考点27综合与实践（解析版）-中考数学二轮复习课程标准考点方法突破

考点27综合与实践

课标对考点的要求

对综合与实践问题，中考命题需要满足下列要求：

1.结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，

并在此过程中，尝试发现和提出问题。

2.会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告或小论文，并能进行交流，进一步获得数学活

动经验。

3.通过对有关问题的探讨，了解所学过知识（包括其他学科知识）之间的关联，进一步理解有关知识，发

展应用意识和能力。

重要考点知识解记

综合实践探究题类型比较烦杂，以问题表现形式来分，大致可归类为开放型、新信息型、存在型等.包

括设计具体问题的方案，为了解决问题建立数学模型，根据实践活动提出的数学问题，能发现规律，提出

应用。

一、开放型

开放型探究题按题型结构分为条件开放型、结论开放型与策略开放型.此类探究题注重考查学生思维的

严谨性和培养发散思维的能力.

二、新信息型

进入新时代，新信息型探究题逐渐成为考查中的亮点，这类题目通常都会出现一些新的定义概念、规

则、运算等，如何理解和运用题中提供的新信息是处理此类问题的关键.比如“等邻边四边形”、“智慧三

角形”、“勾股分割点”等都属于新信息探究题.

三、存在型

存在与否型探索问题历来都是考查的重点，几何与代数都有涉及.解决此类问题的一般思路为假设结论

成立或存在.结合已知条件，建立数学模型，仔细分析，层层推进，如果能获得相应的结论，则假设成立，

如果出现矛盾则说明原假设并不成立.

探索结论的存在性问题，是综合探究题之一，是开放型试题的重点题型，是中考的热点，也是难点，更是

亮点。若在选择题、填空题中出现，一般考查的难度属于中等难度，若在选择题或者填空题的最后一道小

题出现，就属于压轴题。但根据全国各地中考试卷看，探索结论的存在性问题，都以压轴大题形式出现，

这类试题只是覆盖面广，综合性强。解决问题基本思路是：首先假设研究的数学对象存在，然后从假设出

发，结合题目条件进行计算推理论证，若所得结论正确合理，说明结论存在；若所得结论不合理，说明结

论不存在。解题时要注意的是：（1）明确这类问题的解题思路，即假设存在法；（2）要对各方面知识理

解到位，能灵活应用知识进行分析、综合、概括和推理；（3）心中一定要装有重要的数学思想方法，比如

建构方程的思想、数形结合的思想、转化思想等，在数学思想方法引领下，让解决问题具有方向性，避免

盲目性。（4）作图要科学规范，便于解决问题为宜。

四、其它类型。

中考典例解析

【例题1】（2021山东烟台）综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2,其中一边8C为8c,”的锐角三

角形纸片（如图1）,经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形8CCE（如图2）,则矩形的周长

为cm.

图1图2

【答案】22.

【解析】延长AT交8c于点P,利用三角形的面积公式求出AP,求出BE,CD,DE,可得结论.

解：延长AT交BC于点P,

图2

'：AP±BC,

.•.JL・BC・AP=24,

2

.•」X8XAP=24,

2

：.AP=6(cm),

由题意，AT=PT=3(cm),

：.BE=CD=PT=3(cm),

•:DE=BC=8cm,

，矩形BCQE的周长为8+8+3+3=22（cm）.

【例题2]（2020•攀枝花）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动.有两座垂直于水平地面且高

度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100C77?.王诗嬷观测到高

度90c机矮圆柱的影子落在地面上，其长为7252；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示.已知落在地

面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度1=1：0.75,在不计圆柱厚

度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：

（1）若王诗娘的身高为150a",且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm?

