立体几何练习题(含答案)

立几测001试A.2成B.-RC.-RD.—

4323

一、选择题：7.直线/_L平面a,直线mu平面B,有下列四个命题

1.a、b是两条异面直线，下列结论正确的是（（Da〃/=/_Lm⑵a_L£=/〃”？⑶/〃

A.过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行（4）/±m=>a///?其中正确的命题是（）

B.过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都相交A.（1）与（2）B.⑵与⑷C.（1）与（3）D.（3）与（4）

C.过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行8.正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为a,则下列不等式成

D.过a可以且只可以作一个平面与b平行立的是（）

Ac4口47T小冗冗7171

A.0<a<-B.—<a<—0.—<a<—D.—<a<—

空间不共线的四点，可以确定平面的个数为6644332

A,.0B.1c.1或4D.无法确定9.AA6C中，A6=9,AC=15,NA4C=120°,A45c所在平面a外

一点尸到点A、B、。的距离都是14,则P到平面a的距离为（）

3.在正方体A5CO—4片£2中，M、N分别为棱8⑸的中点，则

A.7B.9C.11D.13

异面直线CM和RN所成角的正弦值为（）

10.在一个45°的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45°,则此

直线与二面角的另一个平面所成角的大小为)

12c4亚2#）

A.-B.-C.----D.----A.30°B.45°C.60°D.90°

939911.如图，E,F分别是正方形SDQDz的边DRDDz的中点，

沿SE.SF.EF将其折成一个几何体，使D,.D.D?重合,记作

4.已知平面a平面〃，机是a内的一直线，〃是夕内的一直线，且mln,

D.给出下列位置关系:①SDL面DEF;②SEL面DEF;

③DFLSE;④EFJ_面SED,其中成立的有：（）

则：①血_1,夕；②”J_a；③〃z_L/?或"_La；④机_L/?且"_La。这四个

A.①与②B.①与③C.②与③D.③与④

结论中，不乏碗的三个是（）12.某地球仪的北纬60度圈的周长为6^-cm,则地球仪的表面积为（

22

A.①②③B.①②④C.①©©D.（gX§）@A.24%cm'B.4871cmC.144%cm'D.2887tcm

5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

数是（）13.直二面角<>一MN—B中，等腰直角三角形ABC的斜边BC

A.4B.5C.6D.8a,一直角边ACuB,BC与B所成角的正弦值是在，

6.在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90。，则甲、乙两地最4

短距离为（设地球半径为R）（）AB与B所成角大小为。

14.如图在底面边长为2的正三棱锥V—ABC中，E是18.(本小题满分12分)

BC中点，若4VAE的面积是则侧棱VA与底面所如图，在矩形中，AB=3瓜BC=M，沿对角线8。将ABC。

4

成角的大小为折起，使点C移到尸点，且P在平面ABD上的射影。恰好在AB上。

(1)求证：P8J.面尸40；

15.如图，已知矩形A8C。中，AB=1,BC=a,(2)求点A到平面P8O的距离；

PA_1_面ABC。。(3)求直线A3与平面P8O的成角的大小

若在BC上只有一个点。满足PQVQD,则a的值等于.

16.六棱锥P—ABCDEF中，底面ABCDEF是正六边形，PA_L底面

ABCDEF,给出下列四个命题

①线段PC的长是点P到线段CD的距离；

②异面直线PB与EF所成角是/PBC；

③线段AD的长是直线CD与平面PAF的距离；

如图，已知PA_L面ABC,AOJ_BC,垂足。在BC的延长线上,且

④NPEA是二面角P—DE—A平面角。

其中所有真命题的序号是。BC=CD=DA=1

(1)记PD=x,N6PC=9,试把tan。表示成x的函数，并求其最大值.

P

三.解答题：(共74分，写出必要的解答过程)

(2)在直线PA上是否存在点Q,使得ZBQC>ABAC

17.(本小题满分10分)

如图，已知直棱柱4BC—%耳G中，

NACB=90。，ABAC=30°,BC=1,

AA,=V6,M是CG的中点。

求证：AB,±AtM

22.（本小题满分14分）

20.（本小题满分12分）已知ABG-ABC为直三棱柱，D为AC中点，。为BC中点，E在CC,上,

ZACB=90°,AC=BC=CE=2,AA,=6.

正三棱锥V-ABC的底面边长是a,侧面与底面成60°的二面角。

（1）证明平面BDE〃A0；

求（1）棱锥的侧棱长；（2）求二面角A-EB-D的大小；

（3）求三棱锥0-AAQ体积.

