湖北省恩施州2022年中考数学试题真题（含答案+解析）

湖北省恩施州2022年中考数学试卷

一、单选题

1.（2022•恩施）8的相反数是（）

1

A.-8B.8D.

C58

【答案】A

【知识点】相反数及有理数的相反数

【解析】【解答】解：8的相反数是一8.

故答案为：A.

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答.

2.（2022•恩施）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意.

故答案为：B.

【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中

心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合,

那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案

3.（2022•恩施）函数y=在耳的自变量x的取值范围是（）

A.x#：3B.x>3

C.%>—1且%H3D.x之一1

【答案】C

【知识点】函数自变量的取值范围

【解析】【解答】解：•.♦空有意义,

x+1>0,x—3羊0,

解得x>一1且久丰3.

故答案为：C.

【分析】根据分式的分母不能为0及二次根式的被开方数不能为负数，可得x+lK）且x-3#）,求解即

可.

4.（2022・恩施）下图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面

上的字是（）

振

恩施乡村

兴

A.“恩”B.“乡”C.“村”D.“兴”

【答案】D

【知识点】几何体的展开图

【解析】【解答】解：由正方体的平面展开图的特点得：“恩”字与“乡”字在相对面上，“施”字与“村”字

在相对面上，“振”字与“兴”字在相对面上.

故答案为：D.

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.

5.（2022•恩施）下列运算正确的是（）

A.a2-a3=a6B.a34-a2=1C.a3—a2=aD.（a3）2=a6

【答案】D

【知识点】同底数幕的乘法；同底数幕的除法；同类项；累的乘方

【解析】【解答】解：A、a2-a3=a5,则此项错误，不符题意；

B、a3^a2=a,则此项错误，不符题意；

C、与a2不是同类项，不可合并，则此项错误，不符题意；

D、（aS）?=a，，则此工贝正确，符合题意.

故答案为：D.

【分析】同底数累相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；同底数基相除，底数不变，指数相减,

据此判断B；同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序

及系数没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类

项的不能合并，据此可判断C；暴的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.

6.(2022•恩施)为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下

表所Z5：

月用水量(吨)3456

户数4682

关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是()

A.众数是5B.平均数是7C.中位数是5D.方差是1

【答案】A

【知识点】方差；分析数据的集中趋势

【解析】【解答】解：5吨出现的次数最多，故这组数据的众数是5,故A选项正确；

4++6X2

这组数据的平均数为：-l^toS=4.4(吨)，故B选项不正确；

这组数据共有20个，故把这组数据从小到大排列后，第10个和第11个数据的平均数为这组数据的

中位数，第1()个数据为4,第11个数据为5,故这组数据的中位数为：竽=4.5,故C选项不正确；

2222

这组数据的方差为：(3—4.4)x4+(4—4.4)x6+(5—4.4)x8+(6—4.4)x2_故D选项不正确.

4+6+84-2-us

故答案为：A.

【分析】找出出现次数最多的数据即为众数；利用用水量乘以对应的户数，然后除以总户数可得平均

数；把这组数据从小到大排列，求出第10、11个数据的平均数即为中位数；各个数据与平均数差的

平方和的平均数就是这组数据的方差，据此可求出方差，进而一一判断得出答案.

7.(2022•恩施)已知直线AII12,将含30。角的直角三角板按图所示摆放.若N1=120%则42=()

h

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】D

【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；对顶角及其性质

【解析】【解答】解：如图，

1

,2

根据题意得：Z5=30°,

VZi||Z2,

AZ3=Z1=12O°,

JZ4=Z3=120°,

VZ2=Z4+Z5,

/.Z2=120°+30°=150°.

故答案为：D.

【分析】对图形进行角标注，根据平行线的性质可得N3=N1=12O。，根据对顶角的性质可得

Z4=Z3=120°,由外角的性质可得N2=N4+N5,据此计算.

8.(2022•恩施)一艘轮船在静水中的速度为30km/h,它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用

时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为vkm/h,则符合题意的方程是()

A14496R144_96

30+v-30^50^=万

「14496D144_96

30^-30+v--30+v

【答案】A

【知识点】分式方程的实际应用

【解析】【解答】解：由题意得：轮船的顺流速度为(30+u)km/h,逆流速度为(30-u)/nn/h,

则可列方程为建=患・

故答案为：A.

