2023-2024学年人教A版必修第二册 6-3-5　平面向量数量积的坐标表示 学案

6.3.5平面向量数量积的坐标表示新课程标准解读核心素养1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角数学运算2.能用坐标表示平面向量垂直的条件逻辑推理通过前面的学习，我们知道，已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），我们可以求出a＋b，a－b以及λa（λ≠0）的坐标.问题那么如何用a与b的坐标来表示a·b呢？

知识点平面向量数量积的坐标表示若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.则（1）a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；（2）｜a｜2＝x12＋y12，或｜a｜＝（3）a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0（a，b是非零向量）；（4）若a，b都是非零向量，则cosθ＝a·b｜a||b向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别？提示：向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点：坐标表示记忆口诀垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0对应相乘和为0平行a∥b⇔x1y2－x2y1＝0交叉相乘差为01.若a＝（2，－3），b＝（x，2x），且3a·b＝4，则x＝（）A.3 B.1C.－13 D.－解析：C由3a·b＝4，得（6，－9）·（x，2x）＝－12x＝4，∴x＝－132.已知a＝（3，4），b＝（5，12），则a与b夹角的余弦值为（）A.6365B.65 C.135解析：A｜a｜＝32＋42＝5，｜b｜＝52+122＝13.a·b＝3×5＋4×12＝63.设a与b的夹角为θ，3.已知向量a＝（1，n），b＝（－1，n），若2a－b与b垂直，则｜a｜＝（）A.1 B.2C.2 D.4解析：C∵（2a－b）·b＝2a·b－｜b｜2＝2（－1＋n2）－（1＋n2）＝n2－3＝0，∴n2＝3，∴｜a｜＝12＋4.已知点A（0，1），B（1，－2）.向量AC＝（4，－1），则AB·AC＝，｜BC｜＝.

解析：AB＝（1，－3），∴AB·AC＝1×4＋（－3）×（－1）＝7，BC＝AC－AB＝（4，－1）－（1，－3）＝（3，2），∴｜BC｜＝32＋2答案：713题型一平面向量数量积的运算【例1】（1）已知a＝（2，－1），b＝（1，－1），则（a＋2b）·（a－3b）＝（）A.10 B.－10C.3 D.－3（2）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3，x），若（8a－b）·c＝30，则x＝（）A.6 B.5C.4 D.3解析（1）a＋2b＝（4，－3），a－3b＝（－1，2），所以（a＋2b）·（a－3b）＝4×（－1）＋（－3）×2＝－10.（2）由题意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝30，c＝（3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4.答案（1）B（2）C通性通法数量积坐标运算的方法进行平面向量的数量积的坐标运算的前提是牢记相关的运算法则和运算性质，通常有两种解题方法：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知进行计算.提醒如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择坐标法求平面向量的数量积.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，AF＝2FD，则BE·CF＝.

解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，2），E（2，1），D（2，2），B（0，0），C（2，0），因为AF＝2FD，所以F（43，2）.所以BE＝（2，1），CF＝（43，2）－（2，0）＝（－23，2），所以BE·CF＝（2，1）·（－23，2）＝2×（－23）＋1答案：2题型二平面向量的模【例2】（1）已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，－1），则△ABC的形状为（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.以上均不正确（2）已知向量a＝（x，y），b＝（－1，2），且a＋b＝（1，3），则｜a－2b｜＝.

解析（1）｜AB｜＝（4－1）2＋（1－2）2＝10，｜AC｜＝（0－1）2＋(-1－2）2＝10.又｜BC｜＝（0－4）2（2）∵a＋b＝（x－1，y＋2）＝（1，3），则x＝2，且y＝1.∴a＝（2，1），则a－2b＝（4，－3），故｜a－2b｜＝42＋答案（1）C（2）5通性通法求向量的模的两种基本策略（1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；（2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝x2已知a＝（1，－2），b＝（x，2），且a∥b，则｜b｜＝（）A.25 B.5C.10 D.5解析：B因为a＝（1，－2），b＝（x，2），且a∥b，所以2x＋2＝0，解得x＝－1，所以b＝（－1，2），则｜b｜＝(-1）2题型三向量的夹角与垂直【例3】已知点A（2，1），B（3，2），D（－1，4）.（1）求证：AB⊥AD；（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.解（1）证明：因为A（2，1），B（3，2），D（－1，4），所以AB＝（1，1），AD＝（－3，3），所以AB·AD＝1×（－3）＋1×3＝0，所以AB⊥AD.（2）因为AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，所以AB＝DC，设点C的坐标为（x，y），则由AB＝（1，1），DC＝（x＋1，y－4），得x+1=1，所以点C的坐标为（0，5），从而AC＝（－2，4），BD＝（－4，2），设AC与BD的夹角为θ，则cosθ＝AC·BD｜AC||所以矩形的两对角线所夹锐角的余弦值为45通性通法解决向量夹角问题的方法及注意事项（1）求解方法：由cosθ＝a·b｜a||b（2）注意事项：利用三角函数值cosθ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cosθ＝a·b｜a||b｜判断θ的值时，要注意cosθ＜0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cosθ＞0时，也有两种情况：一是θ是锐角1.（2022·新高考Ⅱ卷）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（）A.－6 B.－5C.5 D.6解析：C由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即a·c｜a||c｜＝b·c｜b||c｜，2.已知向量a＝（1，3），b＝（3，4），若（a－λb）⊥b，则λ＝.

解析：法一a－λb＝（1－3λ，3－4λ），∵（a－λb）⊥b，∴（a－λb）·b＝0，即（1－3λ，3－4λ）·（3，4）＝0，∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35法二由（a－λb）⊥b可知，（a－λb）·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而λ＝a·bb2＝（1答案：31.a＝（－4，3），b＝（5，6），则3｜a｜2－4a·b＝（）A.23B.57C.63 D.83解析：D3｜a｜2－4a·b＝3×[（－4）2＋32]－4×（－4×5＋3×6）＝83.故选D.2.已知向量a＝（2，1），b＝（1，－2），则a与b的夹角为（）A.0° B.45°C.60° D.90°解析：Da·b＝2－2＝0，所以a⊥b，所以a与b的夹角为90°.故选D.3.设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b，则｜3a＋b｜＝（）A.5 B.6C.17 D.26解析：A∵a∥b，∴1×y－2×（－2）＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝（1，2），｜3a＋b｜＝5.4.已知向量a＝（－1，2），b＝（m，1）.若向量a＋b与a垂直，则m＝.

解析：∵a＝（－1，2），b＝（m，1），∴a＋b＝（－1＋m，2＋1）＝（m－1，3）.又a＋b与a垂直，∴（a＋b）·a＝0，即（m－1）×（－1）＋3×2＝0，解得m＝7.答案：75