（2）侧棱与底面所成的角的正切值。

21.（本小题满分14分）

已知正三棱柱ABC-A|B|C|的底面边长为8,面的对角线B,C=10,D为AC

的中点，

（1）求证：AB1〃平面CBD;

（2）求异面直线AB,与BC,所成角的余弦值；

（3）求直线AB,到平面CBD的距离。

立测试

001—

ABy=(1,—y/3,—'/6)(A}M—(0,Vs,—

答案

福丽=0+3+(-布)x*=0n福，丽所以

选择题：（每题5分，共60分）

题号123456789101112

AB,1AM

答案DCCBDBCCAABCt

填空题：（每题4分共16分）18.解：（1）;P在平面AB。上的射影。在AB上，.•.尸。，面ABD。

故斜线BP在平面ABD上的射影为AB。

13.60°14.arctan—

—4―又•••DAJ.A3,DALBP,又8CJ.CO,BP±PD

15.216.①④vADC\PD=DnBP_L面PAO

三.解答题：（共74分，写出必要的解答过程）（2）过A作AE_LP£>,交PD于E。

•.•575，面;34。，.・.8/5,4后，；.4后_1面6/5。故AE的长就是点A到

17.（10分）解：【法一】NACB=90°=>BC，AG，又三棱柱ABC-A4G

平面BPD的距离

是直三棱柱，vAD1AB,DA1BC=4。_1面48尸：.AD±AP

所以WGJ■面AC,连结4。，则AG是A用在面A|C上的射影在RfAABP中,AP=y/AB2-BP2=372；

AA_AGn在RfABPD中,PD=CD=373

在四边形AAG。中，t=6，且ZAA£=NAGM

4GGM2

„_APAD3-\/2x3

在RtAPAD中,由面积关系，ITJAE—------------------尸一=J6

，

：.\AA,C}MG"AB]±A,MPD3V3

（3）连结BE,「AE，面BE是A6在平面BPO的射影

【法二】以G耳为x轴，G4为）'轴，G。为z轴建立空间直角坐标系

ZABE为直线A8与平面BPD所成的角

由8C=1,A4,=V6,NAC8=90。，NBAC=30。，&p石

在RMAEB中，sinZABE=——=—ZAB£=arcsin—

AB33

易得4（0,G,0）,4（0,6,布），M（0,0,当），^（1,0,0）

19.(1)面ABC,3£＞，AZ),..8CJ.P。，即NP08=9O°.

21

在Rt\PDB和Rt\PDC中，tanNBPD=-,tanZCPD=27a2y[2\a

xx在RtZXVAO中，VA=JW92+AO2

3126

2_j_

即侧棱长为叵a

Y

tan6=tanNBPC=tan(ZBPD-NCPD)=%一,==—(x>l)