【分析】由题意得：轮船的顺流速度为(30+v)km/h,逆流速度为(30-v)km/h,则沿江顺流航行144km

所用的时间为*小时，逆流航行96km所用时间为孝-小时，然后根据时间相同就可列出方程.

3U+u30—v

9.(2022・恩施)如图，在矩形ABCD中，连接BD,分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，

两弧交于P、Q两点，作直线PQ,分别与AD、BC交于点M、N,连接BM、DN.若力。=4,AB=2.则

四边形MBND的周长为()

【答案】C

【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质

【解析】【解答】解：••・四边形ABCD是矩形，

NA=90°,AD||BC，

乙MDB=乙NBD,

由作图过程可知，PQ垂直平分BD,

；.BM=DM,BN=DN,

/.MDB=/LMBD,乙NBD=乙NDB，

Z.MBD=乙NDB,

BM||DN,

•••四边形MBND是平行四边形，

又•••BM=DM,

••・平行四边形MBND是菱形，

设BM=DM=x(x>0),则AM=AD-DM=4-x,

在RtAABM中，AB2+AM2=BM2,即2?+(4—彳猿=/,

解得x=

则四边形MBND的周长为4BM=4久=4X今=10

故答案为：C.

【分析】根据矩形的性质可得NA=90。，AD〃BC,根据平行线的性质可得NMDB=NNBD,由作图

过程可知：PQ垂直平分BD,则BM=DM,BN=DN,根据等腰三角形的性质可得/MDB=NMBD,

ZNBD=ZNDB,推出BM〃DN,结合BM=DM可得四边形MBND是菱形，设BM=DM=x,则

AM=AD-DM=4-x,利用勾股定理可得x,进而不难求出四边形MBND的周长.

10.（2022•恩施）图1是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A的压强P（单位：

cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为「=/^+「°,其图象如图2所示，其中P。为

青海湖水面大气压强，k为常数且kHO.根据图中信息分析（结果保留一位小数），下列结论正确的是

()

青海湖最深处某一截面图

图1

A.青海湖水深16.4m处的压强为188.6cmHg

B.青海湖水面大气压强为76.0cmHg

C.函数解析式P=kh+P。中自变量h的取值范围是九＞0

D.P与h的函数解析式为P=9,8x105/i+76

【答案】A

【知识点】一次函数的实际应用

【解析】【解答】解：将点（0,68）,（32.8,309.2）代入P=/£八+「（）

Hn（309.2=32.8k+P（）

叫68=Po

解得猿有

P=7.354h+68,

A、当h=16.4时，P=188.6,故A选项正确；

B、当/1=0时一，Po=68,则青海湖水面大气压强为68.0cmHg,故B选项不正确；

C、函数解析式P=kh+Po中自变量h的取值范围是0W/IW32.8,故C选项不正确；

D、P与h的函数解析式为P=7.354九+68,故D选项不正确.

故答案为：A.

【分析】将（0,68）、（32.8,309.2）代入P=kh+Po中可得k、Po的值，据此可得函数关系式，令h=16.4,

求出P的值，据此判断A；令h=0,求出P的值，据此判断B；根据图象可得自变量h的范围，据此

判断C；根据求出的函数解析式可判断D.

11.（2022•恩施）如图，在四边形ABCD中，ZA=ZB=90°,AD=10cm,BC=8cm,点P从点D出发，

以Icm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到

达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t（单位：s）,下列结论正确的是（）

A-PD

BMfC

A.当t=4s时，四边形ABMP为矩形

B.当t=5s时，四边形CDPM为平行四边形

C.当CD=PM时，t=4s

D.当CD=PM时，t=4s或6s

【答案】D

【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；四边形-动点问

题

【解析】【解答】解：由题意得PD=t,AP=AD-PD=10-t,BM=t,CM=8-t,NA=NB=90。，

A、当t=4s时，AP=10-t=6cm,BM=4cm,AP^BM,则四边形ABMP不是矩形，该选项不符合题意；

B、当t=5s时，PD=5cm,CM=8-5=3cm,PD/CM,则四边形CDPM不是平行四边形，该选项不符

合题意；

作CE1AD于点E,则NCEA=NA=NB=90。，

A_________________ED

...四边形ABCE是矩形,

BC=AE=8cm,

/.DE=2cm,

PM二CD,且PQ与CD不平行，作MFJ_AD于点F,CE_LAD于点E,

BMC

二四边形CEFM是矩形，

，FM=CE；

/.RtAPFM^RtADEC(HL),

；.PF=DE=2,EF=CM=8-t,

/.AP=10-4-(8-t)=10-t,

解得t=6s；

PM=CD,且PM〃CD,

，四边形CDPM是平行四边形，

，DP=CM,

/.t=8-t,

解得t=4s；

综上，当PM=CD时，t=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意；

故答案为：D.

