2023-2024学年人教A版必修第二册 6-3-2　平面向量的正交分解及坐标表示6-3-3　平面向量加、减运算的坐标表示 学案

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示新课程标准解读核心素养1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示数学抽象2.会用坐标表示平面向量的加、减运算数学运算如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2.问题这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？

知识点一平面向量的正交分解及坐标表示1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.平面向量的坐标表示（1）向量的坐标表示（2）向量坐标与点的坐标的关系在直角坐标平面中，以原点O为起点作OA＝a，设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标（x，y）就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标（x，y）也就是向量OA的坐标.提醒（1）表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A（x，y），a＝（x，y）；（2）当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同；（3）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关.知识点二平面向量坐标的加、减运算若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则：（1）a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）；a－b＝（x1－x2，y1－y2），即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；（2）向量坐标的几何意义：如图所示，在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），则OA＝（x1，y1），若A（x1，y1），B（x2，y2），则AB＝（x2－x1，y2－y1）.结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.1.已知向量a＝（3，2），b＝（0，－1），则向量a＋b＝（）A.（3，1）B.（3，3）C.（0，－2） D.（2，2）解析：A因为向量a＝（3，2），b＝（0，－1），所以a＋b＝（3，1），故选A.2.如图，在平面直角坐标系中，向量OA＝（）A.（1，2）B.（－1，－2）C.（2，4） D.（－2，－4）解析：C因为O（0，0），A（2，4），所以OA＝（2，4），故选C.3.已知AB＝（1，2），A（3，4），则B点坐标是.

解析：设B点的坐标为（x，y），则AB＝（x－3，y－4）＝（1，2）.∴x－3=1，y－4=2，解得x=4，答案：（4，6）题型一平面向量的坐标表示【例1】（1）如图，设与x轴、y轴同向的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，分别用i，j表示向量OA，OB，AB，并求出向量OA，OB，AB的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA＝a，AB＝b.求向量a，b的坐标.解（1）由题图可知，OA＝6i＋2j，OB＝2i＋4j，AB＝－4i＋2j，则坐标表示分别为OA＝（6，2），OB＝（2，4），AB＝（－4，2）.（2）如图，作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos45°＝4×22＝22，AM＝OA·sin45°＝4×22＝2∴A（22，22），故a＝（22，22）.∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°，又OC＝AB＝3，∴C（－32，33∴AB＝OC＝（－32，332），即b＝（－32通性通法求点和向量坐标的常用方法（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标；（2）在求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及向量AB与AD的坐标.解：由题意及题图知B，D分别是30°角，120°角的终边与单位圆的交点.设B（x1，y1），D（x2，y2），由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°∴B（32，12），D（－12，又A（0，0），∴AB＝（32，12），AD＝（－12，题型二平面向量的坐标运算【例2】（1）设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且OA＝4i＋2j，OB＝3i＋4j，OC＝AB，则C点的坐标为（）A.（－2，1）B.（1，－2）C.（2，－1） D.（－1，2）（2）若AB＝（3，4），A点的坐标为（－2，－1），则B点的坐标为（）A.（1，3） B.（5，5）C.（1，5） D.（5，4）（3）若AB＝（1，1），AD＝（0，1），BC＋CD＝（a，b），则a＋b＝.

解析（1）由题意可知AB＝OB－OA＝－i＋2j.∵OC＝AB，∴OC＝－i＋2j，∴C（－1，2）.故选D.（2）设B（x，y），∵A点的坐标为（－2，－1），∴AB＝（x＋2，y＋1）.又∵AB＝（3，4），∴x+2=3，y+1=4，解得x=1，y=3，即（3）∵BC＋CD＝BD＝AD－AB＝（－1，0）＝（a，b），∴a＝－1，b＝0，∴a＋b＝－1.答案（1）D（2）A（3）－1通性通法平面向量坐标运算的技巧（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行计算；（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算；（3）向量的坐标运算可类比数的运算进行.在▱ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝（2，4），AC＝（1，3），求BD的坐标.解：∵AC＝AB＋AD，∴AD＝AC－AB＝（－1，－1），∴BD＝AD－AB＝（－3，－5）.题型三平面向量坐标运算的应用【例3】已知点A（2，3），B（5，4），AC＝（5λ，7λ）（λ∈R）.若AP＝AB＋AC，试求λ为何值时：（1）点P在第一、三象限的角平分线上；（2）点P在第三象限内.解设点P的坐标为（x，y），则AP＝（x，y）－（2，3）＝（x－2，y－3），AB＋AC＝（5，4）－（2，3）＋（5λ，7λ）＝（3，1）＋（5λ，7λ）＝（3＋5λ，1＋7λ）.∵AP＝AB＋AC，且AB与AC不共线，∴x－2=3+5（1）若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12（2）若点P在第三象限内，则5+5λ<0，（变设问）若本例条件不变，点P在坐标轴上，求λ的值.解：由题意知x（1）当点P在x轴上时，y＝4＋7λ＝0，∴λ＝－47（2）当点P在y轴上时，x＝5＋5λ＝0，∴λ＝－1.通性通法坐标形式下向量相等的条件及应用（1）条件：相等向量的对应坐标相等；（2）应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标.在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2）.（1）若OP＝AB＋AC，求点P的坐标；（2）若PA＋PB＋PC＝0，求OP的坐标.解：（1）因为AB＝（1，2），AC＝（2，1），所以OP＝（1，2）＋（2，1）＝（3，3），即点P的坐标为（3，3）.（2）设点P的坐标为（x，y），因为PA＋PB＋PC＝0，又PA＋PB＋PC＝（1－x，1－y）＋（2－x，3－y）＋（3－x，2－y）＝（6－3x，6－3y），所以6－3所以点P的坐标为（2，2），故OP＝（2，2）.1.已知AB＝（－2，4），则下列说法正确的是（）A.A点的坐标是（－2，4）B.B点的坐标是（－2，4）C.当B是原点时，A点的坐标是（－2，4）D.当A是原点时，B点的坐标是（－2，4）解析：D由题意，向量AB＝（－2，4）与终点、始点的坐标差有关，所以A点的坐标不一定是（－2，4），故A错误；同理B点的坐标不一定是（－2，4），故B错误；当B是原点时，A点的坐标是（2，－4），故C错误；当A是原点时，B点的坐标是（－2，4），故D正确.故选D.2.已知向量a＝（2，4），a＋b＝（3，2），则b＝（）A.（1，－2） B.（1，2）C.（5，6） D.（2，0）解析：Ab＝a＋b－a＝（3，2）－（2，4）＝（1，－2）.3.已知AB＝（3，1），AC＝（－4，－3），则BC＝（）A.（－7，