高二数学《空间向量与立体几何》教案

空间向量解立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量，设（为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．二、空间向量的直角坐标运算律（1）若，，则，，，，（2）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（3）三、空间向量直角坐标的数量积1、设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即＝规定：零向量与任一向量的数量积为0。2、模长公式3、两点间的距离公式：若，，则，或．4、夹角：．注：①是两个非零向量）；②。5、空间向量数量积的性质：①．②．③．6、运算律①；②；③四、直线的方向向量及平面的法向量1、直线的方向向量：我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量2、平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作，如果，那么向量叫做平面α的法向量。注：①若，则称直线为平面的法线；②平面的法向量就是法线的方向向量。③给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。3、在空间求平面的法向量的方法：（1）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。（2）待定系数法：建立空间直接坐标系①设平面的法向量为ABCDE②ABCDE③建立方程组：④解方程组，取其中的一组解即可。五、证明1、证明两直线平行已知两直线和,,则存在唯一的实数使2、证明直线和平面平行（1）已知直线且三点不共线，则∥存在有序实数对使（2）已知直线和平面的法向量,则∥3、证明两个平面平行已知两个不重合平面,法向量分别为,则∥4、证明两直线垂直已知直线。，则5、证明直线和平面垂直已知直线，且A、B,面的法向量为,则6、证明两个平面垂直已知两个平面,两个平面的法向量分别为,则六、计算角与距离1、求两异面直线所成的角 已知两异面直线，，则异面直线所成的角为：例1.（2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点。求异面直线AB与MD所成角的大小；解：作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,设与所成的角为,,与所成角的大小为2、求直线和平面所成的角已知A,B为直线上任意两点，为平面的法向量，则和平面所成的角为:（1）当时（2）当时图3例2.如图3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，，侧棱AA1=2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小。图3解：以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立直角坐标系，设，则，，，∴，，，，∵点E在平面ABD上的射影是的重心G，∴平面ABD，∴，解得。∴，，∵平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量。由得，∴与平面ABD所成的角为，即。评析：①因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用此法向量求出的线面角应满足。②一般地，设n是平面M的法向量，AB是平面M的一条斜线，A为斜足，则AB与平面

M所成的角为：。3、求二面角（1）已知二面角，且，则二面角的平面角的大小为：（2）已知二面角分别为面的法向量，则二面角的平面角的大小与两个法向量所成的角相等或互补。即注:如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。(1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。(2)通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。例3．（04高考四川卷）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M。求证：（1）CD⊥平面BDM；（2）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。分析：要证CD⊥平面BDM，只需证明直线CD与平面BDM内的两条相交直线垂直即可；要求二面角，需找出二面角的平面角或转化为两直线的夹角。考虑几何法或向量法求解。解：以C为原点建立坐标系。则则，∵A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，∴CD⊥平面BDM。（2）设BD的中点为G，连结B1G，则，，∴的夹角等于所求二面角的平面角。。4、求两条异面直线的距离已知两条异面直线,是与两直线都垂直的向量,，则两条异面直线的距离例4．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（） A． B． C． D．ABABCDOS图4，，，，．，．令向量，且，则，，，，．异面直线和之间的距离为：．5、求点到面的距离已知平面和点A,B且,为平面的法向量,则点A到平面的距离例5.如图5，已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．点到平面的距离（）A． B．C． D．答案选A；解析：为正方形，，又平面平面，AA1DCBB1CAA1DCBB1C1图5设点到平面的距离为，则===．七、训练题1、如图，已知直三棱柱中，BC=1，，M是的中点。求证：证明：说明上图中，上底面字母为。建立以C为坐标原点的空间直角坐标系以CA为Y轴，为X轴，为Z轴，则，则，则=0，命题得证。A1xD1B1ADBCC1yzE1F1HG2、在正方体中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1A1xD1B1ADBCC1yzE1F1HG求BE1与DF1所成的角的大小。解：设正方体棱长为4，以为正交基底，建立如图所示空间坐标系,，＝15A1xD1B1ADBCC1yzE1F3、在正方体中,F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且A1xD1B1ADBCC1yzE1F解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz为D1AC平面的法向量，所以直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值为A1xD1B1A1xD1B1ADBCC1yzE解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz（法一）,（法二）求出平面与平面的法向量5、已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：A1xD1B1ADBA1xD1B1ADBCC1yzEF（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角的大小。