（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内.请直接回答这

个猜想是否正确？

【答案】见解析。

【解析】（1）设王诗嬉的影长为XC7»,

90150

由题意可得：一=---,

72x

解得：x=120,

经检验：x=120是分式方程的解，

王诗媾的的影子长为120OT；

（2）正确，

因为高圆柱在地面的影子与垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，

则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，

而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，

•••高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；

（3）如图，48为高圆柱，AF为太阳光，△COE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子,

过点F作/GJ_CE于点G,

由题意可得：8c=100,CF=100,

♦・,斜坡坡度，=1：0.75,

#DEFG___1___4

…CE~CG_0.75-3’

・••设FG=4m,CG=3m,在△CFG中，(46)2+(3①)2=1002,

解得：加=20,

・・・CG=60,FG=80,

，BG=BC+CG=160,

过点/作丁点、H,

;同一时刻，90a7?矮圆柱的影子落在地面上，其长为72。??，

FGLBE,ABLBE,FHLAB,

可知四边形HBGF为矩形,

.90AHAH

**72-HF~BG'

□0on

：.AH=患XBG=含X160=200,

：.AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280,

故高圆柱的高度为280cm.

【例题3】（2021浙江嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩

形ABCD绕点A顺时针旋转a（0°<aW90°）,得到矩形AB'CD',连结8£）.

［探究1］如图1,当a=90°时，点C'恰好在08延长线上.若48=1,求BC的长.

［探究2］如图2,连结AC',过点。'作O'M//AC交BO于点M.线段M与。M相等吗？请说明理

由.

［探究3］在探究2的条件下，射线DB分别交A。'，AC于点P,N（如图3）,发现线段DN,MN,PN

存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.

图1图2图3

【答案】见解析。

【解析】(1)如图1，设8C=x,

图1

•.•矩形ABCO绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB'CD1,

...点A,B,D'在同一直线上，

：.AD,=AD=BC=x,D'C=AB'=AB=\,

：.D'B=AD'-AB=x-

VZBAD=Z£>'=90°,

：.D'C'//DA,

又•.•点C在的延长线上，

•.D--'---C---'---=--D--'---B-,

ADAB

・

••1—=x---1--,

X1

解得制=上正，（不合题意，舍去），

22

2

(2)D'M=DM.

证明：如图2,连接

・・・ZAD'M=ZD'AC,

a0

\AD'=ADfZAD'C=ZDAB=9O,D‘C=AB,

AAACD^ADAB(SAS),

,

：.ZDAC=ZADBf

,

：.ZADB=ZADMf

\'AD'=AD,

：.ZADD'=NADD,

:・/MDD=/MD'D,

:・D'M=DM；

(3)关系式为M#=PN・DN.

：./\AD'M^AADMCSSS),

・・・NM4D'=NMAD,

■:/AMN=NMAD+/NDA,NNAM=NMAD,+NNAP,

：.NAMN=NNAM,

:・MN=AN,

在△NAP和△%£>△中，/ANP=/DNA,NNAP=NNDA,

：./\NRA^ANAD,

•PN_AN

"AN"DN'

:.A*=PN'DN,

：.MN2=PN'DN.

【例题4】（2021湖南邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径EO与母线AD长之比为

1：2.制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB=AC,ADVBC.将扇形AEF围成圆锥

时，AE,AF恰好重合.

（1）求这种加工材料的顶角/BAC的大小.

（2）若圆锥底面圆的直径EO为5cm,求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积.（结果保留TT）

【答案】见解析。

【解析】（I）设/8AC=〃。.根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论.

（2）根据S-S财彩AEF求解即叽

2

解：（1）设NBAC=〃°.

由题意得TV/）E=n兀"四,AD=2DE,

180

."=90,4c=90°.

（2）VAD=2D£=10（cw）,

2

...Su产-S^AEf=—X10X20-90."10=（1。0-25n）cm2.

22360

考点问题综合训练

一、选择题

1.（2021浙江绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，用2个

相同的菱形放置，得到3个菱形.下面说法正确的是（)

图1图2

A.用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形

B.用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形

C.用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形

D.用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形

【答案】B

【解析】根据题意画出图形，从图形中找到出现的菱形的个数即可.

如图所示，

用2个相同的菱形放置,最多能得到3个菱形;

用8个相同的菱形放置,最多能得到8个菱形,

用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，故选：8.

