2023-2024学年人教A版必修第二册 6-3-1　平面向量基本定理 学案

6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理新课程标准解读核心素养理解平面向量基本定理及其意义直观想象、数学运算共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来.那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？问题如图所示，已知a，b，c，d，e，f的始点相同，你能分别将c，d，e，f写成向量a，b的线性运算吗？

知识点平面向量基本定理1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.基底若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.提醒（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一个基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的；（2）基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值.1.下列说法中错误的是（）A.一个平面内只有一对不共线的向量可构成表示该平面内所有向量的基底B.一个平面内有无数多对不共线的向量可构成表示该平面内所有向量的基底C.零向量不可以作为基底中的向量D.一对不共线的单位向量可以作为基底解析：A平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内，任意一对不共线的向量都可构成表示该平面内所有向量的一个基底，故A错，B、D对.零向量与任一向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故C对.2.（多选）设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，其中可表示这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底的是（）A.{AD，AB}B.{DA，BC}C.{CA，DC} D.{OD，OB}解析：AC平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底.如图，对于A，AD与AB不共线，可作为基底；对于B，DA与BC为共线向量，不可作为基底；对于C，CA与DC不共线，可作为基底；对于D，OD与OB是共线向量，不可作为基底.3.如图所示，向量OA可用向量e1，e2表示为.

解析：由图可知，OB＝3e2，OC＝4e1，∴OA＝4e1＋3e2.答案：4e1＋3e2题型一平面向量基本定理的理解【例1】设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一个基底的是（填序号）.

解析①设e1＋e2＝λe1（λ∈R），则λ=1，1=0，无解，∴e1＋e2与e1不共线，即{e1，e1＋e2}能作为一个基底.②设e1－2e2＝k（e2－2e1）（k∈R），则e1－2e2＝－2ke1＋ke2，∴1=－2k，－2=k，无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2，e2－2e1能作为一个基底.③∵e1－2e2＝－12（4e2－2e1），∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即{e1－2e2，4e2－2e1}不能作为一个基底.④设e1＋e2＝n（e1－e2）（n∈R），则e1＋e2＝ne1－ne2，∴1=n，1=－n，无解答案①②④通性通法对基底的理解（1）两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基底，反之，则可作基底；（2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为.

解析：若{a，b}能作为平面内的一个基底，则a与b不共线，则a≠kb（k∈R），∵a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.∴实数λ的取值范围为（－∞，4）∪（4，＋∞）.答案：（－∞，4）∪（4，＋∞）题型二用基底表示向量【例2】如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设AD＝a，AB＝b，试用{a，b}为基底表示DC，EF.解因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以DC＝AF＝12AB＝1EF＝ED＋DA＋AF＝－12DC－AD＋12AB＝－12×12b－a＋12通性通法用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示；二是通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.如图，在正方形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BD＝c，则以{a，b}为基底时，AC可表示为，以{a，c}为基底时，AC可表示为.

解析：以{a，b}为基底时，AC＝AB＋AD＝a＋b；以{a，c}为基底时，将BD平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得AC＝2a＋c.答案：a＋b2a＋c题型三平面向量基本定理的应用【例3】如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.解设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，BN＝BC＋CN＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP＝λAM＝－λe1－3λe2，BP＝μBN＝2μe1＋μe2.故BA＝BP＋PA＝BP－AP＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2.而BA＝BC＋CA＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得λ+2μ∴AP＝45AM，BP＝∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝32（变设问）在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP.解：由本例知BPPN＝32，则NP＝25NB，CP＝CN＋NP＝CN＋25NB＝b＋25（CB－CN）＝b＋45a－2通性通法若题中有多组三点共线，可从三点共线出发，列出关于系数的方程组，通过解方程组求解.如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝.

解析：由题意，得AE＝12（AD＋AC）.又AD＝BC＝AC－AB，所以AE＝12（－AB＋2AC）＝－12AB＋AC.又AE＝λAB＋μAC，所以λ＋μ＝－12答案：11.在△ABC中，AB＝c，AC＝b，点D满足BD＝2DC，若将{b，c}作为一个基底，则AD＝（）A.23b＋13c B.53cC.23b－13c D.13b解析：A∵BD＝2DC，∴AD－AB＝2（AC－AD），∴AD－c＝2（b－AD），∴AD＝13c＋23b，2.如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝（）A.－2e1－4e2B.－4e1－2e2C.e2－3e1D.－e2＋3e1解析：C如图所示，a－b＝BA＝CA－CB＝e2－3e1.故选C.3.已知非零向量OA，OB不共线，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB（λ∈R），则x，y满足的关系式是（）A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0解析：A由PA＝λAB，得OA－OP＝λ（OB－OA），即OP＝（1＋λ）OA－λOB.又2OP＝xOA＋yOB，所以x=