【分析】易得PD=t,AP=10-t,BM=t,CM=8-t,ZA=ZB=90°,当t=4s时，AP用M,由矩形的判定

定理可判断A；当t=5s时，PD/CM,由平行四边形判定定理判断B；作CEJ_AD于点E,则四边形

ABCE是矩形，BC=AE=8cm,DE=2cm,PM=CD,且PQ与CD不平行，作MF±AD于点F,CE1AD

于点E,则四边形CEFM是矩形，得到FM=CE,证明RtAPFM^RtADEC,得至！］PF=DE=2,EF=CM=8-t,

则AP=10-t,求解可得t的值；易得四边形CDPM是平行四边形，则DP=CM,代入求解可得t的值，

据此判断C、D.

12.（2022•恩施）已知抛物线y=4/一匕工+c,当久=1时，y<0；当％=2时，y<0.下列判断：

①庐〉2c;②若c>1,则b>,；③已知点^）,F（m2,电）在抛物线y=*/—bx+c上，

当12Vb时，ni>n2；④若方程一bx+c=0的两实数根为，x2,则修+X2>3.

其中正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=axA2+bx+c

的性质

【解析】【解答】解：.北二*。，开口向上，且当％=1时，y<0；当％=2时，y<0,

；・抛物线y=—bx+c与x轴有两个不同的交点，

:b2-4ac=62—2c>0,

:4>2c;故①正确；

•.•当％=1时，y<0,

.,..l-b+c<0,即b>i+c,

Vc>l,

.,.b>|,故②正确；

抛物线y=\x2-bx+c的对称轴为直线x=b,且开口向上，

当x<b时，y的值随x的增加反而减少，

.,.当mi<m2Vb时，3>兀2；故③正确；

•方程。久+c=0的两实数根为Xl,X2,

/.xi+x2=2b,

•.,当C>1时，b>|,

...则XI+X2>3,但当c<l时，则b未必大于5，则XI+X2>3的结论不成立，

故④不正确；

综上，正确的有①②③，共3个.

故答案为：C.

【分析】根据二次函数的解析式可得：其图象开口向上，根据图象与x轴有两个不同的交点可得△>(),

据此判断①；根据x=l时，y<0可得b>尹c,结合c的范围可得b的范围，据此判断②；根据对称

轴以及开口方向确定出函数的增减性，据此判断③；根据根与系数的关系可得Xl+X2=2b,根据当c>l

时，b>|可得XI+X2>3,当C<1时，则b未必大于会据此判断④.

二、填空题

13.(2019八上•岐山期中)9的算术平方根是.

【答案】3

【知识点】算术平方根

【解析】【解答】解：V3M,

.••9算术平方根为3.

故答案为：3.

【分析】如果一个非负数x的平方等于a,那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果.

14.(2021八上•乌兰察布期末)因式分解：x3-6x2+9x=.

【答案】x(x-3)2

【知识点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析1【解答】解：%3—6x2+9x=x(x2—6x+9)=x(x—3)2

故答案为：x(x-3)2.

【分析】利用提取公因式法解答即可。

15.(2022•恩施)如图，在RSABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,。。为RsABC的内切圆，则图

中阴影部分的面积为(结果保留兀).

【答案】?当

【知识点】正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算；切线长定理；几何图形的面

积计算-割补法

【解析】【解答】解：设切点分别为D、E、F,连接OD、OE、OF,

VOO为RtAABC的内切圆，

，AE=AF、BD=BF、CD=CE,OD±BC,OE±AC,

VZC=90°,

・・・四边形CDOE为正方形，

・・・ZEOF+ZFOD=360°-90°=270°,

设。O的半径为x,则CD=CE=x,AE=AF=4-x,BD=BF=3-x,

，4-x+3-x=5,

解得X=l,

S阴影=SAABC-（S扇形EOF+S扇形DOF）-S正方形CDOE

=jix3x4-2707rx12__1x[x1

23602

_113」

故答案为：芋一竽.