2.某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造

A.甲种方案所用铁丝最长B.乙种方案所用铁丝最长

C.丙种方案所用铁丝最长I).三种方案所用铁丝一样长

【答案】I).

【解析】考点是生活中的平移现象。分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案.

由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b,

乙所用铁丝的长度为：2a+2b,

丙所用铁丝的长度为：2a+2b,

故三种方案所用铁丝一样长.

3.(2021浙江杭州)在“探索函数y=/+fec+c的系数a,b,c与图象的关系”活动中，老师给出了直角

坐标系中的四个点：A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3),发现这些图象对应的函数表达式各

2262

【答案】A

【解析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则«<0,只需把开口向上的二次函

数解析式求出即可.

由图象知，A、8、。组成的点开口向上；

A、B、C组成的二次函数开口向上；

B、C、。三点组成的二次函数开口向下；

A、D、C三点组成的二次函数开口向下；

即只需比较A、B、。组成的二次函数和A、B.

设A、B、C组成的二次函数为yi=ai/+"x+c”

把4（4,2）,0）,5）代入上式得，

'j=2

<a4+b1+c1=3,

9a]+3b]+c]=5

解得0=5；

8

设A、B、。组成的二次函数为y=aY+Ar+c,

把A（0,4）,0）,3）代入上式得，

c=6

<a+b+c=0，

4a+2b+c=3

解得a=5/2,

即a最大的值为巨.

2

4.（2021湖南长沙）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上

（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）.他先像洗

扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学

两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；

乙：4；丙：16；T：7；戊：17.根据以上信息，下列判断正确的是（）

A.戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9

B.丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7

C.丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4

D.甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9

【答案】A

【解析】由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，

每人手里的数字不重复.

由甲：11,可知甲手中的数字可能是1和10,2和9,3和8,4和7,5和6；

由乙：4,可知乙手中的数字只有1和3；

由丙：16,可知丙手中的数字可能是6和10,7和9：

由丁：7,可知丁手中的数字可能是1和6,2和5,3和4；

由戊：17,可知戊手中的数字可能是7和10,8和9；

...丁只能是2和5,甲只能是4和7,丙只能是6和10,戊只能是8和9.

.♦•各选项中，只有A是正确的.

二、填空题

1.（2021山东烟台）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无

人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°,则旗杆的高度约为米.（结果精确

到1米，参考数据：72^1,41,73^1.73）

廿

【答案】14.

【解析】过。点作OC_LA8的延长线于C点，垂足为C,利用直角三角形的解法得出OC,进而解答即可.

解：过。点作OCLAB的延长线于C点，垂足为C,

c

一小书市.........厂方

、、I

、、•

、I

、、、•

6口

♦.•当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°,

，AC=45米，ZCAO=30°,

.♦.OC=AC・tan30°=返*45=15«（米），

3

.♦•旗杆的高度=40-15遥七14（米）.

三、解答题

1.（2020•河南）小亮在学习中遇到这样一个问题：

如图，点。是宽上一动点，线段8c=8cm,点4是线段BC的中点，过点C作C尸〃8D,交D4的延长线

于点E当△OC尸为等腰三角形时，求线段的长度.

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请

将下面的探究过程补充完整：

(1)根据点。在BC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD,CD,尸。的长度，得到下表的几组对

应值.

BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0

CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40

FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0

操作中发现：

①”当点D为筑1的中点时，BD=5.0cm”.则上表中a的值是；

②“线段C尸的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由.

(2)将线段8。的长度作为自变量x,C。和的长度都是x的函数，分别记为ye和ym，并在平面直

角坐标系，中画出了函数"D的图象，如图所示.请在同一坐标系中画出函数yen的图象：

(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△OCF为等腰三角形时，线段

8。长度的近似值(结果保留一位小数).

1

【答案】见解析。

【解析】(1)；点O为优的中点，：.Bb=CD,：.BD^CD=a^5cm,

故答案为：5；

(2)♦.•点A是线段8c的中点,

：.AB=AC,

'：CF//BD,：.ZF=ZBDA,

又,:ZBAD=ZCAF,

：./\BAD^^CAF(AAS),：.tiD=CF,

...线段CF的长度无需测量即可得到；

(3)由题意可得：

(4)由题意画出函数ycF的图象;

山图象可得：8/)=3.8cvn或5a”或6.2a“时，△/)(?尸为等腰三角形.

