江西省九江市2024届高三第三次高考模拟统一考试数学试题

九江市2024年第三次高考模拟统一考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为深入学习党的二十大精神，某校开展“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，其中高三年级选派8名同学参赛，这8名同学的成绩（总分10分）依次如下：，则这组数据的分位数为（）A.8B.9C.9.5D.102.在中，角所对的边分别为，已知，则（）A.B.C.D.3.已知等差数列的公差为是与的等比中项，则（）A.B.C.D.4.考古发现在金字塔内有一组神秘的数字“142857”，我们把它和自然数1到6依次相乘，得，，结果是同样的数字，只是调换了位置.若将这组神秘数字“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为（）A.24B.36C.72D.1445.已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积是（）A.B.C.D.6.已知椭圆的左右焦点分别为，过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若线段的中点在轴上，的面积为，则的方程为（）A.B.C.D.7.若，则（）A.B.C.D.8.在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线的左右两支分别交于两点，是线段的中点，是轴上一点，且，则的离心率为（）A.B.C.2D.3二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知二项式，则（）A.展开式中的系数为45B.展开式中二项式系数最大的项是第5项C.展开式中各项系数之和为1D.展开式中系数最大的项是第5项或第7项10.已知虚数满足，则下列结论正确的是（）A.B.C.的虚部为D.11.如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（）A.三棱锥的体积为B.线段的长为C.点的轨迹长为D.的最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第1问2分，第2问3分.12.若集合，则__________.13.已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是__________.14.某儿童游乐场有一台打地鼠游戏机，共有9个洞.游戏开始后，每次有且仅有一只地鼠从某洞中冒出，地鼠第1次从1号洞冒出来.假设游戏过程中地鼠从上一个洞继续冒出的概率为，从其它洞冒出的可能性相等，则地鼠第3次从1号洞冒出的概率是__________.假设游戏结束时，地鼠一共冒出次，则地鼠从1号洞冒出的次数期望值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过实验测得轿车行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，如下表所示：行驶里程万0.00.41.01.62.42.83.44.4轮胎凹槽深度8.07.87.26.25.64.84.44.0（1）求该品牌轮胎凹槽深度与行驶里程的相关系数，并判断二者之间是否具有很强的线性相关性；（结果保留两位有效数字）（2）根据我国国家标准规定：轿车轮胎凹槽安全深度为（当凹槽深度低于时刹车距离增大，驾驶风险增加，必须更换新轮胎）.某人在保养汽车时将小轿车的轮胎全部更换成了该品牌的新轮胎，请问在正常行驶情况下，更换新轮胎后继续行驶约多少公里需对轮胎再次更换？附：变量与的样本相关系数；对于一组数据，，其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，16.（本小题满分15分）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，为等边三角形.（1）证明：；（2）若二面角的大小为，求二面角的正弦值.17.（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为是上第一象限内的动点.当直线的倾斜角为时，.（1）求的方程；（2）已知点是上不同两点.若四边形是平行四边形，证明：直线过定点.18.（本小题满分17分）己知函数，且.（1）讨论的单调性；（2）若方程有三个不同的实数解，求的取值范围.19.（本小题满分17分）已知数列共有项，且，若满足，则称为“约束数列”.记“约束数列”的所有项的和为.（1）当时，写出所有满足的“约束数列”；（2）当时，设“约束数列”为等差数列.请判断是的什么条件，并说明理由；（3）当时，求的最大值.九江市2024年第三次高考模拟统一考试数学试题参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C解：8名同学成绩数据由小到大重新排列为：是整数，分位数是第6位数和第7位数的平均数，即.故选C.2.B解：由正弦定理，得，，又，故选B.3.A解：由，得，化简得，故选A.4.D解：由条件，得.故选D.5.A解：设圆锥底面圆半径为，母线为，高为.由题意得解得，该圆锥的体积是.故选A.6.D解：如图，为线段的中点，为线段的中点，，又轴，轴.设，则的面积为，，的方程为，故选D.7.C解：令，得，即，即，故选C.8.B解：是线段的中点，.又，即.设，则.过作轴的垂线，垂足为，则，.易知，故选B.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.AD解：，当时，，系数为正确；由组合数性质可知，中间项系数最大，展开式中二项式系数最大的项是第6项，B错误；令，得展开式中各项系数之和为错误；当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数，当或时，系数最大，正确.故选AD.10.ABD解：由，得正确；由，得，B正确；设，则解得的虚部为或错误.又，D正确.故选ABD.11.ACD解：在正方体中，平面，平面平面，且两平面间的距离为，又的面积三棱锥的体积A正确；设的中心为，则，B错误；如图，由知，，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，由三段劣弧构成，其长度为圆周长的一半C正确；为在方向上的投影，由图可知，当位于点或的位置时，最小，此时取得最大值，如图所示，建立空间直角坐标系，则，，D正确.故选ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第1问2分，第2问3分.12.解：.又或，故.13.解：令，问题转化为函数在区间上有且仅有三个零点，，解得.14.；解：令表示地鼠第次从1号洞冒出的概率，则.当地鼠第2次从1号洞冒出时，第3次从1号洞冒出的概率为；当地鼠第2次没有从1号洞冒出时，第3次从1号洞冒出的概率为.同理可得：，是以为首项，为公比的等比数列，.游戏结束时，地鼠一共冒出次，则地鼠从1号洞冒出的次数期望值为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）解：（1）计算得由公式知，二者之间具有很强的线性关系.（2）设轮胎凹槽深度与行驶里程的线性回归方程为，则线性回归方程为令，得即更换新轮胎后继续行驶约6.4万公里需要对轮胎再次更换.16.（本小题满分15分）解：（1）取的中点，连接线段为等边三角形，又平面平面又平面（2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系不妨设，则，由（1）知为二面角的平面角，即故设平面的法向量为，妨取，得设平面的法向量为不妨取，得.设二面角的平面角为，则，即二面角的正弦值为17.（本小题满分15分）解：（1）过点作轴的垂线，垂足为，作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义，得直线的倾斜角为，又，故的方程为（2）设直线方程为.联立方程组消去整理得设，则四边形是平行四边形，，，即代入中，得，即故直线过定点18.（本小题满分17分）解：（1）解法一：令，则在上单调递增.又当时，，即；当时，，即在上单调递减，在上单调递增.解法二：①当时，由得，由得在上单调递减，在上单调递增②当时，同理可得在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递减，在上单调递增（2）解法一：由，得，易得令，则又为偶函数，由（1）知在上单调递增，，即有三个不同的实数解.令，由，得由，得，在上单调递增，在上单调递减，且在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当时，；当时，，故解得或，故的取值范围是解法二：由得，易得令，则在上单调递减，在上单调递增.由，得或两边同时取以为底的对数，得或，，即有三个不同的实数解下同解法一.19.（本小题满分17分）解：（1）