．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.证明：如图，以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))，C(0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a，\f(2,3)a)).所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，\f(a,2)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a，\f(2,3)a)).所以·＝－a·eq\f(1,3)a＋eq\f(a,2)·eq\f(2,3)a＝0，所以⊥，即AD⊥CE.10．已知点A(2，－1)．求过点A与向量a＝(5,1)平行的直线方程．解：设所求直线上任意一点P(x，y)，则＝(x－2，y＋1)．由题意知∥a，故5(y＋1)－(x－2)＝0，即x－5y－7＝0.故过点A与向量a＝(5,1)平行的直线方程为x－5y－7＝0.层级二应试能力达标1．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A．10m/s B．2eq\r(26)m/sC．4eq\r(6)m/s D．12m/s解析：选B设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝eq\r(v2－2v·v1＋v\o\al(2,1))＝2eq\r(26)(m/s)．2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，＝eq\f(1,2)，则·的值为()A．－eq\f(5,2) B.eq\f(5,2)C．－eq\f(5,4) D.eq\f(5,4)解析：选C因为＝eq\f(1,2)，所以点D是BC的中点，则＝eq\f(1,2)(＋)，＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(－)，所以·＝eq\f(1,2)(＋)·eq\f(1,2)(－)＝eq\f(1,4)(－)＝eq\f(1,4)(22－32)＝－eq\f(5,4)，选C.3.如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝eq\r(2)，则·的值是()A.eq\r(2) B．2C．0 D．1解析：选A∵＝＋，·＝·(＋)＝·＋·＝·＝eq\r(2)||＝eq\r(2)，∴||＝1，||＝eq\r(2)－1，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－eq\r(2)(eq\r(2)－1)＋1×2＝－2＋eq\r(2)＋2＝eq\r(2)，故选A.4.如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,3)解析：选A设AB的中点是D.∵＋＝2＝－eq\f(1,2)，∴＝－eq\f(1,4)，∴P为CD的五等分点，∴△ABP的面积为△ABC的面积的eq\f(1,5).5．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为________．解析：(－)·(＋－2)＝(－)·(－＋－)＝(－)·(＋)＝||2－||2＝0，∴||＝||.答案：等腰三角形6.如图所示，在倾斜角为37°(sin37°＝0.6)，高为2m的斜面上，质量为5kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力所做的功为________J(g＝9.8m/s2)．解析：物体m的位移大小为|s|＝eq\f(2,sin37°)＝eq\f(10,3)(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos53°＝5×9.8×eq\f(10,3)×0.6＝98(J)．答案：0987.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m，其中|F1|＝2N，方向为北偏东30°；|F2|＝4N，方向为北偏东60°；|F3|＝6N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．解：以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F1＝(1，eq\r(3))，F2＝(2eq\r(3)，2)，F3＝(－3,3eq\r(3))，所以F＝F1＋F2＋F3＝(2eq\r(3)－2,2＋4eq\r(3))．又位移s＝(4eq\r(2)，4eq\r(2))，故合力F所做的功为W＝F·s＝(2eq\r(3)－2)×4eq\r(2)＋(2＋4eq\r(3))×4eq\r(2)＝4eq\r(2)×6eq\r(3)＝24eq\r(6)(J)．即合力F所做的功为24eq\r(6)J.8.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若＝a，＝b.(1)试以a，b为基底表示，；(2)求证：A，G，C三点共线．解：(1)＝－＝eq\f(1,2)b－a，＝－＝eq\f(1,2)a－b.(2)证明：因为D，G，F三点共线，则＝λ