2.(2020浙江宁波)I问题］小明在学习时遇到这样一个问题：求不等式如+3/-x-3>0的解集.

他经历了如下思考过程：

［回顾］

k

(1)如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线％=公+匕与双曲线>2=—交于A(1,3)和8(-3,-1),

x

则不等式K的解集是.

X

［探究］将不等式/+3片-x-3>0按条件进行转化：

当x=0时，原不等式不成立；

3

当x>0时，不等式两边同除以x并移项转化为9+3x-1>一；

x

3

当x<0时，不等式两边同除以x并移项转化为N+3x-1<一.

x

(2)构造函数，画出图象：

3

设g=(+3》-1,/=一，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象；

x

3

双曲线g=一如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y=/+3x-1.(不用列表)

x

(3)确定两个函数图象公共点的横坐标：

观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足的所有x的值为

［解决］

(4)借助图象，写出解集：

结合“探究”中的讨论，观察两个函数的图象可知：不等式V+35-x-3>0的解集为.

【解析】⑴如图1中，观察图形可知：不等式依+〃>七的解集为x>l或-3VxV0.

x

故答案为：Q1或-3Vx<0.

(2)函数”=x2+3x-1的图形如图所示：

(3)观察图象可知，两个函数图象的公共点的横坐标为-3,-1,1.

经过检验可知：点(-3,-1),点(-1,-3),点(1,3)是两个函数的交点坐标,

满足券=），4的所有X的值为-3或-1或1.

故答案为-3或-1或1.

3

（4）观察图象，当x>0时，不等式两边同除以x并移项转化为f+3x-1>—的解集为x>l,

x

3

当xVO时，不等式两边同除以x并移项转化为炉+3》-1〈一的解集为x<-3或-l<x<0,

x

不等式X3+3J?-x-3>0的解集为x>1或x<-3或-1<x<0.

故答案为X>1或x<-3或-l<x<0.

【点拨】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质等知

识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，把不等式问题转化为函数图象问题解决，属于中考

压轴题.

3.（2020湖北随州）一个问题解决往往经历发现猜想一探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几

何题来体验一下.

（发现猜想）（1）如图①，已知/AOB=70。，/A0£>=100。，OC为NB。。的角平分线，则/AOC的度数

为;•

图①图②

（探索归纳）（2）如图①，ZAOB=m,ZAOD=n,OC为NBOD的角平分线.猜想NAOC的度数（用含

相、〃的代数式表示），并说明理由.

（问题解决）（3）如图②，若NAO8=20。，ZAOC=90°,乙403=120。.若射线08绕点O以每秒20。逆

时针旋转，射线OC绕点。以每秒10°顺时针旋转，射线。。绕点。每秒30。顺时针旋转，三条射线同时旋

转，当一条射线与直线04重合时，三条射线同时停止运动.运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹

角的角平分线？

【答案】见解析。

【解析】（1）85°；

(2)VZAOB^m,/AOD=n,ZBOD=n-m

•；0C为NBOO的角平分线

n-m

：,4BOC=

(3)设经过的时间为k秒，

则/£>04=120。-304；ZCOA=90°-lOx；ZBOA=20°+20x；

①当在之前，OC为OB,。。的角平分线；30-20x=70-30x,加=4(舍)；

a13

②当x在和2之间，OD为OC,08的角平分线;-30+20x=100-50x,x2=y；

717

③当x在2和《之间，0B为OC,。。的角平分线；70-30X=-1004-50X,心=管；

3o

④当x在:和4之间，0C为OB,0。的角平分线；―70+30x=-30+20x,值=4.

答：经过学，1，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.

【点拨】本题考查了角平分线的性质，一元一次方程的应用，解决本题的关键是熟练掌握角平分线的性质,

理清各个角之间存在的数量关系，根据数量关系列出方程.