【分析】设切点分别为D、E、F,连接OD、OE、OF,根据题意可得AE=AF、BD=BF、CD=CE,

OD1BC,OE1AC,推出四边形CDOE为正方形，得到/EOF+/FOD=270。，设。O的半径为x,

则CD=CE=x,AE=AF=4-x,BD=BF=3-x,根据AF+BF=AB=5可得x的值，然后根据S阴影=SAABC-（S

凰形EOF+S扇形DOF）・S正方形CDOE进行计算.

16.（2022•恩施）观察下列一组数：2,黑,…，它们按一定规律排列，第n个数记为an,且满足白+；=

27几Qn+2

2

a~7•贝心4=________，«2022=_________-

un+l

【知识点】探索数与式的规律

12111

解+=

-而

而an+2Qn+1a1an+2an+

n+X

1l1113

=--=2-

122

«2al22,

3

-

22

a4a37

113113113

--------—------------------—----------...--------3^3—

a2022a20212'«2021020202，a2al2

11

把上述2022/个式子相加得应一可=

・c1

*,a2022-3032,

故答案为：!，可打

1111111111

【分析】根据已知条件可得六一-六=/-—广,据此可得G-十....A——三二，

an+lanan+2an+la2ala4a3a2022a2021

11

将各个等式相加即可得到六一-3•的值，进而可得a2022.

a2022al

三、解答题

17.（2022•恩施）先化简，再求值：4+七1-1,其中％=百.

X乙X

【答案】解：原式=剑季二口•言一1

%+1

=-------------1

X

x+1—x

一X

=—♦

x

当％=百时，原式=3=苧.

【知识点】利用分式运算化简求值

【解析】【分析】对第一个分式的分子利用平方差公式进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分，

接下来通分计算异分母分式的减法即可对原式进行化简，最后将x的值代入计算即可.

18.（2022•恩施）如图，已知四边形ABCD是正方形,G为线段AD上任意一点，CE1BG于点E,DF1CE

于点F.求证：DF=BE+EF.

【答案】证明：・.•四边形ABCD是正方形,

・・・BC=CD,(BCD=90°,

・・・乙BCE+Z.DCF=90°,

・・・CE1BG,DF1CE,

・・・乙BEC=乙CFD=90°,

・・・乙BCE+Z.CBE=90°,

・•.Z.CBE=乙DCF,

(Z.BEC=乙CFD=90°

在ABCE和ACDF中，］Z.CBE=Z.DCF,

(BC=CD

BCE=△CDF(AAS),

BE=CF,CE=DF,

CE=CF+EF=BE+EF,

.・.DF=BE+EF.

【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定(AAS)

【解析X分析】根据正方形的性质可得BC=CD,/BCD=90。,根据垂直的概念可得NBEC=/CFD=90。,

根据同角的余角相等可得/CBE=NDCF,利用AAS证明△BCEgACDF,得至BE=CF,CE=DF,则

CE=CF+EF=BE+EF,据此证明.

19.(2022・恩施)2022年4月29日，湖北日报联合夏风教室发起“劳动最光荣，加油好少年''主题活动。

某校学生积极参与本次主题活动，为了解该校学生参与本次主题活动的情况，随机抽取该校部分学生

进行调查.根据调查结果绘制如下不完整的统计图。请结合图中信息解答下列问题：

A人数

(1)本次共调查了名学生，并补全条形统计图.

(2)若该校共有1200名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生约有多少名?

(3)现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受.

请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率.

【答案】(1)解：200；

条形统计图，

（2）解：1200工患=300,

即本次活动中该校"洗衣服''的学生约有300名;

（3）解：画出树状图为：

共有12种等可能的结果，其中抽取的两人恰好为甲和乙的结果有2种，

则抽取的两人恰好是甲和乙的概率为：务=*

【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法

【解析】【解答］解：（1）本次调查的学生总人数为：40+20%=200；

扫地的学生人数为：200-40-50-20-30=60,

条形统计图如图：

【分析】（1）利用做饭的人数除以所占的比例可得总人数，然后根据各组人数之和等于总人数求出扫

地的人数，据此可补全条形统计图；

（2）利用样本中洗衣服的人数除以总人数，然后乘以1200即可；

（3）此题是抽取不放回类型，画出树状图，找出总情况数以及抽取的两人恰好为甲和乙的情况数，

然后根据概率公式进行计算.