解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz（1）A1D与EF所成角是ABCDEAABCDEA1B1C1D1（3）,，二面角的正弦值为6、如图，正四棱柱中，，ABCDEA1BABCDEA1B1C1D1yxz（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．解：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．依题设，．，．（Ⅰ）因为，，故，．又，所以平面．（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，．故，．令，则，，．等于二面角的平面角，．所以二面角的大小为．7、如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点，为的中点（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。解：作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,（Ⅰ）设与所成的角为,,与所成角的大小为（Ⅱ）设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,由,得.所以点B到平面OCD的距离为直线、平面、简单多面体空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结。如下图：条件结论线线平行线面平行面面平行垂直关系线线平行如果a∥b，b∥c，那么a∥c如果a∥α，aβ，β∩α=b，那么a∥b如果α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，那么a∥b如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b线面平行如果a∥b，aα，bα，那么a∥α——如果α∥β，aα，那么α∥β——面面平行如果aα，bα，cβ，dβ，a∥c，b∥d，a∩b=P，那么α∥β如果aα，bα,a∩b=P,a∥β,b∥β，那么α∥β如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ如果a⊥α，a⊥β，那么α∥β条件结论线线垂直线面垂直面面垂直平行关系线线垂直二垂线定理及逆定理如果a⊥α，bα，那么a⊥b如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c线面垂直如果a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=P，那么a⊥α——如果α⊥β，α∩β=b，aα,a⊥b，那么a⊥β如果a⊥α，b∥a，那么b⊥α面面垂直定义（二面角等于900）如果a⊥α，aβ，那么β⊥α————2、空间元素位置关系的度量（1）角：异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。注：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、向量的夹角的范围依次是，．直线的倾斜角、到的角、与的夹角的范围依次是．（2）距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。线面距离，面面距离常化归为点面距离。两个重要计算公式cosθ=cosθ1·cosθ2其中θ1为斜线PA与平面α所成角，即为∠PAO，θ2为PA射影AO与α内直线AB所成的角，θ为∠PAB。显然，θ>θ1，θ>θ2注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等斜线在平面上射影为角的平分线．异面直线上两点间距离公式设异面直线a，b所成角为θ，则EF2=m2+n2+d2±2mncosθ4、棱柱、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂直的性质解题，在正棱锥中，要熟记由高PO，斜高PM，侧棱PA，底面外接圆半径OA，底面内切圆半径OM，底面正多边形半边长OM，构成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形。5、直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质．如长方体中：对角线长，棱长总和为，全（表）面积为，（结合可得关于他们的等量关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式），；如三棱锥中：侧棱长相等（侧棱与底面所成角相等）顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直（两对对棱垂直）顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等（侧面与底面所成相等）且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心．如正四面体和正方体中：6、多面体是由若干个多边形围成的几何体．棱柱和棱锥是特殊的多面体．正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱.7、球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长（半径）的点的集合．球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长．注：“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”．球体积公式，球表面积公式.排列组合、二项式定理以及概率1、分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心2、排列数与组合数都是计算完成事件方法个数的公式，排列数是研究排列（既取又排）个数的公式，组合数是研究组合（只取不排）个数的公式，是否有序是它们之间的本质区别。排列数公式：，当m=n时，，其中m，n∈N+，m≤n，规定0!=1组合数公式：组合数性质：，规定，其中m，n∈N+，m≤n3、处理排列组合应用题的规律两种思路：直接法，间接法两种途径：元素分析法，位置分析法（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要完成什么样的事件是前提（4）基本题型及方法：捆绑法，插空法，错位法，分组分配法，均匀分组法，逆向思考法等4、二项式定理，通项公式，r=0，1，2，…，n其中各系数就是组合数，它叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项．某项“加数”的指数该项的“项数减去1的差”，也可看成组合数的上标．其中，二项式展开式中二项式系数（组合数）的性质：（1）对称性，在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，；（2）增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，当n是偶数时，中间一项最大；当n是奇数时，中间两项，相等，且为最大值；（3）（4）应用“赋值法”同样可得相关性质或寻求二项式展开式中“奇次（