4.(2020•陕西)问题提出

(1)如图1,在RtZXABC中，ZACB=9QQ,AOBC,/ACB的平分线交AB于点。.过点。分别作。E

±AC,DFLBC.垂足分别为E,F,则图1中与线段CE相等的线段是.

问题探究

(2)如图2,AB是半圆。的直径，4B=8.P是循上一点，且苑=2两，连接”，BP.N4PB的平分线

交于点C,过点C分别作CELAP,CFLBP,垂足分别为E,F,求线段CF的长.

问题解决

(3)如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知。。的直径48=70用点C在。。上，且

CA=CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交。。于点£>.连接A。，BD.过点P分别作PF

±BD,重足分别为E,F.按设计要求，四边形PECF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其

余部分为绿化区.设AP的长为x(〃力，阴影部分的面积为yCm2).

①求y与x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30,”时，整体布局比较合理.试求当AP=30〃?

时.室内活动区(四边形PEQF)的面积.

c

图1图2图3

【答案】见解析。

【解析】(1)VZAC5=90°,DELAC,DF1.BC,

二四边形CEQF是矩形，

平分NACB,DE±AC,DF±BC,

：.DE=DF,

二四边形CEC尸是正方形，

:.CE=CF=DE=DF,

故答案为：CF、DE、DF；

(2)连接0P,如图2所示：

•••A8是半圆。的直径，PB=2PA,

：.ZAPB=9QQ,ZAOP=jxl80°=60°,

/.ZABP=30°,

同（1）得：四边形P£Cf"是正方形，

：.PF=CF,

在Rt"PB中，PB=AB-cosZABP=8Xcos30°=8x甲=4v",

在R^c稗中，B4两%=岛=与=0。/，

T

•：PB=PF+BF,

:・PB=CF+BF,

即：4用=CF+第CF,

解得：CF=6-2^；

（3）①•；AB为。。的直径,

二/ACB=乙4。8=90°,

,:CA=CB,

：.ZADC=ZBDC,

同（1）得：四边形。EPF是正方形，

:.PE=PF,NAPE+NBPF=90°,NPEA=/PFB=90°,

...将△APE绕点P逆时针旋转90°,得到△?!'PF,PA'=%，如图3所示:

则A'、F、8三点共线，Z.APE=ZAzPF,

.'.NA'PF+ZBPF=90°,即NA'PB=90°,

•*»SA/M£+SAPBF=5A/MB=^PA''PB=（70-x）,

在RtAACB中，AC=BC=*AB=9x7O=35传

-'■S^cB=1AC2=Ix（35在）2=1225,

11

-

一（70-x）+1225=-2

2'

②当AP=30时，A'尸=30,PB=AB->4P=70-30=40,

在RtZXA'28中，山勾股定理得：A'B=\A'PZ+PB2=V302+402=50,

•..%，PB=y，B-PF=jPB*A'P,

1i

A-x50XPF=iX40X30,

22

解得：P尸=24,

•••S四边形/>EDF=P/=242=576（，/）,

.•.当AP=30〃?时.室内活动区（四边形PE£>F）的面积为576/«2.

c

图3图2

5.（2021山东济宁）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题.

（1）阅读材料

立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角.

例如，正方体ABCQ-A'B'CD'（图1）,因为在平面A4'CC中，CC'〃AH,A4'与AB相交

于点A,所以直线AB与A4'所成的/如'就是既不相交也不平行的两条直线A8与CC'所成的角.

解决问题

如图1,己知正方体ABCD-A'B'CD',求既不相交也不平行的两直线84'与4C所成角的大小.

（2）如图2,M,N是正方体相邻两个面上的点;

①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是一；

②在所选正确展开图中，若点M到AB,BC的距离分别是2和5,点N到BZ）,BC的距离分别是4和3,P

是上一动点，求PM+PN的最小值.

【答案】见解析。

【分析】（1）如图1中，连接BC'.证明BC是等边三角形，推出NBA'C=60°,由题意可知

NC'A'8是两条直线AC与5A'所成的角.

