2023-2024学年人教A版必修第二册 6-4-3　第四课时　余弦定理、正弦定理应用举例 学案

6.4.3第四课时余弦定理、正弦定理应用举例在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量.问题假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由.

知识点实际应用问题中的有关名词、术语1.基线的概念与选取原则（1）基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线；（2）选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.2.方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图，北偏东30°，南偏东45°.3.仰角和俯角（1）前提：在视线所在的垂直平面内；（2）仰角：视线在水平线以上时，视线与水平线所成的角；（3）俯角：视线在水平线以下时，视线与水平线所成的角.李尧从学校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？提示：东南方向.1.若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（）A.东偏北45°10'方向上B.东偏北44°50'方向上C.南偏西44°50'方向上D.西偏南44°50'方向上解析：C如图所示.2.两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为（）A.2akmB.3akm C.akmD.2akm解析：A在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝2a.故选A.3.如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20（3－1）米到达D点，测得∠ADB＝30°，则塔高为米.

解析：在Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°可知AC＝x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20（3－1），∠ADB＝30°，所以xx+20（3－1）＝tan30°，x+20（3－答案：20题型一测量距离问题【例1】（1）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度是m；

（2）如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是m.

解析（1）tan30°＝CDAD，tan75°＝CDDB，又AD＋DB＝120，∴AD·tan30°＝（120－AD）·tan75°，∴AD＝603，故CD＝60.（2）在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝BD2＋CD2＝402.在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－（30°＋105°）＝45°.由正弦定理，得AC＝CDsin30°sin45°＝202.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA＝（202）2＋（402）2－2×202×402cos60°＝2400，∴AB＝20答案（1）60（2）206通性通法测量距离的基本类型及方案类型A，B两点间不可达或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达图形类型A，B两点间不可达或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达计算方法先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB一个骑行爱好者从A地出发向西骑行了2km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行23km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5km到达D地，则A地到D地的直线距离是（）A.8kmB.37kmC.33km D.5km解析：B如图，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝2，BC＝23，依题意，∠BCD＝90°，在△ABC中，由余弦定理得，AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝4+12+83×32＝27，由正弦定理得，sin∠ACB＝ABsin∠ABCAC＝127，在△ACD中，cos∠ACD＝cos（90°＋∠ACB）＝－sin∠ACB＝题型二测量高度问题【例2】彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝20m，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝（）A.30m B.202mC.203m D.206m解析由题设知，AB⊥BC，又∠DBC＝180°－∠BDC－∠BCD＝30°，在△BCD中，BCsin∠BDC＝DCsin∠DBC，可得BC＝202m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ABBC＝3，则答案D通性通法测量高度的基本类型及方案类型简图计算方法底部可达测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tanC类型简图计算方法底部不可达点B与C，D共线测得CD＝a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值点B与C，D不共线测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数.在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作.在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B的高度差约为（sin70°≈0.94）（）A.10米 B.9.72米C.9.40米 D.8.62米解析：C根据题意画出如图的模型，则CB＝10，∠OAB＝70°，∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10sin70°≈9.4（米）.题型三测量角度问题【例3】某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20（3＋1）海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且3＋1小时后开始持续影响基地2小时.求台风移动的方向.解如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在同一直线上，且AD＝20，AC＝20.由题意AB＝20（3＋1），DC＝202，BC＝（3＋1）×102.在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理的推论得cos∠BAC＝AC2＋所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，所以D位于A的正北方向，又因为∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为北偏西45°.通性通法测量角度问题画示意图的基本步骤如图，在海岸A处发现北偏东45°方向距A点（3－1）nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2nmile的我方缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10nmile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？解：设缉私船应沿CD方向行驶th，才能最快截获（在D点）走私船，则CD＝103tnmile，BD＝10tnmile.∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝（3－1）2＋22－2（3－1）×2cos120°＝6，∴BC＝6，∵BCsin∠CAB∴sin∠ABC＝AC·sin∠CABBC∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.∵BDsin∠BCD∴sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD∴∠BCD＝30°.故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船.1.如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的（）A.北偏东10°方向上B.北偏西10°方向上C.南偏东80°方向上 D.南偏西80°方向上解析：D由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°.又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.故选D.2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点间的距离为（）A.502m B.503mC.252m D.252解析：A∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由ABsin45°＝50sin30°，得AB＝100×22＝503.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为30°，此人往滕王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为45°，则滕王阁的高度最接近于（忽略人的身高）（参考数据：3≈1.732）（）A.49米 B.51米C.54米 D.57米解析：D设滕王阁的高度为h，由题设知，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，所以BD