2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考一模数学试题

2024年九年级复习情况调研（一）数学试卷考生须知：1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效．4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（每小题3分，共计30分）1.下列实数中，最大的数是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】有理数比较大小的法则：正数大于负数，正数大于0，两个负数中绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：正数大于0，正数大于负数，且，所以中最大的实数是2．故选：D【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟练掌握其方法是解题的关键．2.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的加法，同底数幂的乘除法，幂的乘方这些公式进行运算即可．【详解】A选项，和不是同类项，不能合并，故不符合题意；B选项，，正确，故符合题意；C选项，，不正确，故不符合题意；D选项，，不正确，故不符合题意．故选：B【点睛】本题考查整式的运算，属于基础题，熟练掌握同底数幂的加法，同底数幂的乘除法，幂的乘方这些运算法则是解题的关键．3.我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；D.是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4.如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（）A.三棱柱 B.圆柱 C.三棱锥 D.圆锥【答案】D【解析】【分析】根据主视图和左视图确定是柱体、锥体、球体，再由俯视图确定具体形状．【详解】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆锥．故选：D．【点睛】本题考查了由物体的三种视图确定几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．5.在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解．【详解】解：∵当时，有，∴反比例函数的图象在一三象限，∴解得：，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键．6.方程的解为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解方程即可．【详解】解：去分母得：去括号得：，移项合并合并同类项得：，化系数为1：，经检验，是分式方程的解．故选：C．7.某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意列出一元二次方程即可．【详解】解：设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意得，，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．8.爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（）A.58J B.159J C.1025J D.1732J【答案】B【解析】【分析】根据特殊角三角函数值计算求解．【详解】故选：B．【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．9.如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D，E，连接的延长线交于点F，则的大小是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出的度数和的度数，然后即可计算出的度数．【详解】解：连接，，，交于点G，

，，∵点O为的内切圆的圆心，，，，，垂直平分，，，故答案为：A．10.甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（）A.8:28 B.8:30 C.8:32 D.8:35【答案】A【解析】【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐标即可．【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40，设小亮对应函数图象的解析式为，将代入解析式得，解得，小亮对应函数图象的解析式为，设小莹对应函数图象的解析式为，将，代入解析式，得，解得，小莹对应函数图象的解析式为，令，得，解得，小亮与小莹相遇的时刻为8:28．故选A．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，熟练运用数形结合思想．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题3分，共计30分）11.2023年5月28日，我国自主研发的国产大飞机商业首航取得圆满成功．可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为________．【答案】【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．【详解】解：将186000用科学记数法表示为：．故答案为：．12.函数：中，自变量x的取值范围是_____．【答案】【解析】【详解】解：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须，即．故答案为：．13.计算的结果是________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的减法，直接化简二次根式，进而合并得出答案．【详解】解：故答案为：．14.把多项式分解因式的结果是________．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了提公因式法、公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．先提公因式，再直接利用完全平方公式分解因式，进而得出答案．【详解】解：故答案为：．15.不等式组的解集是________．【答案】【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组步骤是解题关键．先解出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求其公共解集即可．【详解】解：解不等式①，得：，解不等式②，得：，所以该不等式组的解集是．故答案为：．16.如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是________．【答案】##0.4【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可得出，再代入，，，即可求出结论．【详解】解：，，∴，故答案为：．17.有数学4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了概率的相关知识，根据题意，画出图形即可，再根据数据进行分析．【详解】解：，三位数有6个，是5的倍数的三位数是：465，645；三位数是5的倍数的概率为：；故答案为：．18.矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______．