（2）根据立方体平面展开图的特征，解决问题即可.

（3）如图丙中，作点N关于4）的对称点K,连接交AD于P,连接PM此时尸M+PN的值最小，最

小值为线段MK的值，过点M作MJLNK于J.利用勾股定理求出MK即可.

解：（1）如图1中，连接8C'.

D'C'

图1

VAZB=BC=A'C,

...△A'BC是等边三角形，

：.ZBA'C'=60°,

'：AC//A'C',

AZCZA'8是两条直线AC与BA'所成的角，

两直线B4'与AC所成角为60°.

（2）①观察图形可知，图形丙是图2的展开图，

故答案为：丙.

②如图丙中，作点N关于AO的对称点K,连接MK交4。于P,连接PN,此时PM+PN的值最小，最小值

为线段MK的值，过点M作M/_LNK于J.

丙

由题意在RtZ\MKJ中，NMJK=90°，M/=5+3=8,JK=8-(4-2)=6,

M/C=7MJ2+JK2=V82+62=10,

...PM+PN的最小值为10.

6.（2021浙江绍兴）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1,水平操作台为/,高AB为50的，连杆BC

长度为70c〃?，C是转动点，且AB

（1）转动连杆BC,手臂8,使/ABC=143°,如图2,求手臂端点。离操作台/的高度。E的长（精确

到1cm,参考数据：sin530=0.8,cos53°*=0.6）.

（2）物品在操作台/上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC,手臂端点。能否碰到点M?请说

明理由.

VZABC=143°,

：.ZCBQ=53Q,

在RtZ\8CQ中，CQ=8C・sin53°^70X0.8=56cm,

'：CD//l,

：.DE=CP=CQ+PQ=56+50=106c/n.

(2)当aCD共线时

BD=60+70=130cm,AB=50cm,

在Rt/XABO中，AB2+AD2^BD2,

/.AD=120cm>11Ocnt.

.••手臂端点。能碰到点

7.（2021浙江绍兴）问题：如图，在口48CD中，AB=8,ADAB,/ABC的平分线AE,F,求所的长.

答案：EF=2.

探究：（1）把“问题”中的条件“AB=8”去掉，其余条件不变.

①当点E与点F重合时，求A8的长；

②当点E与点C重合时，求所的长.

（2）把“问题”中的条件“AB=8,AD=5"去掉，其余条件不变，/）,E,尸相邻两点间的距离相等时，

求地的值.

【解析】（1）①证NOE4=ND4E,得DE=AO=5,同理3c=CF=5,即可求解；

②由题意得OE=OC=5,再由CF=BC=5,即可求解：

（2）分三种情况，由（1）的结果结合点C,D,E,尸相邻两点间的距离相等，分别求解即可.

解：（1）①如图1所示：

图1

•；四边形ABCD是平行四边形,

：.CD=AB=S,BC=AD=5,

：.ZDEA=ZBAE,

'：AE平分ND4B,

:.NDAE=4BAE,

：.ZDEA=ZDAE,

：.DE=AD=5,

同理：BC=CF=5,

•.•点E与点F重合,

AB=CD=DE+CF=10；

②如图3所示:

D(F)C(E)

图2

•点E与点C重合,

:.DE=DC=5,

,:CF=BC=5,

•••点F与点D重合,

:.EF=DC=5；

（2）分三种情况：

①如图3所示：

同（1）得：AD=DE,

•.•点C,D,E,尸相邻两点间的距离相等,

.-.AD=1:

AB4

②如图4所示:

同(1)得：AD=DE=CF,

'：DF=FE=CE,

•AD=1.

AB6

③如图5所示：

cE

AB

图5

同（1）得：AD=DE=CF,

■:DF=DC=CE,

.•.挺1=2；

AB

综上所述，的值为乌或2.

AB35

8.【材料阅读】

地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的。0）.人们在北半球可观测到北

极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互

相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直.站在不同的观测点，当工

具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角a的大小是变化的.