1+2，426

XX

a

一^W—1=正，当且仅当X=J5时，tan6取到最大值也.VO73

（2）由（1）知/VAO即为侧棱与底面所成角，则tan/VAO二————2

x+22>/244AO73~T

一a

X3

(2)在Rt/SADB和Rt\DC中，tan/BAD=2,tanZCAD=1

21（12分）解：（1）连结BG交B,C于点E,则E为B,C的中点，并连结DE

2-11V2；D为AC中点ADEAB,

tanABAC=tan(ZBAD-ACAD)=------=-<—

1+2x134而DEu面BCD,ABicS面BC）D

；.AB,〃面C.BD

故在PA存在点。(如AQ=1)满足,<tanZBQCW也，使(2)由(1)知AB,〃DE,则ZDEB或其补角为异面直线AB,与BC,所成的角

34由条件知&C=10,BC=8则BB,=6

：E三棱柱中AB,=BC,.\DE=5

ZBQC>^BAC

又：BD=3X8=46

2

20.（12分）解：（1）过V点作VOL面ABC于点0,VELAB于点E

三棱锥V—ABC是正三棱锥。为△ABC的中心.•.在ABED中

e26V3在4旦=旦…、BE2+DE2-BD125+25-481

贝|]0A=—x——a=——a,cos/BED=----------------=-----------

3233262BD・DE2x5x525

又：侧面与底面成60°角AZVE0=60°故异面直线AB,与BC,所成角的余弦值为‘

25

则在RtZWEO中；VO=OE•tan60°=±ax73=-（3）由（1）知A到平面BGD的距离即为直线AB,到平面BGD的距离

62

设A到平面BC,D的距离为h,则由V^_fiC|D=VCi_Alil）得

I・〃=；・-GC即h=s『CG

J33&BC、D

=^BD:CtD

由正三棱柱性质得BDLGD则SMCQ

—BD•AD•CO,八八

:.h=2______________二4x6_24_12/

；8D・G。C'D7?+4275213

即直线AB,到平面的距离为应3

13

22.（14分）

证明：①设F为BE与B,C的交点，G为GE中点

VA0/7DF

：.A0〃平面BDE

41

②a=arctanVr2-arctan-——或arcsin1/3

2

③用体积法V=-X-?-X6Xh=1

32

立几测试002/L4i=AB,则该棱柱的体积为（）

A.473B.3A/3C.4D.V3

7.已知直线/，面a,直线〃?U面B,给出下列命题：

一、选择题（12X5分）

(1)«///?=>lA.m(2)a邛=>///，兀

1.已知直线a、b和平面M,则a//b的一个必要不充分条件是（）

A.a//M,b//MB.a±M,blM(3)////«=>cd./?(4)lljnnail。

C.a//M,buMD.a、b与平面M成等角其中正确的命题个数是()B

2.正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为A.1B.2C.3D.4

（）正三棱锥S-ABC的底面边长为a,侧棱长为b,那么经过底

边AC和BC的中点且平行于侧棱SC的截面EFGH的面积为（）

abD.工b

3.a,b是异面直线，A、BGa,C、DGb,AClb,BDlb,且AB=2,CD=1,A.abB.—

22

则。与b所成的角为（）

A.30°B.60°C.90°D.45°9.已知平面a、6、y,直线/、m，且/_L〃?,a-L=，〃,/口夕=/，

4.给出下面四个命题：给出下列四个结论：①/7_!_/；②/_La；③〃?_L尸；④〃_La.则其中正

①''直线a、6为异面直线”的充分非必要条件是：直线a、匕不相交；确的个数是（）

②“直线/垂直于平面a内所有直线”的充要条件是：平面a；A.0B.1C.2D.3

③“直线a，3'的充分非必要条件是“a垂直于％在平面a内的射影”；10.在正方体ABCD-AfiG"中，M是棱DA的中点，。是底面

④“直线。〃平面£”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面力内的4BCZ）的中心，P是棱4与上任意一点，则直线OP与支线AM所

一条直线”.成角的大小为（）

其中正确命题的个数是（）A.45°B.90°C.60°。.不能确定

A.1个B.2个C.3个D.4个11.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得点A到点

5.设八、L为两条直线，。、£为两个平面，给出下列四个命题：4’的位置，且AC=1,则折起后二面角A一。（7—B的大小为

（）

（1）若/iua/u广，乙〃£,则a〃£.（2）若hia,Z2±«.则1

〃/2（3）若/1〃。,h//l2,则，2〃a（4）若aj,£,haa,则/」£A.arctan—B.—C.ai-Ctan>/2D.—

其中，正确命题的个数是（）243

A.0个B.1个C.2个D.3个Ai-——

Br正方体—E、F分别是A4、Cg的中点，P是CG上

6.三棱柱ABC-AB|G中，侧面_L底面4BC,/

的动点（包括端点），过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P

直线4c与底面成60°角，AB=BC=CA=2,/'7

的轨迹是（）

A

B

C

A.线段GFB.线段CF(3)求平面A|B|CD与直线DE所成角的正弦值.

C.线段CF和一点GD.线段C,F和一点C

二、填空题(4X4分)18.在平行四边形ABCD中，AB=34AD=2日=90°,沿BD

13.矩形ABCD的对角线AC,BD成60°角，把矩形所在的平面以AC为折痕,

将其折成二面角A-BD-C,若折后ABLCD.

(1)求二面角A-8。—C的大小；

折成一个直二面角D—AC—B,连结BD,则BD与平面ABC所成角的正切

(2)求折后点C到面ABD的距离。

值为.

14.将棱长为1的正方体木块加工成•个体积最大的球，则这个球的体积

为,球的表面积为—7C—(不计损耗).

