2023-2024学年人教A版必修第二册 7-2-1　复数的加、减运算及其几何意义 学案

7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义新课程标准解读核心素养1.通过实例，结合实数的加、减运算法则理解复数代数形式的加、减运算法则数学抽象2.结合向量的加、减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义数学运算我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律.问题那么复数中的加法满足交换律与结合律吗？

知识点一复数的加、减法运算1.运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则（1）z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i；（2）z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i.2.加法运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有（1）z1＋z2＝z2＋z1；（2）（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）.知识点二复数加、减法的几何意义如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为OZ1，OZ2，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ，与z1提醒（1）把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可；（2）复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.1.已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝（）A.0 B.6iC.6 D.6－6i解析：D∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝（3－3i）－（3i－3）＝6－6i.2.在复平面内，向量OZ1对应的复数是5－4i，向量OZ2对应的复数是－5＋4i，则OZ1A.－10＋8i B.10－8iC.0 D.10＋8i解析：COZ1＋OZ2＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，0），故O3.（2＋i）－（6－2i）＋（5＋6i）＝.

解析：（2＋i）－（6－2i）＋（5＋6i）＝（2－6＋5）＋（1＋2＋6）i＝1＋9i.答案：1＋9i题型一复数的加、减运算【例1】（1）计算：（8－2i）－（－7＋5i）＋（33＋7i）；（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.解（1）（8－2i）－（－7＋5i）＋（33＋7i）＝[8－（－7）＋33]＋（－2－5＋7）i＝15＋33.（2）∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，∴（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，∴3+x=5∴z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i.通性通法复数加、减法运算的法则（1）复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部；（2）复数的运算可以类比多项式的运算（类似于合并同类项）：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.1.若（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a－b＝（）A.5 B.1C.0 D.－3解析：B因为（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a－b＝1.故选B.2.已知i为虚数单位，复数z满足z＋z=4，z－A.2－i B.2＋iC.1－2i D.1＋2i解析：A因为z＋z=4，z－z＝－2i，所以两个等式相加得，2z＝题型二复数加、减法几何意义的应用【例2】如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.求：（1）AO对应的复数；（2）CA对应的复数；（3）OB对应的复数及｜OB｜的长度.解（1）因为AO＝－OA，所以AO对应的复数为－3－2i.（2）因为CA＝OA－OC，所以CA对应的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i.（3）因为OB＝OA＋OC，所以OB对应的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i.所以｜OB｜＝12＋6通性通法复数与向量的对应关系的两个关注点（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）与以原点为起点，Z（a，b）为终点的向量一一对应；（2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变.1.已知复平面内的向量OA，AB对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则｜OB｜＝.

解析：∵OB＝OA＋AB，∴OB对应的复数为（－2＋i）＋（3＋2i）＝1＋3i，∴｜OB｜＝12＋3答案：102.若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是.

解析：z2－z1＝1＋（a－2）i，由题意知a－2＜0，即a＜2.答案：（－∞，2）题型三复数模的最值问题【例3】（1）已知复数z满足｜z＋i｜＝｜z－i｜，则｜z＋1＋2i｜的最小值为（）A.1 B.2C.3 D.5（2）复数z满足｜z＋i｜＝1，且z＋z＝2，则z＝.

解析（1）设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足｜z＋i｜＝｜z－i｜，所以由复数的几何意义可知，点Z到点（0，－1）和（0，1）的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为x轴，又｜z＋1＋2i｜表示点Z到点（－1，－2）的距离，所以问题转化为x轴上的动点Z到定点（－1，－2）距离的最小值，所以｜z＋1＋2i｜的最小值为2，故选B.（2）设复数z＝a＋bi（a，b∈R），则z＋z＝a＋bi＋a－bi＝2a＝2，解得a＝1，又z＋i＝a＋（b＋1）i＝1＋（b＋1）i，且｜z＋i｜＝1，所以12＋（b+1）2＝1，解得b＝－1答案（1）B（2）1－i通性通法两个复数差的模的几何意义（1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式；（2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆；（3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.设复数z＝a＋bi（a，b∈R），1≤｜z｜≤2，求｜z＋1｜的取值范围.解：由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤｜z｜≤2表示如图所示的圆环，而｜z＋1｜表示复数z的对应点A（a，b）与复数z1＝－1的对应点B（－1，0）之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0；当点A与点C（2，0）重合时，dmax＝3，∴0≤｜z＋1｜≤3.∴｜z＋1｜的取值范围是[0，3].1.复数（－3＋i）－（5－i）＋（2＋5i）的模为（）A.－6＋7i B.6＋7iC.85 D.85解析：C（－3＋i）－（5－i）＋（2＋5i）＝－6＋7i，复数－6＋7i的模为(-6）2＋72.若4（z－z）＋12＝3（z＋z）＋8i，则z＝（）A.2－i B.2＋iC.3＋i D.3－i解析：A设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＝a－bi，则z－z＝2bi，z＋z＝2a，∴原式可化为8bi＋12＝6a＋8i，∴12=6a，8b=8，解得a=2，b=1，即z＝23.已知复数z1＝（a2－2）＋（a－4）i，z2＝a－（a2－2）i（a∈R），且z1－z2为纯虚数，则a＝.

解析：∵z1－z2＝（a2－a－2）＋（a－4＋a2－2）i（a∈R）为纯虚数，∴a2－a－2=0答案：－14.设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是.

解析：由题意知，AB对应的复数为3＋2i，AD对应的复