20.（2022•恩施）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣.某活动小

组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60。，他们向南走50m

到达D点，测得古亭B位于北偏东45。，求古亭与古柳之间的距离AB的长（参考数据：V2«1.41.

V3«1.73,结果精确到1m）.

【答案】解：如图，过点B作AD的垂直，交ZM延长线于点C,

由题意得：AD=50m,ABAC=60°,zD=45°,

设ZC=xm,贝ICO=AC+AD=(x+50)m,

在RtZiBCO中，BC=CD-tanD=(x+50)m,

在△中，

RtABCBC=AC-tan/BAC=V3xm>AB——cosZ.噎BA7C=2xm,

则X+50=V3x,

解得x=25V3+25.

则AB=2x=50V3+50«137(m),

答：古亭与古柳之间的距离4B的长约为137m.

【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析X分析】过点B作AD的垂线，交DA延长线于点C,由题意得:AD=50m,ZBAC=60°,ND=45。，

设AC=xm,贝ijCD=(x+5())m,根据三角函数的概念可得BC、AB,据此可得x的值，进而可得AB.

21.(2022・恩施)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知NACB=90。，A(0,2),C(6,

2).D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且SAABC=3SAADC.反比例函数yi=](k#))的图象经

过点D.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若AB所在直线解析式为V2=ax+b(a力0),当为＞当时，求x的取值范围.

【答案】(1)解：：A(0,2),C(6,2),

・・・AG6,

VAABC是等腰直角三角形，

AAC=BC=6,

VSAABC=3SAADC,

・・・BC=3DC,

ADC=2,

AD(6,4),

,/反比例函数y产［(k#))的图象经过点D,

.•.k=6x4=24,

...反比例函数的解析式为y尸学；

(2)解：VC(6,2),BC=6,

AB(6,8),

把点B、A的坐标分别代入y2="+b中，得y：2”，

解得：［；=］,

3=2

...直线AB的解析式为%=%+2,

解方程x+2咚，

整理得：x2+2x-24=0,

解得：x=4或x=-6,

直线y2=x+2与反比例函数》专的图象的交点为(4,6)和(-6,-4),

,当当>当时，0<x<4或x<-6.

【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题：三角形的面积；等腰直

角三角形

【解析】【分析】(1)根据点A、C的坐标可得AC=6,根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC=6,

由已知条件可知SAABC=3SAADC,则BC=3DC,DC=2,据此可得点D的坐标，然后代入yi=］中求出k

的值，进而可得反比例函数的解析式；

(2)根据BC的值结合点C的坐标可得点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，联立

反比例函数解析式求出x、y,可得交点坐标，然后结合图象，找出反比例函数图象在直线AB上方部

分所对应的x的范围即可.

22.（2022•恩施）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动.已知租用

一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元.甲型客车

每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生.

（1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？

（2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？

【答案】（1）解：设甲种客车每辆x元，乙种客车每辆y元，依题意知，

（x+y=500蹄俎户=200

[2x+3y=1300'解付ly=300'

答：甲种客车每辆200元，乙种客车每辆300元；

（2）解：设租车费用为w元，租用甲种客车a辆，则乙种客车（8-a）辆，

15a+25（8-a）>150,

解得：aS5,

w=200a+300（8—a）———lOOcz+2400,

-100<0,

w随a的增大而减小，

•••a取整数，

・•.a最大为5,

a=5时，费用最低为一100X5+2400=1900（元），

8-5=3（辆）.

答：租用甲种客车5辆，乙种客车3辆，租车费用最低为1900元.

【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题

【解析】【分析】（1）设甲种客车每辆x元，乙种客车每辆y元，根据租用一辆甲型客车和一辆乙型

客车共需500元可得x+y=500；根据租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元可得2x+3y=1300,

联立求解即可；

（2）设租车费用为w元，租用甲种客车a辆，则乙种客车（8-a）的辆，根据甲种客车辆数x乘坐的人数

+乙种客车辆数x乘坐的人数之总人数可得关于a的不等式，求出a的范围，根据租车费用=甲种客车的

租金x辆数+乙种客车的租金x辆数可得w与a的关系式，然后结合一次函数的性质进行解答.

23.（2022・恩施）如图，P为。0外一点，PA、PB为。0的切线，切点分别为A、B,直线P0交。0

于点D、E,交AB于点C.

A

D

(1)求证：ZADE=ZPAE.

(2)若NADE=30°,求证：AE=PE.