【实际应用】

观测点力在图1所示的。。上，现在利用这个工具尺在点4处测得a为31°,在点火所在子午线往北的另

一个观测点6,用同样的工具尺测得a为67°.图是。。的直径，PQYON.

（1）求/尺方的度数；

（2）已知0P=6400A-®,求这两个观测点之间的距离即00上篇的长.（加取3.1）

【答案】见解析。

【解析】（1）设点6的切线应交加,延长线于点6,HD1BC千D,短掰交比、于点C,如图所示:

则/丽'=67°,

■:NHBA2BHD=NBHANDHC=90°,

：.AIIBD=^DHC=&1°,

•：ON//BH,

：.4BEg/HBD=67。,

:.NB0E=9Q°-67°=23°,

■:PQLON,

：.2P0E=9Q°,

.*.ZW=90°-23°=67°；

(2)同(1)可证NR24=31°,

:/AOB=/POB-2P0A=61°-31°=36°,

二篇=炎*71x6400=3968(km).

【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式

是解题的关键.

9.（2020年浙江舟山）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起,

使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1）,其中NACB=NDFE=90°,BC=EF=3cm,AC=DF=4cm,

并进行如下研究活动.

活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE,BD（如图2）,当点F与点C重合时停止平移.

【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由.

【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）.求AF的长.

活动二：在图3中，取AD的中点0,再将纸片DEF绕点0顺时针方向旋转a度（0WaW90）,连结0B,

0E（如图4）.

图1图2图3图4

【答案】见解析

【分析】【思考】

由全等三角形的性质得出AB=DE,ZBAC=ZEDF,则AB〃DE,可得出结论；

【发现】

连接BE交AD于点0,设AF=x（cm）,则OA=OE=《（x+4）,得出OF=OA-AF=2-《x,由勾股定理可

22

（2-yx）2+32=-^-（x+4）2>解方程求出x,则AFuJ求出；

【探究】

如图2,延长0F交AE『点H,证明△EFO乌ZXEFH（ASA）,得出EO=EH,FO=FH,则NEH0=NE0H=NOBD

=Z0DB,可证得△EOHTZXOBD（AAS）,得出BD=OH,则结论得证.

解：【思考】四边形ABDE是平行四边形.

证明：如图，VAABC^ADEF,

AAB=DE,ZBAC=ZEDF,

；.AB〃DE,

.♦•四边形ABDE是平行四边形；

【发现】如图1,连接BE交AD于点0,

图1

丁四边形ABDE为矩形，

・・・OA=OD=OB=OE,

设AF=x(cm),贝iJOA=OE=/(x+4),

AOF=OA-AF=2-—x,

2

在RtZ^OFE中，V0F2+EF2=0E2,

(2-^-X)2+32=-^-(X+4)2>

解得:x=-y,

4

9

・・・AF=Ncm.

【探究】BD=2OF,

证明：如图2,延长OF交AE于点H,

•・,四边形ABDE为矩形，

・・・Z0AB=Z0BA=Z0DE=ZOED,OA=OB=OE=OD,

AZ0BD=Z0DB,Z0AE=Z0EA,

AZABD+ZBDE+ZDEA+ZEAB=360°,

・・・NABD+NBAE=180°,

.♦・AE〃BD,

AZ0HE=Z0DB,

VEF平分NOEH,

.,.ZOEF=ZHEF,

VZEF0=ZEEH=90°,EF=EF,

.,.△EFO^AEFH(ASA),

，EO=EH,FO=FH,

/.ZEH0=ZE0H=Z0BD=ZODB,

/.△EOH^AOBD(AAS),

，BD=OH=2OF.

10.(2021齐齐哈尔)综合与实践

数学实践活动，是一种非常有效的学习方式.通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓

展思推空间，丰富数学体验.让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣.

折一折：将正方形纸片ABCO折叠，使边AB、AO都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF,连接EF,

如图1.

(1)ZEAF=°.写出图中两个等腰三角形：(不需要添加字母)；

转一转：将图I中的ZE4/绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、C£»于点P、Q,连接P。，如图2.