【答案】2或【解析】【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当时，∵四边形矩形，∴，则，由平行线分线段成比例可得：，又∵M为对角线中点，∴，∴，即：，∴，当时，∵M为对角线的中点，∴为的垂直平分线，∴，∵四边形矩形，∴，则，∴∴，综上，的长为2或，故答案为：2或．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．19.如图，在中，，，，点O为的中点，以O为圆心，长为半径作半圆，交于点D，则图中阴影部分的面积是________．（用含π的式子表示）【答案】##【解析】【分析】本题考查扇形的面积，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．连接．解直角三角形求出，，再根据，求解即可．【详解】解：连接,作于E．在中，，，，，，，,故答案为：20.如图，正方形的边长为4，点E在上，连接，的平分线交于点F，连接，点G是的中点，连接并延长交于点H，若，则线段的长为________．【答案】##【解析】【分析】此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，正方形的性质和直角三角形的性质，解直角三角形，综合性强，正确作出辅助线是关键．将正方形放在平面直角坐标中，作于N，连接，求出直线，直线，联立方程组，求出点H的坐标，用两点距离公式求解即可．【详解】解：如图所示，将正方形放在平面直角坐标中，作于N，连接，，点G是的中点，，，，，平分，，，，，，在中，，，，，，∴，∴，，，∴，∴，，设直线为，将代入，得，解得，直线为，设直线为，将代入，得，解得，直线为，将，联立，得，解得，，，故答案为：．三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）21.先化简，再求代数式的值，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值的混合运算，先根据分式的混合运算法则，进行化简，再根据特殊角的三角函数值求出的值，再代入化简后的式子计算即可．掌握分式的混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．【详解】解：原式；∵，∴原式．22.如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．（1）画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接；（2）画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C；（3）填空：的度数为_________．【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）【解析】【分析】（1）根据题目叙述画出图形即可；（2）根据题目叙述画出图形即可；（3）由（1）作图可得是等腰直角三角形，且，由对称的性质可得．【小问1详解】在方格纸中画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接,如图；【小问2详解】画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C；如上图所示：【小问3详解】由（1）作图可得是等腰直角三角形，且，再根据对称的性质可得．故答案为：．【点睛】此题考查了旋转作图及作轴对称图形，解答本题的关键是仔细审题，得出旋转三要素，进而得出旋转后的图形．23.某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.3，0.3，0.2，绘制成如下不完整的统计图表．各组劳动时间的频数分布表组别时间频数A5BaC20D15E8请根据以上信息解答下列问题．（1）A组数据的众数是________；（2）求B组所在扇形的圆心角的度数；（3）若该校有1800名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数．【答案】（1）0.3（2）（3）1290人【解析】【分析】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用：（1）利用众数的定义即可得出答案；（2）由D组的人数及其所占百分比可得样本容量，用乘以B组所占百分比即可；（3）用总人数乘以样本中学生劳动时间超过的人数所占百分比即可．【小问1详解】解：∵A组的数据分别为：0.5，0.4，0.3，0.3，0.2∴A组数据的众数是0.3；故答案为：0.3；【小问2详解】解：本次调查的样本容量是，∵，∴B组所在扇形的圆心角的大小是，【小问3详解】解：（人），答：估计该校学生劳动时间超过的大约有1290人．24.已知：点A，D，C，B在同一条直线上，且，，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接，，，且，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形．【答案】（1）证明过程见详解；（2）．【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定定理、性质，平行线的判定，等腰三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有．（1）先求出，用证明，得出即可推出结论；（2）根据全等三角形的判定定理得出全等三角形，再运用全等三角形的性质即可找到等腰三角形．【小问1详解】证明：，，即，在和中，，，；【小问2详解】解：是等腰三角形．理由：如图2，设与交于点O，，，，，，，在和中，，，，同理可证，，是等腰三角形．25.创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元．（1）求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？【答案】25.每个A型垃圾桶60元，每个B型垃圾桶100元；26.120个．【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，根据购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元，列出二元一次方程组，即可求解；（2）设A型垃圾桶a个，根据总费用不超过15200元，列出不等式，即可求解．【小问1详解】解：设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，由题意可得：，解得：，答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；【小问2详解】解：设A型垃圾桶a个，由题意可得：，，答：至少需购买A型垃圾桶120个．26.已知：是的外接圆，的平分线交于点D，连接，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，是的直径，过点A作，垂足为点E，连接，若，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在上，连接分别交，于点G，H，若，，求线段的长．【答案】26.证明过程见详解27.证明过程见详解28.【解析】【分析】（1）由角平分线得到两个圆周角相等，进而得到在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等；（2）连接，作于F，运用特殊角的三角函数得出结论．（3）作于N，连接并延长，交于P，作于Q，作于M，运用勾股定理求出关键线段的长，借助相似三角形的性质及判定即可求出的长．【小问1详解】证明：连接，平分，，，，．【小问2详解】证明：连接，作于F，是的直径，，平分，，，都是等腰直角三角形，即，，∴，，，，，，，，，，，，，，，，，．【小问3详解】解：作于N，连接并延长，交于P，由（2）知，，，是的垂直平分线，，，，，即，，，，作于Q，∵，，，，，作于M，，，，，，，设，则，，，，即，，，连接，，，即，．【点睛】考查圆周角定理和推论，勾股定理以及直角三角形特殊的边角关系、相似三角形的性质和判定等知识，掌握定理和