2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全真模拟试卷

姓名准考证号_______________________________________

2023年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学能力测试

本试卷共6页，22题。全卷满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，请先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形

码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

特别说明：经过很久的打磨，本卷的命题人和审定人前后进行了数次审定和删改，最终确定该版本。本卷

除个别试题外，均为原创题,试题3、4,7、10、11,22为汇编题，如有不妥,请原创作者联系QQ：3114104207

并备注名为“试题争议解决”进行说明，经确认将立即删除有关试题。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有

一项是符合题目要求的。

x+5

1、已知集合4=｛%］——20｝与6=｛刈＞=111（1—1）｝,则AUB=（）。

3-x

A、（―20,3］B、（—co,3）

C、SJ）D、［-5,1）

2、一个简单几何体的三视图都一样，则其可能是（）。

A、圆锥B、正四棱台

C、正方体D、圆台

3、［2020年北京人大附中高三］记数列｛%｝的前〃项和为则“数列｛SJ是

等差数列”是“数列｛””｝为常数列”的（）0

A、充分不必要条件B、必要不充分条件

C、充要条件D、既不充分也不必要条件

4、［2020年新课标全国一卷改编］4名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1

个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排1名，则不同的安排方法共有（）

种。

A、24B、18

C、12D、6

5、在平行四边形ABC。中，3AM=MB,3AN=AD,设MN交AC于点P,则前=（）

APO

A、8B、7

C、6D、5

6、古希腊学者阿波罗尼斯发现，已知平面上两点A、3与动点P,若始终满足四=左。1,

\PB\

则点P的轨迹是一个圆，这个圆又被称为“阿波罗尼斯圆”,其半径为|#\-\AB\oAABC中,

k—1

sinA=2sinB,Z?2（5-4cosC）=3,则AABC的面积的最大值为（）。

A、6B、4

4

C、2D、一

3

7、若点。和点尸（―2,0）分别是双曲线r—y2=i（Q>o）的中心和左焦点，点尸

a

在其右支上，则而•加的最小值是（）0

A、3+273B、3-273

7_7

C、D、

4-4

8、已知〃=¥25、b=e/、c=V3,贝ij()o

A、c<b<aB、a<b<c

C、a<c<bD、c<a<b

02/12

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

%e。

G

9、设函数/(%)=<”G则下列说法中不正确的是()o

A、/(%)是关于任意垂直于x轴的直线对称

B、/(%)是关于点(0、)中心对称

C、/(X)是周期函数

D、Ba,b&R,使得/(a)+/S)+l=/(a+»

10、［2021年5月华师一附中押题卷］已知复数2=馍5140°+在由140°,则下列说法中正确

的有()。

A、z的虚部是，sinl40°

B、z在复平面上对应的点位于第二象限

1

C、z==

Z

11、对于四面体A—BCD,则下列说法中正确的有()。

A、若==则直线AB、AC,与底面BCD所成的角相等

B、若ABLCD,ACVBD,则点A在底面5co内的投影是A5CD的内心

C、四面体A-5CD的四个面不可能全是直角三角形

71

D、若四面体A-BCD的棱长全部为1,则其内切球表面积为1

12、数列｛4｝中，4=1,q二+收(〃eZ+),其中S“为｛4｝前〃项和，则下列说

法中正确的有()□

i=iicij6i=iictj5

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、在(3/+2%-4的展开式中，/项系数是o

14^若圆A:X?+V_2y-4a2=0与圆3:X?+y?_4a=0有且只有一条公切线，

则实数a的值是。

15、在三角形AABC中，角A、3、C的对边分别为a、b、c,满足：a2+Z>2+c2=180以

三边为直径向外作半圆，三个半圆上分别取点P、。、R,以三边为轴分别向上翻折AAPB、

ABQC、ACR4,使得P、。、R重合，则翻折后得到的三棱锥体积最大为。

16、设函数/(x)=e'sinx、g(x)=ex-1,则y=/(%)和y=g(%)的图像在(-8,2万)上有

_______________个交点。

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、(本小题满分10分)在单位正方体的八个顶点中任选三个，这三个点顺次连接成一个三

角形。请回答下列问题：

(I)在这个三角形所在平面将该正方体分为两个部分的条件下，这两部分等体积的概率是多

少？

(II)记这个三角形的面积为求J的分布列与数学期望。

18、(本小题满分12分)锐角三角形AA5C中，6C边上的高为AH,长度为人，角A、3、

八„cosCcos8cosA

C的对边分别为a、b、c,且----+-----=请回答下列问题:

cb-J3h

(I)求A值;