15.四面体ABCD中，有如下命题：19.在棱长AB=AD=2,AA，=3的长方体AC|中，点E是平面BCQB】上动点,

①若ACJ_BD,AB1CD,贝ADJ_BC；点F是CD的中点。

②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则NFEG的大小等于异面直线(1)试确定E的位置，使D|E_L平面ABF。

AC与BD所成角的大小；(2)求二面角B1-AF-B的大小。

③若点O是四面体ABCD外接球的球心,则O在面ABD上的射影是AABD

的外心

④若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体。

其中正确的是：o(填上所有正确命题的序号)

16.直三棱柱ABC—AiBCi的每一个顶点都在同一个球面上，若

AC=6,BC=CC]=1,

20.(本小题满分14分)如图，在正三棱柱同与G—ABC中，D、E分别是

ZACB=%,则A、C两点之间的球面距离为.棱BC、CG的中点，A8=AAt=2.

2(I)证明：BE1AB,；(H)求二面角的大小。

三、解答题(12+12+12+12+12+14分)

17.已知长方体AG中，棱AB=BC=1,棱BBI=2,连结B|C,

过B点作B|C的垂线交CG于E,交BC于F.

(1)求证AC_L平面EBD；

(2)求点A到平面A|BC的距离；

21.如图，在直三棱柱ABC-431G中，

6C=A4|=4,AC=3,ZACB=90°,D是人用的中点。

(1)在棱5名上求一点P,使CPJ_BD；

(2)在(1)的条件下，求DP与面6月G。所

成的角的大小。

22.如图，工棱锥P—ABC中，PB_L底面ABC于B,

ZBCA=90°,PB=BC=CA=4后，点E,点F

分别是PC,AP的中点.

(1)求证：侧面PAC_UM面PBC；

(2)求异面直线AE与BF所成的角；

(3)求二面角A—BE—F的平面角.

A

立几测试002答案则该棱柱的体积为(B)

A.4百B.3百C.4D.V3

7.已知直线/，面a,直线〃?u面6,给出下列命题：

一、选择题(12X5分)

(1)a///?=>/Ln(2)a11hn

1.已知直线a、b和平面M,则a//b的一个必要不充分条件是(D)邛=

A.a//M,b//MB.a±M,blM(3)////«=>aV/3(4)ILmna//0

C.a//M,buMD.a、b与平面M成等角其中正确的命题个数是(B)

2.正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为A.1B.2C.3D.4

(B)8.正三棱锥S-ABC的底面边长为a,侧棱长为b,那么经过底

边AC和BC的中点且平行于侧棱SC的截面EFGH的面积为(C)

,abah41,

3.a,b是异面直线，A、BGa,C、DGb,AClb,BDlb,且AB=2,CD=1,A.ubB.—C.—D.---ab

242

则。与b所成的角为(B)

A.30°B.60°C.90°D.45°9.已知平面a、6、y,直线/、m，且/_L〃?,a-L=，〃,/PlQ=/，

4.给出下面四个命题：给出下列四个结论：①/7_!_/；②/_La；③〃?_L尸；④〃_La.则其中正

①''直线a、6为异面直线”的充分非必要条件是：直线a、匕不相交；确的个数是(C)

②“直线/垂直于平面a内所有直线”的充要条件是：平面a；A.0B.1C.2D.3

③“直线a，3'的充分非必要条件是“a垂直于％在平面a内的射影”；10.在正方体ABC。-AfiGU中，M是棱DA的中点，。是底面

④“直线。〃平面£”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面力内的

ABCD

一条直线”.的中心，P是棱A以上任意一点，则直线OP与支线AM所成

其中正确命题的个数是(B)角

A.1个B.2个C.3个D.4个的大小为(B)

5.设八、L为两条直线，。、£为两个平面，给出下列四个命题：AA5°B.90°C.60°。.不能确定

11.将边长为1的正方形ABC。沿对角线BC折起，使得点A到点

(1)若/iua/u广，乙〃£,则a〃£.(2)若hia,Z2±«.则1

4’的位置，且4.C=1,则折起后二面角A'-DC-B的大小为(C)

〃/2(3)若/1〃。,h//l2,则，2〃a(4)若aj,£,haa,则/」£

其中，正确命题的个数是(B)A.arctan—B.—C.arctanA/2D.—

A.0个B.1个C.2个D.3个Ai-——B,243

6.三棱柱ABC-AB|G中，侧面_L底面4BC,/

直线4c与底面成60°角，AB=BC=CA=2,/|/

C

12.正方体ABC。一A坊G，，E、F分别是A41、CG的中点，P是CG上17.已知长方体AC|中，棱AB=BC=L棱BB|=2,连结BC，

过B点作BQ的垂线交CG于E,交&C于F.

的动点(包括端点)，过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P

(1)求证A|C_L平面EBD：

的轨迹是(C)