(3)若PE=4,CD=6,求CE的长.

【答案】(1)证明：连接OA,

•；PA为（DO的切线，

.-.OA1PA,即NOAP=90°,

.•.ZOAE+ZPAE=90°,

「DE为。O的直径，

二/DAE=90°,即ZOAE+ZDAO=90°,

/.ZDAO=ZPAE,

VOA=OD,

AONADE,

，/ADE=/PAE；

（2）证明：VZADE=30°,

由（1）得NADE=NPAE=30。，ZAED=90°-ZADE=60°,

ZAPE=ZAED-ZPAE=30°,

/.ZAPE=ZPAE=30。，

；.AE=PE；

（3）解：YPA、PB为。。的切线，切点分别为A、B,直线PO交AB于点C.

AABIPD,

VZDAE=90°,ZOAP=90°,

.\ZDAC+ZCAE=90o,NOAC+NPAG90。，

VZDAC+ZD=90°,N0AC+NA0O90。，

AZCAE=ZD,ZPAC=ZAOC,

/.RtAEAC^RtAADC,RtAOAC^RtAAPC,

AAC2=DCxCE,AC2=OCxPC,

即DCxCE=OCxPC,

设CE=x,则DE=6+x,OE=3+*,OC=3+*-x=3-*,PC=4+x,

；.6x=(3-*)(4+x),

整理得：x2+10x-24=0,

解得：x=2(负值已舍).

ACE的长为2.

【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】(1)连接0A,根据切线的性质得/OAP=90。，由圆周角定理得/DAE=90。，根据同

角的余角相等得NDAO=/PAE,由等腰三角形的性质得/DAO=NADE,据此可得结论；

(2)由(1)得/ADE=/PAE=30°,则NAED=90°-/ADE=60°,NAPE=/AED-/PAE=30°,则

NAPE=NPAE=30。，据此证明；

(3)由切线的性质得ABJ_PD,由同角的余角相等得NCAE=ND,NPAC=NAOC,证明

RtAEACSRSADC,RtAOAC^RtAAPC,根据相似三角形的性质可得DCxCE=OCxPC,设CE=x,

则DE=6+x,OE=3+%OC=3今PC=4+x,代入求解可得x的值.

24.(2022•恩施)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-/+c与y轴交于点P(0,4).

(1)直接写出抛物线的解析式.

(2)如图，将抛物线y=-/+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q,平移后的

抛物线与X轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C.判断以B、C、Q三点为顶点

的三角形是否为直角三角形，并说明理由.

(3)直线BC与抛物线y=-%2+c交于M、N两点(点N在点M的右侧)，请探究在x轴上是否

存在点T,使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不

存在，请说明理由.

(4)若将抛物线y=-/+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点

时，请直接写出抛物线y=-x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标.

【答案】(1)解：•.•抛物线y=—/+c与y轴交于点P(0,4)

.♦.C=4

二抛物线解析式为y=-x2+4

(2)解：以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：

y=-x2+4的顶点坐标为P(0,4)

依题意得，(2(-1,4)

••・平移后的抛物线解析式为y=-(%+1)2+4

令y=0,解一(x++4=0

得小=-3,x2=1

：.4(1,0),B(-3,0)

令％=0,则y=3,即C(0,3)

BC2=32+32=18,CQ2=12+12=2,QB2=(-3+I)2+42=20

BC2+CQ2=QB2

••・以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形

(3)解：存在，7(组0)或丁(士充，0).理由如下，

0),C(0,3),

•••OB=OC=3

••.△OBC是等腰直角三角形

设直线BC的解析式为y=kx+b,

则°,

解得｛图

二直线8C的解析式为y=x+3,

y=%+3

联立

y=­x2+4

(-1+V5-1-75

X2=—?—

解得

I5+V55-V5

5=〒.力=丁

-1+755+V5

'(2'-2~)

0),B(-3,0),C(0,3).aOBC是等腰直角三角形

•••AB=4,BC=V20F=3V2

设直线AC的解析式为y=mx+n,

+n=0

rn=3

.cm=-3

tn=3

直线AC的解析式为y=-3%4-3

设NT的解析式为y=-3%+3由NT过点N（弓正，当务

则竽=—3（二匹）+t

解得t=2遥+1

•••NT的解析式为y=—3x+2V5+1,

令y=0

解得％=驾虫

275+1

•••7（——，°）