(II)求巴的取值范围。

h

19、(本小题满分12分)如图，圆锥尸顶点为且侧面积为底面

积的两倍，底面半径为3,底面圆心为0,若底面圆两条直径分别

为AB、CD,且ABLCD,设£为人尸的中点。请回答下列问题

(I)试在线段上找一点。，使得C£〃平面PD。；

04/12

(II)求二面角Q-9-C的平面角的正弦值。

20、(本小题满分12分)已知恒正等比数列｛4｝首项为1,且％+1是％和%+1的等比中项。

请回答下列问题：

(I)求｛4｝前几项和与积匕；

(II)出于方便，我们将Ix2x3x…X”的结果记为称为““的阶乘"。令a=log2%+],

b

求数列｛——｝的前n项和Sn。

电+1)!

21、(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中有点A(2,0)、5(-2,0),点P是平面内一

3

个动点，直线PA和直线的斜率之积为-一。请回答下列问题：

4

(I)求点尸的轨迹£；

(II)记点F纵坐标的最大值取到的位置为点。，当F和。不重合时，过。(2,-Q)作直线P。

的垂线CH,垂足为〃，求下列表达式的取值范围：

(i)\PQ\-\CH\；

(ii)\PQ\-\PH\O

22、(本小题满分12分)[2021年绵阳市高三第三次诊断考试]已知函数/(x)=e，-alnx。请

回答下列问题：

(I)若函数/(%)在定义域内为增函数，求实数。的取值范围；

(II)当a=e?时，求证：/(x)>0o

2023年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学能力测试参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只

有一项是符合题目要求的。

12345678

BCBCBCAD

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9101112

ABBCDADABCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-25

14、1±V5

16、2

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（I）三角形分为以下三种（图见下页）：

A：三个顶点位于正方体的同一个表面内

B：三个顶点构成等边三角形

C：三个顶点中有两个位于某一条棱上，另一个顶点位于与前述棱平行且相对的棱上

（1分）

任取一个三角形，事件总数为C；=56个，A类三角形一共有24个，B类三角形一共8个，C

类三角形一共24个（3分）

（A类三角形）（B类三角形）（C类三角形）

三类三角形所在平面中，B类和C类都可以将正方体分为两个部分，其中C类可以将正方体

分为体积相等的两部分，故在这个三角形所在平面将该正方体分为两个部分的条件下，这两

部分等体积的概率是P=上24一=-3（4分）

8+244

13

（IDA类三角形的面积是上，概率是士（5分）

27

06/12

B类三角形的面积是上，概率是二（6分）

27

723

C类三角形的面积是空，概率是？（7分）

27

故分布列如下：（8分）

1V2V3

J

2~T~T

33

P(G

777

数学期望E©=3+3,+>

（10分）

18、(I)根据几何关系，h=csinB=bsinC（1分）

,,cosCcosBcosCsinB+cosCsinBsinA

故----+-----=---------------------=-----（2分）

cbhh

E”..COSA,,/1A小兀、工二A兀

田ikrQinA一±6ton4-.......lilAPdu/八\.±6A—（4分）

,V3V3526

(II)由于^bcsinA=SA.*故Z?C=2Q/Z

2/vine2（6分）

r\2022

因此目标式化为:=--,由正弦定理又化为£=二=2sinA1

hbehbesinBsin(72sinBsinC

(7分)

考虑该式子分母即可。由2sin5sinC=2sin5sin（5+工）uJ5sin^B+sin5cos5,用三角恒

6

等变换，VSsin^+sinBcosB=—--cos2B+-sin2B=—+sin(2B--)(9分)

22223

Q<B<-

兀n冗

而2故一<B〈一（10分）

Q<C=27i-B--<-32

[62

因此百<0+sin(2B-马1（11分）

232

因此q=------i——e[4-2V3,—）

h2sinBsinC3

19、（I）点。位于如右图位置，处于线段05的靠近5的三等分点

的位置，即[0。|=1（2分）

连接4。并取中点连接上H、CH、PD、PQ.DQ,线段

交至于点/。由相似关系推出|0州|=1（3分）故

|021=10M\,因此ACMOMADQO,故CH〃DQ,由于C"不在平面阳。内，故CH〃

平面PQQ（4分）

另一方面，E、H分别为线段AP、AD的中点，WEHIIPD,由于石H不在平面PQQ内,

故〃平面PQQ（5分）

另一方面，EHC\CH=H,于是可以得到平面〃平面PQQ,故C£〃平面PQQ。

（6分）

（II）由于侧面积是底面积的2倍，设|尸D|=/,则

成/=2成之，可得/=2火=6（7分）

如右图，由于0。、0B、0。两两垂直建立空间直角坐标系

O-xyz,写出相关坐标。（0,1,0）、£＞（3,0,0）、

P（0,0,3A/3）,计算得到DP=（-3,0,373）.