(2)线段BP、PQ、OQ之间的数量关系为；

(3)连接正方形对角线8。，若图2中的NPAQ的边AP、AQ分别交对角线于点V、点N.如图3,

则已

BM

剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线80剪开，如图4.

(4)求证：BM2+DN2=MN2.

【答案】(1)45,△ABC.AADC：(2)BP+DQ=PQ..(3)0：(4)见解析

【解析】(1)由翻折的性质可知：ZDAF=ZFAC,ZBAE=ZEAC,NE4F=NE4C+NE4C，根据

正方形的性质：AB=BC^CD^AD,ZBAD=90°^ZDAF+ZFAC+ZBAE+ZEAC,则

ZEAF=-ZBAD=45°,AABC/ADC为等腰二角形；

2

(2)如图：将△AOQ顺时针旋转90°,证明△APQ四△APQ'全等，即可得出结论；

(3)证明△ACQS^ABM即可得出结论；

(4)根据半角模型，将△AZW顺时针旋转90°,连接MN',可得DN=BN',通过△AMNdMCV'得

MMN=MN',ZiBMN'为直角三角形，结合勾股定理即可得出结论.

【详解】(1)由翻折的性质可知：ZDAF=ZFAC,ZBAE=ZEAC

:ABCD为正方形

:.ZBAD=9O°,AB=BC=CD=AD

:.^ABC,^ADC为等腰三角形

•••ABAD=ZDAF+ZFAC+ZBAE+ZEAC

/BAD=2(ZFAC+ZEAC)

;ZEAF=ZFAC+ZEAC

：.ZEAF=-/BAD=』x90。=45°

22

(2)如图：将△ADQ顺时针旋转90。,

由旋转的性质可得：AQ=AQ',DQ=BQ'ZDAQ=ZBAQ'

由(1)中结论可得NPAQ=45。

•.•A3CD为正方形，ZBAD-=90°

：.ZBAP+ZDAQ=45°

：.NB4Q'+N8AP=45。

NPAQ=NPAQ'

•••在^APQ和△APQ'中

AP=AP

<NPAQ=NPAQ'

AQ=AQ'

.•.△APQdAPQ'

PQ=PQ'

\PQ'=BQ'+BP

：.PQ=DQ+BP

(3)•••BD,AC为正方形ABC。对角线

AC=y/2AB

:.ZABM=-ZACQ=45°,ABAC=45°

-.-ZPAQ=45°

：.ZBAM=450-ZPAC^ZCAQ=45°-ZPAC

ZBAM=ZCAQ

AABMS"CQ

.毕4=&

BMAB

（4）如图：将AADN顺时针旋转90°,连接MN'、

由（2）中的结论可证△AMN'/△4AW

:.MN=MN'

ZD=45°,ZABD=45°

根据旋转的性质可得：/D=NABN'=45。,DN=BN'

：.AMBN'=ZABD+ZABN'=90°

在中有用⑺+BN'2=MN'2

•••BM2+DN2=MN2

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判

定和性质，以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键.

II.（2021湖南益阳）“2021湖南红色文化旅游节--重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4

月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高

度进行了测量.如图所示，在山坡上的A点测得塔底8的仰角/BAC=13°,塔顶。的仰角ND4C=38°,

斜坡A8=50米，求宝塔80的高（精确到1米）.

（参考数据：sinl30-0.22,cosl3°40.97,tanl3°=0.23,sin38°—.62,cos38°弋0.79,tan38°-0.78）

【答案】27米.

【解析】要求8。的长，由题意知可先求出BC、CO的长.再利用求出8。的长.

在Rt/XABC中，smZBAC=—,cos/8AC=蚂，

ABAB

：.BC=AB^mZBAC=AB'smir弋50X0.22=11（米）；

AC=A8・cosN8AC=48・cosl3°«50X0.97=48.5（米）；

在中，tanND4C=改，

AC

.•.CD=AUtan/ZMC=AC・tan38°g48.5X0.78-37.83（米）；

：.BD^CD