2D=(3-1,0)（8分）

n»DP=Q[-3。+36c=0

并设平面POQ的某一个法向量为〃=（a,b,c）,由______得

n»QD=0b=0

（9分）

可以令c=l,则〃=百、b-3A/3,故平面DD。的某一个法向量为几=（J§,3g,l）

（10分）

而平面PDC的一个法向量是m=（0,1,0）（11分）

08/12

因此cos<藐5>=尸’2二半,故二面角Q—P。—。的平面角的正弦为名包

\m\-\n\V3131

（12分）

3

20>(I)设a"=q"T(nGN+),故％=1,a2=q,a4=q,

由题，(q+l)2=q3+i（1分）

得到/—q?—2q=0,解得夕=一1,q=0,q=2（2分）

因为该数列是恒正的，故夕=2,4=2-（3分）前72项和

T=1+2+22+---+2"-]=^-=2"-1

（4分）

1-2

n(n—l)

前〃项积与=lx2x2?x…x2"T=2°+I+2+“+('T)=（5分）

n

(II)由题，bn=log22=n（6分）

,,bn,n11

故一-n-=------,由裂项------=----------（10分）

(/?„+1)!5+1)!(n+1)!n\(n+1)!

,,iririi、，i

故Je=(zr5)+(,-a)+…+(/-小长)=1-小而

21、(D设P(%,y)(|x|w2),则左kPB=^~—(1分)

x-2x+2

化简为一+々-=1（1%1。2）,或—+—=l（y，。）（3分）

4343

（II）（i）由题，Q（0,J§）,而|PQ|-|CH|=2SAP℃，故考虑S”2c的取值范围即可

（4分）

当P和。很接近时，SAP℃接近于零。直线/℃的方程是y=—设与直线QC平行

且与椭圆相切的直线为y=—岳+0（5分）

22

代入亍+\=1,化为15%2—862％+422—12=0,用判别式为零的条件知道

A=192p2—60(4p2—12)=0,解得/=±岳（6分）

故使得s“2c最大的尸点即y=-瓜-巫与椭圆的切点，该直线到的直线QC的距离为

,|V15-V3|V15-V3八

d=---------------=——-——（6.5分）

22

而|℃|=4,故SAP℃max=：X巫丁叵X4=一百，因此

22

|P2I-|CH|G(0,2(V15-J3)](7分)

(ii)\PQ\\PH^~PQ»~PC\,故考虑而•正的取值范围即可(9分)

并设尸(％,y)(yw0),则而=(—%,/§—>),正=(2—苍6—y),故

PQ»PC^x2-2x+3-y2(10分)

2

而下+一=1,故尸。・PC=Y—2x+3—3x(1—一)=-X-2X(11分)

4344

——►——•7

由于xe(-2,2),所以|PQ|•|P"|=|P。・PC|=|—V-2xk[0,11)(12分)

4

22、(I)求导，f(x)=et--(x>0),由于/(%)在凡上单调递增，故r(x)=e‘—色20

xx

(1分)

该不等式即记g(x)=xeYx>0),g'(x)=(x+l)eA>0(2分)

因此g(x)在此上单调递增，故g(x)=xe*>g(0)=0(3分)

因此ae(-8,0](4分)

JCP—P

(H)由(I)可知,/'(%)=:------(%>0),并令g(x)=xex-e2(x>0),故g'(x)=(x+I)ex>0

x

(5分)

另一方面，g(l)^e-e2<0,g(2)=2e2-e2=e2>0,所以玉0C(1,2),使得8(/)=0

(6分)

在(0,%)上，g(x)<0,f'(x)<0,/(x)单调递减；在(%o，+8)上，g(x)>0,/'(x)>0,

x2

/(x)单调递增，fmin(x)=/(x0)=e°-eInx0(8分)

10/12

另外,由gOo）=0知道/淖=e?,取对数知道%+In/=2（9分）

22

故£式光)=泊=-----/(2-/)=一+ex0-2e(10分)

/九0

2222

通过基本不等式结合x°e(l,2),fmm(x)^—+exo-2e>2e-2e^O,即/(x)>0

（12分）

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理科数学能力测试考点分析

题号涉及考点难度系数分值

1集合的运算A5

2三视图A5

3数列、充分条件与必要条件A5

4排列与组合A5

5平面向量A5

6解三角形C5

7双曲线B5

8